力学中的数学方法-积分变换-1
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存 在的一种充分条件.
8
2. Fourier变换与逆变换的性质 下面介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便
起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都 满足傅氏积分定理中的条件, 不再重述这些条件.
1）线性性质:
F[af (t) + bg(t)] = aF[ f (t)] + bF[g(t)]
∑ fT (t)
=
a0 2
+
∞
( an
n=1
cos nωt
+ bn
sin nωt )
4
∫ 其中ω = 2π T ,
an
=
2 T
T2 −T 2
fT
(t)cos nωtdt
(n
=
0,1, 2,
)
∫ bn
=
2 T
T2 −T 2
fT
(t ) sin
nωtdt
(n
= 1,2,
)
在间断点t处成立：
∑ fT (t
y)
+
a22v (s,
y)
+
a23
∂u (s, ∂y
y)
+
a24
∂v (s, ∂y
y)
+
a25
∂ 2v (s, ∂y 2
y)
=
0
∫ ∫ u (s, y) = +∞u(x, y)e−isxdx v(s, y) = +∞ v(x, y)e−isxdx
−∞
−∞
⎧a11 = −(1 + k)(s − iδ )s
0
16
4. 利用Fourier变换求解微分方程 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分 性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可 以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是 求解数学物理方程的方法之一.
17
例： 求解微分积分方程
∫ ax′(t) + bx(t) + c t x(t) d t = h(t) −∞
2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ
)e−iωτ
dτ
⎤ ⎥⎦
eiωt dω
=
⎧⎪ ⎨
f (t) f (t +
0)
+
f
(t
−
0)
⎪⎩
2
t为连续点； t为间断点。
∫ 在(−∞, +∞)绝对可积是指的
+∞
|
f (t) | dt 收敛。
−∞
6
三、 Fourier变换
1. Fourier变换的定义
∫ ∫ 已知：f (t) = 1
−∞
= jωF [ f (t)]
11
一般地，若 lim f (k) (t) = 0 (k = 0,1, 2, t →+∞ F ⎡⎣ f (n) (t)⎤⎦ = ( jω )n F (ω)
,n −1),则
12
5）积分性质
∫ 如果当t → +∞时, g(t) = t f (t)d t → 0 −∞
∫ 则
位移 : f (t − t0 ) ↔ f (t)e jω0t ↔
导数 : f ′(t)
F (ω) e− jωt0 F (ω − ω0 ) ↔ jωF (ω)
∫ 积分 : t f (t) d t −∞
↔
相似 : f (at) (a ≠ 0) ↔
1
jω
F
(ω)
1 F⎜⎛ ω ⎟⎞
|a| ⎝a⎠
翻转 : f (−t)
并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满 足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
则fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
F −1[ AF (ω) + BG(ω)] = AF −1[F (ω)] + BF −1[G(ω)]
9
2） 位移性质:
若F [
f
(t)]
=
F
(ω )，t 0
,
ω
为实常数，则
0
F [ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F (ω)，
F −1[F (ω ± ω0 )] = e∓ jω0t f (t)
y)
=0 =0
21
若取 d11 d12 f (s, y) = 0 d 21 d 22
⎩⎨⎧dd1211uu
(s, (s,
y) y)
+ +
d12v (s, d22v (s,
y) y)
= =
0 0
⎧u ⎩⎨v
(s, (s,
y) y)
= =
d22 f −d 21
(s, y) f (s, y)
d11 d12 f (s, y) = 0
若F [ f (t)] = F (ω)，且 lim f (t) = 0,则 t →+∞ F [ f ′(t)] = jωF (ω)
∫ 解释： F [ f ′(t)] = +∞ f ′(t) e−jωtd t −∞
∫ = f (t) e− jωt +∞ + jω +∞ f (t) e− jωtd t
−∞
+ 0) + 2
fT (t
− 0)
=
a0 2
+
∞
