应用快速偶极子法与RACA法快速求解导体目标RCS

应用快速偶极子法与RACA法快速求解导体目标RCS
胡倩倩;孙玉发
【摘要】文章将快速偶极子法(fast dipole method,FDM)结合再压缩自适应交叉近似(recompressed adaptive cross approximation,RACA)算法应用于导体目标雷达散射截面(radar cross section,RCS)的计算.快速偶极子法是在等效偶极子法的基础上,将远场组相互作用的偶极子之间的距离通过泰勒级数展开,实现矩阵向量积的快速计算.为了进一步加快近场组互阻抗元素的填充,采用RACA算法对阻抗矩阵进行进一步压缩.与传统FDM相比,计算时间和内存得到了有效缩减,数值结果证明了该方法的有效性和精确性.%The fast dipole method(FDM)combined with recompressed adaptive cross approximation (RACA)algorithm is used to solve the radar cross section(RCS)for perfect conducting targets.T he FDM,which is based on the equivalent dipole-moment method(EDM),uses a simple Taylor's series to expand the distance between the interacting equivalent dipoles in far-field groups and realizes the fast calculation of matrix vector product.In order to speed up the calculation of mutual impedance ele-ments in the near-field groups,the RACA algorithm is used to further compress the impedance ma-trix.T he computational time and memory consumption of the proposed method are reduced effectively compared with the traditional FDM.Numerical results are presented to demonstrate the efficiency and accuracy of this method.
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(041)002
【总页数】4页(P207-210)
【关键词】快速偶极子法(FDM);等效偶极子法;再压缩自适应交叉近似(RACA)算法;导体目标;雷达散射截面(RCS)
【作者】胡倩倩;孙玉发
【作者单位】安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽合肥 230601;安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽合肥 230601
【正文语种】中文
【中图分类】TN011
矩量法(method of moments,MoM)在雷达散射截面(radar cross section,RCS)的计算、电磁环境的预测问题中有着广泛的应用,但是,随着目标电尺寸的不断增大,计算复杂度和内存需求迅速增加,普通计算机难以负担。

针对传统矩量法的缺点,出现了多种快速算法,包括快速多极子算法[1] (fast multipole method,FMM)、快速傅里叶变换法[2](fast Fourier transform,FFT)、多层快速多极子算法[3-
5](multilevel fast multipole algorithm,MLFMA)、自适应积分法[6](adaptive integral method,AIM)等电磁计算方法。

FMM和MLFMA的方程比较复杂,涉及了插值计算、勒让德函数、贝塞尔函数,而且代码编写繁琐。

等效偶极子法[7-
9](equivalent dipole-moment method，EDM)是基于传统的RWG基函数[10],将每一个RWG基函数的三角形对等效成一个偶极子,但它并没有节省内存和求解时间,而快速偶极子法(fast dipole method,FDM)[11-13]通过泰勒级数将间距
R(相互作用的偶极子间的距离)展开,这样可以将矩阵矢量积转化为聚集-转移-发散的形式,计算时间和内存得到有效缩减。

然而,FDM更适用于处理远场组,尽管近场
组用EDM填充,但仍然占据大量的CPU内存,为了解决这一问题,本文采用再压缩自适应交叉近似(recompressed adaptive cross approximation，RACA)算法[14-15]来处理近场组,RACA算法具有纯数学理论特性,可对互阻抗矩阵进行进一步的压缩。

和传统的FDM相比,RACA结合FDM可降低内存消耗和计算时间。

1 快速偶极子法
对于任意的三维理想导体目标电磁散射问题,由边界条件可知,理想导体总切向电场为0,可得电场方程为:
(1)
其中,Ei为入射场;Es为导体表面等效电流产生的散射场。

理想导体表面S上的等效电流J可以用RWG矢量基函数进行展开,采用伽略金方法,进而(1)式转化为如下矩阵方程:
ZI=V
(2)
其中,Z为阻抗矩阵;I为待求的电流向量;V为激励向量。

快速偶极子法是在等效偶极子的基础上提出来的,根据文献[7]可知,若剖分的三角形边长为0.1λ,当源点与场点的距离R>0.15λ时(λ为自由空间波长),每个三角单元对可等效为一个电偶极子,第m个和第n个等效偶极矩表达式为:
其中，表示三角形对Tm(Tn)的质心位置矢量,三角形对Tm(Tn)的公共边长度为lm(ln)。

R=rmn=rm-rn为第m个等效偶极子与第n个等效偶极子之间的距离矢量,和表示第m个和第n个偶极子的中心位置矢量。

快速偶极子法首先对目标表面进行分组,将所有等效后的偶极子模型按其中心位置
分配到不同的组中,然后根据组与组之间的距离,将其分为近场组和远场组。

本文取dji=rji/a,rji为2个组之间的距离,a为组的边长,当dji≥2时,可以把2个组看成远场组,矩阵方程(2)式可以写为:
(3)
其中,为近场组之间的相互作用;为远场组之间的相互作用;Nj、Fj分别为第j组的近场组和远场组的集合;N为组i中偶极子的个数。

