北京市西城区2019-2020学年中考数学考前模拟卷(1)含解析

北京市西城区2019-2020学年中考数学考前模拟卷（1）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）
A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm
2．定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
3．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为( )
A．1 B．1
2
C．
1
4
D．
1
5
4．九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A．10101
23
x x
=-B．
1010
20
2
x x
=-
C．10101
23
x x
=+D．101020
2
x x
=+
5．长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数
用科学记数法表示为（）
A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×108
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A ＝24°，则∠BDC的度数为()
A．42°B．66°C．69°D．77°
7．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
8．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
9．2018的相反数是（）
A．
1
2018
B．2018 C．-2018 D．
1
2018
10．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（）
A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误D．①②③都正确
11．某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（）
A．5.035×10﹣6B．50.35×10﹣5C．5.035×106D．5.035×10﹣5
12．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）
A．22
B
．
92
20
C．
32
D．
42
5
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若a2﹣2a﹣4=0，则5+4a﹣2a2=_____．
14．已知|x|=3，y2=16，xy＜0，则x﹣y=_____．
15．解不等式组
1
(1)1
2
12
x
x
⎧
-≤
⎪
⎨
⎪-<
⎩
，则该不等式组的最大整数解是_____．
16．若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______ 17．计算：2cos60°－38+(5－π)°=____________.
18．鼓励科技创新、技术发明，北京市2012－2017年专利授权量如图所示．根据统计图中提供信息，预估2018年北京市专利授权量约______件，你的预估理由是______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.
(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.
20．（6分）地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）
21．（6分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．
（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？
（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
23．（8分）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若3，AD=1，求DB的长．
24．（10分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.6m ，木竿PQ 落在地面上的影子PM ＝1.8m ，落在墙上的影子MN ＝1.1m ，求木竿PQ 的长度．
25．（10分）（1）计算：2201801()(1)4sin60(π1)2-------o
（2）化简：221a 4a 2a 1a 2a 1a 1
---÷++++ 26．（12分）如图1，点D 为正ABC ∆的BC 边上一点（D 不与点,B C 重合），点,E F 分别在边,AB AC 上，且EDF B ∠=∠.
（1）求证：~BDE CFD ∆∆；
（2）设,BD a CD b ==，BDE ∆的面积为1S ，CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅（用含,a b 的式子表示）；
（3）如图2，若点D 为BC 边的中点，求证： 2DF EF FC =⋅.
图1 图2
27．（12分）如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，以AB 为直径的⊙O 经过AC 的中点D ，E 为⊙O 上的一点，连接DE ，BE ，DE 与AB 交于点F.求证：BC 为⊙O 的切线；若F 为OA 的中点,⊙O 的半径为2，求BE 的长.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
【详解】∵原正方形的周长为acm ， ∴原正方形的边长为4a cm ， ∵将它按图的方式向外等距扩1cm ，
∴新正方形的边长为（
4
a +2）cm ， 则新正方形的周长为4（4a +2）=a+8（cm ）， 因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm ，
故选B ．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式． 2．C
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数y=ax 2+bx 的性质a 、b 同号对称轴在y 轴左侧，a 、b 异号对称轴在y 轴右侧即可判断．（2）根据“派生函数”y=ax 2+bx ，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．
（1）∵P （a ，b ）在y=上， ∴a 和b 同号，所以对称轴在y 轴左侧，
∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax 2+bx ， ∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数”为y=ax 2+bx 经过原点，
∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．
考点：（1）命题与定理；（2）新定义型
3．B
【解析】
【分析】
直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】
解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是1
2
，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．4．C
【解析】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，10101
23
x x
=+．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5．C
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】2500000000的小数点向左移动9位得到2.5，
所以2500000000用科学记数表示为：2.5×1．
故选C.
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．C
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD=1
2
∠ACB=45°，
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°.
故选C.
7．C
【解析】
试题分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．试题解析：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：．
1+1=）1．
∴AC1+BC1=AB1．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
考点：勾股定理．
8．B
【解析】试题解析：A. 是轴对称图形但不是中心对称图形
B.既是轴对称图形又是中心对称图形；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；
D.是轴对称图形不是中心对称图形；
故选B.