(an cos nωt
n=1
+ bn sin nωt )
引进复数形式：
cos nωt = e inωt + e −inωt , sin nωt = e inωt − e −inωt
2
2i
∫ ∫ f (t) = 1
2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ
⎪⎪b14 = a15a24 + a13a25
⎪⎩b15 = a15a25
特征方程 b11 + b12λ + b13λ2 + +b14λ3 + b15λ4 = 0
λ1,3
=
1 2
(−β
−
3−kδ2)∓ 1
1+ k
2
2β
3 − k δ 2 (2is + δ ) + (4s2 + β 2 − 4isδ ) + 3 − k δ 2
其中−∞<t<+∞, a,b,c均为常数
解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F[ f (t)] = X (ω) F[h(t)] = H (ω)
在方程两边取傅氏变换, 可得
ajωX (ω) + bX (ω) + c X (ω) = H (ω)
jω
X (ω) = H (ω)
b
+
j⎜⎛ ⎝
aω
−
c
( ) 或F [e jω0t f (t)] = F (ω − ω0 )
3） 相似性：
若F[ f (t)] = F (ω)，a ≠ 0,则
F[ f (at)] =
1
ω
F( )
; F −1[F (at)] =
1
f(t)
aa
aa
10
4）微分性：
如果f(t)在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点,
↔ F (−ω)
14
3. Fourier余弦变换和正弦变换
∫ ∫ f
(t)
=
1
2π
+∞⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ )e−iωτ dτ
⎥⎦⎤eiωt dω，
正弦变换及反变换
∫ F(ω) = 2 +∞ f (t)sinωt dt 0
∫ f (t) = 1 +∞ F (ω)sinωtdω
π0
∫ 余弦变换及反变换 +∞ F(ω) = 2 f (t)cosωt dt 0
)e−iωτ
dτ
⎤ ⎥⎦
eiωt dω
f(x)傅氏积分公式
5
二、傅氏积分定理
若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;
即：除去有限个间断点处处连续；
分段单调，单调区间个数有限。
2, f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有
∫ ∫ f (t) = 1
=∂ua∂(1sy1, +y )a+13a∂1∂4y ∂+v
(s,
a∂y15
y∂)
2
+
∂y 2
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=∂ua∂(12sy,+y)a1+4
a∂∂2y4
∂v
(s, ∂y
y)
+
a25
∂ 2v (s, ∂y 2
y)
=0 =0
⎧ ⎪⎪a11u ⎨ ⎪⎪⎩a21u
(s, (s,
y) y)
⎪⎪⎪⎨aa1132
= =
i(k −1)sβ (k −1)β
⎪⎪a14 = 2is − (k − 3)δ
⎪⎩a15 = k − 1
⎧a21 = −i(k − 3)sβ
⎪⎪⎪⎨aa2232
= =
−(k −1)(s − iδ )s 2is + (k −1)δ
⎪⎪a24 = (k + 1)β
⎪⎩a25 = k + 1
7
注意上述关系：
在一定条件下成立
若F[ f (t)] = F (ω),则F −1[F (ω)] = f (t) 若F −1[F (ω)] = f (t),则F[ f (t)] = F (ω)
f (t)←⎯→ F (ω)：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f (t)称为原像函数，F (ω)称为像函数。
+ +
a12v (s, a22v (s,
⎨ y) ⎪⎪+da2113
⎪ y)⎪⎪⎩+da2223
∂=ua(2s1,
∂y
+y)a+23a1∂∂4y∂v
(s, ∂y
y)
+
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=∂ua∂(2sy2, +y)a+24a∂2∂4y∂+v
(∂asy2,5y∂)∂y+22a25
∂ 2v (s, ∂y 2
2π
+∞⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ )e−iωτ dτ ⎥⎦⎤eiωt dω，
∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt(实自变量的复值函数) −∞
称为f (t)的Fourier变换，记为F[ f (t)]。
∫1 +∞ F (ω)eiωtdω 称为F (ω)的Fourier逆变换，
2π −∞ 记为F −1[F (ω)] .
