雨湖区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

雨湖区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）
A ．2+
B ．1+
C ．
D ．
2． 如图，棱长为的正方体中，是侧面对角线上一点，若 1111D ABC A B C D -,E F 11,BC AD 1BED F 是菱形，则其在底面上投影的四边形面积（ ）
ABCD
A ．
B ．
C.
D 1
2
3
43． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ）
A ．a ＞1且b ＜1
B ．a ＞1且b ＞0
C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
4． 设a=0.5，b=0.8
，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（
）
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
5． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调
查结果如下表所示．
杂质高
杂质低旧设备37121新设备
22
202
根据以上数据，则（
）
A ．含杂质的高低与设备改造有关
B ．含杂质的高低与设备改造无关
C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
6． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
7． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A ．（0，1）
B ．（0，]
C ．（0，
）
D ．[
，1）
8． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段
间隔为（ ）1111]A ． B ．
C ．
D ．10512030
9． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（
）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
10．已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）
A ．∅
B ．{x|x ＞0}
C ．{x|x ＜1}
D ．{x|0＜x ＜1}
可．
11．已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直
12．若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
二、填空题
13．
的展开式中
的系数为 （用数字作答)．
14．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2
）a n +sin 2
，则该数列的前16项和为 ．
15．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx ﹣3x x +2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
17．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．18．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
三、解答题
19．（14分）已知函数，其中m ，a 均为实数．
1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=（1）求的极值； 3分
()g x （2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值； 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-a 5分
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，
2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==
m
求的取值范围．6分
20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
21．在平面直角坐标系xOy中．己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求∠AOB的值．
22．（本小题满分10分）选修4­1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，过E的切线与AC交于D.（1）求证：CD＝DA；
（2）若CE＝1，AB＝，求DE的长．
2
23．（本小题满分10分）
已知集合{}
B x x
=-<<．
14
2131
=-<<+，集合{}
A x a x a
（1）若A B
⊆，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得A B
=？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．　
雨湖区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，∴原四边形为直角梯形，
且CD=C'D'=1，AB=O'B=，高AD=20'D'=2，
∴直角梯形ABCD 的面积为，
故选：A ．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体中，，
1111D ABC A B C D -11BC AD ==AF x =x -=
解得，即菱形，则在底面上的投影四边形是底边
x =
1BED F =1BED F ABCD 为，高为的平行四边形，其面积为，故选B.343
4
考点：平面图形的投影及其作法.3． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0，故选：B
4． 【答案】B
【解析】解：∵a=0.5，b=0.8，
∴0＜a＜b，
∵c=log20.5＜0，
∴c＜a＜b，
故选B．
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．
5．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高杂质低合计
旧设备37121158
新设备22202224
合计59323382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
6．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
7．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．
∴e 2=
＜，∴0＜e ＜
．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．　
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为，故选D.5030
1500
考点：系统抽样9． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．　
10．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x ＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N={x|0＜x ＜1}，
故选D ．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，　
11．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l 1的斜率k 1=
=1，
又∵直线l 2的倾斜角为135°，∴其斜率k 2=tan135°=﹣1，显然满足k 1•k 2=﹣1，∴l 1与l 2垂直故选A
12．【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】20
【解析】【知识点】二项式定理与性质
【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．
所以系数为：
故答案为：
14．【答案】　546　．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=+
=36+29﹣2
=546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】　25　
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，
由正弦定理可得AC==25km，
故答案为：25．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
16．【答案】
2 2,
3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
17．【答案】　[1，）∪（9，25]　．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足，
解得；若
，只需满足，
解得9＜a ≤25，
当a ＜0时，不符合条件，综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　
18．【答案】必要而不充分【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
三、解答题
19．【答案】解：（1），令，得x = 1． e(1)
()e x
x g x -'=()0g x '=列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小
值．
3分
（2）当时，，．
1,0m a =<()ln 1f x x a x =--(0,)x ∈+∞∵在恒成立，∴在上为增函数． 设，∵> 0()0x a f x x -'=>[3,4]()f x [3,4]1e ()()e x
h x g x x ==12e (1)()x x h x x --'=
在恒成立，
[3,4]∴在上为增函数． 设，则等价()h x [3,4]21x x >212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
于，2121()()()()f x f x h x h x -<-即．
2211()()()()f x h x f x h x -<-设，则u （x ）在为减函数．
1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅[3,4]∴在（3，4）上恒成立． ∴恒成立．
21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤11
e e x x a x x
---+≥设，∵=，x ∈[3，4]，11e ()e x x v x x x --=-+11
2
e (1)()1e x x x v x x ---'=-+121131e [(]24
x x ---+∴，∴< 0，为减函数．
1221133
e [()e 1244
x x --+>>()v x '()v x ∴在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -．
()v x 22
e 3
∴a ≥3 -，∴的最小值为3 -． 8分
22e 3a 22
e 3（3）由（1）知在上的值域为． ()g x (0,e](0,1]∵，，
()2ln f x mx x m =--(0,)x ∈+∞当时，在为减函数，不合题意．
0m =()2ln f x x =-(0,e]当时，，由题意知在不单调，0m ≠2()
()m x m f x x
-'=
()f x (0,e]所以，即．①
20e m <<2
e
m >此时在上递减，在上递增，
()f x 2(0,m 2
(,e)m
∴，即，解得．②
(e)1f ≥(e)e 21f m m =--≥3
e 1
m -≥x （-∞，1）
1（1，+∞）
()
g x '+0-g （x ）
↗
极大值
↘
由①②，得． 3
e 1
m -≥
∵，∴成立．
1(0,e]∈2
((1)0f f m =≤下证存在，使得≥1．
2
(0,]t m
∈()f t 取，先证，即证．③
e m t -=e 2
m m
-<2e 0m m ->设，则在时恒成立．
()2e x w x x =-()2e 10x w x '=->3
[,)e 1
+∞-∴在时为增函数．∴，∴③成立．
()w x 3[,)e 1+∞-3
e ))01
((w x w ->≥再证≥1．
()e m f -∵，∴时，命题成立． e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥
3
e 1
m -≥
综上所述，的取值范围为． 14分
m 3
[,)e 1
+∞-20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：
=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A ，B ，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C ，D ，E ，F ，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：
（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，
则事件M 包含的基本事件有：（A ，B ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ），共7个，
所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．
【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方
图和列举法的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴直线l的普通方程为．
∵曲线C的极坐标方程是ρ=4，∴ρ2=16，
∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16．
（2）⊙C的圆心C（0，0）到直线l：+y﹣4=0的距离：
d==2，
∴cos，
∵0，∴，
∴．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA＝DE.
∠C＝90°－∠B＝90°－∠DEA＝∠DEC，
∴DC＝DE，
∴CD＝DA.
（2）∵CA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠CAB＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2，又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝，2∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2，∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝.2由（1）知DE ＝CA ＝，12
22
所以DE 的长为.
22
23．【答案】（1）[](2]01a ∈-∞- ，，；（2）不存在实数，使A B =．【解析】
试题分析：（1）对集合A 可以分为A =∅或A ≠∅两种情况来讨论；（2）先假设存在实数，使A B =，则必
有2110
3141
a a a a -=-=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，无解．
考
点：集合基本运算.24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=，BE=3，∴EC=
，
∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，
∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE 解：（Ⅱ）
方法一：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz ．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　。