9．C
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号不同，
由相反数的定义可得2018的相反数是-2018，
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
10．D
【解析】
【分析】
画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．
【详解】
解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，
N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，
易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），
直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；
当G1与G2没有公共点时，分三种情况：
一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；
二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；
三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；
当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM ＝2，
∴PM＝2PN，
由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2
∴（2PN）2+（PN）2＝9，
∴PN＝，
∴PM＝.
故③正确．
综上，故选：D．
【点睛】
本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．
11．A
【解析】
试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．
考点：科学记数法—表示较小的数．
12．B
【解析】
【分析】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=1，根据勾股定理得到
=OH=1
3
AE=
1
3
，由相似三角
形的性质得到
1
5
3
AM AE
FM FO
==
=
3
5
，求得AM=
3
8
AF=
4
，根据相似三角形的性质得到
AN AD
FN BF
==
3
2
，
求得AN=3
5
，即可得到结论．
【详解】
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=1．∵BF=1FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=1，FC=HD=1，
∴
=
∵OH∥AE，
∴HO DH
AE AD
==
1
3
，
∴OH=1
3
AE=
1
3
，
∴OF=FH﹣OH=1﹣1
3
=
5
3
，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴
1
5
3
AM AE
FM FO
==
=
3
5
，∴AM=
3
8
，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴AN AD
FN BF
==
3
2
，
∴AN=3
5
，
∴MN=AN﹣
AM=
5
﹣
4
=
20
，故选B．
【点睛】
构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．-3
【解析】
试题解析：∵2240a a ，
--= 即224a a ，-= ∴原式()
2522583a a ，=--=-=-
故答案为 3.-
14．±3
【解析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想．
详解：因为|x|=1，所以x=±
1． 因为y 2=16，所以y=±
2． 又因为xy ＜0，所以x 、y 异号，
当x=1时，y=-2，所以x-y=3；
当x=-1时，y=2，所以x-y=-3．
故答案为：±
3. 点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论．
15．x=1．
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【详解】 ()111212x x ⎧-≤⎪⎨⎪-⎩①＜②
， 由不等式①得x≤1，
由不等式②得x ＞-1，
其解集是-1＜x≤1，
所以整数解为0，1，2，1，
则该不等式组的最大整数解是x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】
考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16．
4 y
x =
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的横、纵坐标之积不变可得关于m的方程，解方程即可求得m的值，再由待定系数法即可求得反比例函数的解析式.
【详解】设反比例函数解析式为y=k
x
，
由题意得：m2=2m×(-1)，
解得：m=-2或m=0（不符题意，舍去），所以点A（-2，-2），点B（-4，1），
所以k=4，
所以反比例函数解析式为：y=4
x
，
故答案为y=4 x .
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于比例系数k是解题的关键.
17．1
【解析】
解：原式=
1
221
2
⨯-+=1－2+1=1．故答案为1．
18．113407，北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件.
【解析】
【分析】
依据北京市近两年的专利授权量的增长速度,即可预估2018年北京市专利授权量. 【详解】
解：∵北京市近两年的专利授权量平均每年增加：10694894031
6458.5
2
-
=（件），
∴预估2018年北京市专利授权量约为106948＋6458.5≈113407（件），
故答案为：113407，北京市近两年的专利授权量平均每年增加6458.5件．【点睛】
此题考查统计图的意义，解题的关键在于看懂图中数据.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）60，30；；（2）300；（3）13 【解析】
【分析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：
560×360°=30°； 故答案为60，30；
（2）根据题意得：900×15+560
=300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为300；
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A 的情况有2种，
所以P （抽到女生A ）=
26=13
． 【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．小亮说的对，CE 为2.6m ．
【解析】
【分析】
先根据CE ⊥AE,判断出CE 为高,再根据解直角三角形的知识解答．
【详解】
解：在△ABD中,∠ABD＝90°,∠BAD＝18°,BA＝10m,
∵tan∠BAD＝，
∴BD＝10×tan18°,
∴CD＝BD﹣BC＝10×tan18°﹣0.5≈2.7（m）,
在△ABD中,∠CDE＝90°﹣∠BAD＝72°,
∵CE⊥ED,
∴sin∠CDE＝,
∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72°×2.7≈2.6（m）,
∵2.6m＜2.7m,且CE⊥AE,
∴小亮说的对．
答：小亮说的对,CE为2.6m．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题.