y) y)
= =
d22 f −d 21
(s, y) f (s, y)
⎪⎪⎧d21
=
a21
+
a23
∂ ∂y
⎨ ⎪⎪⎩d22
1+ k
1+ k
λ2,4
=
1 2
(−β
+
3−kδ2)∓ 1
1+ k
2
− 2β
3 − k δ 2 (2is + δ ) + (4s2 + β 2 − 4isδ ) + 3 − k δ 2
1+ k
1+ k
23
4
∑ f ( s , y ) = Ai ( s )e λi y i =1
⎧u ⎩⎨v
(s, (s,
∫ f (t) = 1 +∞ F (ω)cosωtdω
π0
15
当f(t)是偶函数
∫ ∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt = 2 +∞ f (t)cosωt dt
−∞
0
当f(t)是奇函数
∫ ∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt = −2i +∞ f (t)sinωt dt
−∞
+ a25
∂2 ∂y 2
(s, y) = 0
22
(b11
+ b12
∂ ∂y
+ b13
∂2 ∂y 2
+ b14
∂3 ∂y 3
+ b15
∂4 ∂y 4
)
f
(s, y)
=
0
⎧b11 = −a12 a21 + a11a22
⎪⎪⎪⎨bb1132
= =
−(a14 a21 − a13a22 + a12 a23 − a11a24 ) a15a22 − a14 a23 + a13a24 + a11a25
⎧ ⎪d11 ⎪
=
a11
+
a13
∂ ∂y
+
a15
∂2 ∂y 2
⎪ ⎪⎪d12
=
a12
+
a14
∂ ∂y
⎨ ⎪⎪d 21
=
a21
+
a23
∂ ∂y
(b11
d 21 d 22
+
b12
∂ ∂y
+
b13
∂2 ∂y 2
+ b14
∂3 ∂y 3
+ b15
∂4 ∂y 4 ) f
⎪ ⎪⎪⎩d 22
=
a22
+
a24
∂ ∂y
积分变换
1
§3.1傅里叶(Fourier)级数展开与傅里叶变换
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而
变的周期函数fT(t) 打交道. 例如:
t
2
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函 数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
一. 傅里叶级数展开
μ ( x,
y)( ∂u ∂y
+
∂v ) ∂x
σ ij, j = 0
μ
(x,
y)
=
μ eδx+ βy 0
得到关于位移的偏微分方程组
19
积分变换
⎧ ⎪⎪a11u (s,
y)
+
a12v (s,
y)
+
a13
∂u
(s, ∂y
y)
+
a14
∂v (s, ∂y
y)
+
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=
0
⎨ ⎪⎪⎩a21u (s,
F
⎡ ⎢⎣
t −∞
f
(t
)
d
t
⎤ ⎥⎦
=
1
jω F
[ f (t)]
∫ 证明: 因为 d
t
f (t)d t = f (t)
d t −∞
∫ jωF
8
2. Fourier变换与逆变换的性质 下面介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便
起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都 满足傅氏积分定理中的条件, 不再重述这些条件.
1）线性性质:
F[af (t) + bg(t)] = aF[ f (t)] + bF[g(t)]
∑ fT (t)
=
a0 2
+
∞
( an
n=1
cos nωt
+ bn
sin nωt )
4
∫ 其中ω = 2π T ,
an
=
2 T
T2 −T 2
fT
(t)cos nωtdt
(n
=
0,1, 2,
)
∫ bn
=
2 T
T2 −T 2
fT
(t ) sin
nωtdt
(n
= 1,2,
)
在间断点t处成立：
∑ fT (t
y)
+
a22v (s,
y)
+
a23
∂u (s, ∂y
y)
+
a24
∂v (s, ∂y
y)
+
a25
∂ 2v (s, ∂y 2
y)
=
0
∫ ∫ u (s, y) = +∞u(x, y)e−isxdx v(s, y) = +∞ v(x, y)e−isxdx
−∞
−∞
⎧a11 = −(1 + k)(s − iδ )s
0
16
4. 利用Fourier变换求解微分方程 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分 性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可 以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是 求解数学物理方程的方法之一.