设第m个和第n个偶极子分别属于第j、i组,由文献[11]可知,第m、n个偶极子相互作用的互阻抗元素近似公式为:
(4)
Mm(rji)=
(5)
(6)
Mn(rij)=
(7)
其中,rji=roj-roi;rmj=rm-roj;rni=rn-roi,roi、roj为组i、j中心坐标矢量。

将(4)式代入(3)式可得:
(8)
由(8)式可以看出远场组的矩阵矢量积被分为聚集转移发散Mm(rji)3个部分,且这3部分不包含格林函数因子,也不存在耗时的数值积分运算,同时远场组的互阻抗元素
即用即算不需要存储,可以被j组中的每个偶极子重复利用,因此计算效率得到了大
大提高。

2 再压缩自适应交叉近似算法
2.1 ACA算法概述
ACA是利用线性相关性的原理对低秩矩阵进行压缩,ACA算法即采用2个满秩矩阵乘积的形式构造用来近似估计Zm×n,即
(9)
其中,k为矩阵Zm×n的有效秩;Um×k、Vk×n为2个满秩矩阵,秩k的选取根据(10)式得到，即
(10)
其中,ε为误差迭代门限;Rm×n为误差矩阵;‖·‖为矩阵的Frobenius范数。

如果k≪min(m,n),ACA算法只需要抽取计算k(m+n),那么ACA算法只需保存
Um×k、Vk×n这2个规模较小的矩阵,从而实现阻抗矩阵的压缩。

2.2 再压缩技术
由于传统的ACA得到的矩阵Um×k、Vk×n不是正交的,它们有一部分的冗余存在,这部分的冗余可以通过奇异值分解(singular value decomposition,SVD)去除掉。

对ACA所得到的Um×k、(Vk×n)T2个矩阵进行QR分解,即
(11)
(12)
对QR分解得到的2个上三角方阵的乘积进行SVD,即
(13)
经过QR和SVD操作后,原阻抗矩阵Zm×n变为:
(14)
经以上操作后,矩阵Um×k、Vk×n转化为矩阵其中k′<k,从而在ACA算法的基础上进一步降低了内存消耗与计算时间。

3 数值结果分析
为了验证本文方法的有效性,分别对长方体导体、16个导体圆柱、64个离散导体平板的RCS进行计算。

本文计算都在Intel(R) Core(TM) i3-2120 3.30 GHz、2.0 GB RAM的PC上完成;编译器采用VC++6.0;算例中入射角度θi=0°,φi=0°,散射角度θs=0°～360°,φs=0°,所有算例均采用双精度浮点计算,矩阵方程采用GMRES迭代法求解,重启数m=30,SVD、GMRES误差迭代门限均为0.001。

算例1 计算1个边长为2.0 m×3.0 m×1.0 m的理想导体长方体的双站RCS,入射频率为300 MHz,沿-z方向入射,采用三角单元剖分长方体,共有3 870个单元,未知变量数为5 805个,目标被分割成49个非空组。

采用FDM和FDM-RACA方法计算长方体导体的HH极化双站RCS,结果如图1所示。

从图1可以看出,FDM-RACA计算得到的结果与传统FDM吻合良好。

图1 长方体导体的HH极化双站RCS(φ=0°)
算例2 计算16个离散导体圆柱的双站RCS,每个圆柱的半径为0.5 m,高为1 m,相邻圆柱间隔为0.5 m,用三角单元剖分导体表面,共有5 792个三角单元,8 688个未知数,入射频率为200 MHz,沿-z方向入射。

将每个圆柱划分为一个子域,分别采用FDM和FDM-RACA法计算离散导体圆柱的HH极化双站RCS,如图2所示。

从图2可以看出,2种方法的计算结果较为吻合。

图2 16个导体圆柱的HH极化双站RCS(φ=0°)
算例3 计算64个离散正方形导体平板的双站RCS。

每个平板的边长为0.25 m,相邻平板的间隔为0.25 m,入射波的频率为1 GHz,沿-z方向入射。

用三角单元剖分离散导体平板,单元数为7 936,未知变量数为11 008,将每个平板划分为一个子域,分别采用FDM和FDM-RACA方法计算离散平板的HH极化双站RCS如图3所示。

从图3可以看出,2种方法的计算结果吻合较好。

图3 64个离散导体平板的HH极化双站RCS(φ=0°)
3种算例所消耗的CPU时间和内存见表1所列,从表1可以看出,在同等精度的条件下,FDM-RACA方法在节省内存和时间上具有一定的优势。

表1 CPU时间与内存比较目标计算方法内存/MB时间/s长方体
FDM122．881754．97FDM⁃RACA81．921209．33离散圆柱体
FDM194．562581．79FDM⁃RACA133．121965．57离散平板
FDM327．682646．47FDM⁃RACA215．522230．23
4 结论
本文提出了应用FDM算法与RACA算法结合求解导体目标电磁散射问题的方法,FDM和RACA算法分别被用于远场组和近场组阻抗矩阵的填充,数值结果表明,FDM-RACA与传统FDM相比,能进一步提高计算效率并节省内存。

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