21．（1）,1
3
（2）
2
9
【解析】
解：（1）画树状图得：
∵总共有9种等可能情况，每人获胜的情形都是3种，
∴两人获胜的概率都是1
3
．
（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为1
3
．任选其中一人的情形可画树状图得：
∵总共有9种等可能情况，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，
∴两局游戏能确定赢家的概率为：2
9
．
（1）根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利用概率公式即可求得答案．
（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为1
3
．可画树状图，由树状图求得所有
等可能的结果与进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【解析】
（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．
（1）证明：连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB，∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，
∵EB=2，BF=1，
∴EF=，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=，
∵EF=，
∴DE=×，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴，即GE•ED=AE•EB，
∴•GE=2，即GE=，
则GD=GE+ED=．
23．BD= 2.
【解析】
【详解】
试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴AD AC AC AB
=，
∵3AD=1，
3
3
=，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．
24．木竿PQ的长度为3.35米．
【解析】
【分析】
过N点作ND⊥PQ于D，则四边形DPMN为矩形，根据矩形的性质得出DP，DN的长，然后根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的长，即可得出PQ的长．
试题解析：
【详解】
解：过N点作ND⊥PQ于D，
则四边形DPMN 为矩形，
∴DN ＝PM ＝1.8m ，DP ＝MN ＝1.1m ， ∴
AB QD BC DN
=， ∴QD ＝AB DN BC ⋅＝2.25， ∴PQ ＝QD ＋DP ＝ 2.25＋1.1＝3.35（m ）．
答：木竿PQ 的长度为3.35米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，作出辅助线，根据同一时刻物高与影长成正比列出比例式是解决此题的关键．
25．（1）223-；（2）-1；
【解析】
【分析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【详解】
（1）2201801
()(1)460(1)2sin o π-------
341412=--⨯
- =41231-- =2-3（2）2214a 21211
a a a a a ---÷++++ =()()222111(1)2
a a a a a a +-+-⋅++- =
1211
a a a +-++ =121a a --+
=
()1
1
a
a
-+
+
=-1
【点睛】
本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
26．（1）详见解析；（1）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（1）如图1中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
S1=1
2
•BD•EG=
1
2
•BD•EG=
1
2
•a•BE•sin60°=
3
•a•BE，S1=
1
2
•CD•FH=
3
•b•CF，可得
S1•S1=
3
16
ab•BE•CF，由（1）得△BDE∽△CFD，
BD FC
BE CD
=，即BE•FC=BD•CD=ab，即可推出
S1•S1=
3
16
a1b1；
（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出EF DF
DF FC
=，即DF1=EF•FC；
【详解】
（1）证明：如图1中，
在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF=∠B，
∴∠DEB=∠FDC，
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．
（1）如图1中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
S1=1
2
•BD•EG=
1
2
•BD•EG=
1
2
3
，S1=
1
2
3
，
∴S1•S1=
3
16
ab•BE•CF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴BD FC
BE CD
=，即BE•FC=BD•CD=ab，
∴S1•S1=
3
16
a1b1．
（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴BD FC BE CD
=，
又BD=CD，
∴CD FC DE DF
=，
又∠EDF=∠C=60°，∴△DFE∽△CFD，
∴
F DF
DF FC
=，即DF1=EF•FC．
【点睛】
本题考查了相似形综合题、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件.
27．（1）证明见解析；（26
10 5
【解析】
【分析】
（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；
（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】
（1）连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，
∵D是AC的中点，∴BC=AB，
∴∠C=∠A＝45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，∵⊙O的半径为2，F为OA的中点，
∴OF=1，BF=3，22
AD222
=+=
∴2222
DF OF OD125
=++=，∵»»
BD BD
=，
∴∠E=∠A，
∵∠AFD=∠EFB，
∴△AFD∽△EFB，
∴DF BF
AD BE
=
53
BE
22
=，
∴
6
BE10
5
=
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线.。