17
例： 求解微分积分方程
∫ ax′(t) + bx(t) + c t x(t) d t = h(t) −∞
2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ
)e−iωτ
dτ
⎤ ⎥⎦
eiωt dω
=
⎧⎪ ⎨
f (t) f (t +
0)
+
f
(t
−
0)
⎪⎩
2
t为连续点； t为间断点。
∫ 在(−∞, +∞)绝对可积是指的
+∞
|
f (t) | dt 收敛。
−∞
6
三、 Fourier变换
1. Fourier变换的定义
∫ ∫ 已知：f (t) = 1
−∞
= jωF [ f (t)]
11
一般地，若 lim f (k) (t) = 0 (k = 0,1, 2, t →+∞ F ⎡⎣ f (n) (t)⎤⎦ = ( jω )n F (ω)
,n −1),则
12
5）积分性质
∫ 如果当t → +∞时, g(t) = t f (t)d t → 0 −∞
∫ 则
位移 : f (t − t0 ) ↔ f (t)e jω0t ↔
导数 : f ′(t)
F (ω) e− jωt0 F (ω − ω0 ) ↔ jωF (ω)
∫ 积分 : t f (t) d t −∞
↔
相似 : f (at) (a ≠ 0) ↔
1
jω
F
(ω)
1 F⎜⎛ ω ⎟⎞
|a| ⎝a⎠
翻转 : f (−t)
并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满 足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
则fT (t)可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立：
F −1[ AF (ω) + BG(ω)] = AF −1[F (ω)] + BF −1[G(ω)]
9
2） 位移性质:
若F [
f
(t)]
=
F
(ω )，t 0
,
ω
为实常数，则
0
F [ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F (ω)，
F −1[F (ω ± ω0 )] = e∓ jω0t f (t)
y)
=0 =0
21
若取 d11 d12 f (s, y) = 0 d 21 d 22
⎩⎨⎧dd1211uu
(s, (s,
y) y)
+ +
d12v (s, d22v (s,
y) y)
= =
0 0
⎧u ⎩⎨v
(s, (s,
y) y)
= =
d22 f −d 21
(s, y) f (s, y)
d11 d12 f (s, y) = 0
若F [ f (t)] = F (ω)，且 lim f (t) = 0,则 t →+∞ F [ f ′(t)] = jωF (ω)
∫ 解释： F [ f ′(t)] = +∞ f ′(t) e−jωtd t −∞
∫ = f (t) e− jωt +∞ + jω +∞ f (t) e− jωtd t
−∞
+ 0) + 2
fT (t
− 0)
=
a0 2
+
∞
(an cos nωt
n=1
+ bn sin nωt )
引进复数形式：
cos nωt = e inωt + e −inωt , sin nωt = e inωt − e −inωt
2
2i
∫ ∫ f (t) = 1
2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ
⎪⎪b14 = a15a24 + a13a25
⎪⎩b15 = a15a25
特征方程 b11 + b12λ + b13λ2 + +b14λ3 + b15λ4 = 0
λ1,3
=
1 2
(−β
−
3−kδ2)∓ 1
1+ k
2
2β
3 − k δ 2 (2is + δ ) + (4s2 + β 2 − 4isδ ) + 3 − k δ 2
其中−∞<t<+∞, a,b,c均为常数
解：根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
F[ f (t)] = X (ω) F[h(t)] = H (ω)
在方程两边取傅氏变换, 可得
ajωX (ω) + bX (ω) + c X (ω) = H (ω)
jω
X (ω) = H (ω)
b
+
j⎜⎛ ⎝
aω
−
c
( ) 或F [e jω0t f (t)] = F (ω − ω0 )
3） 相似性：
若F[ f (t)] = F (ω)，a ≠ 0,则
F[ f (at)] =
1
ω
F( )
; F −1[F (at)] =
1
f(t)
aa
aa
10
4）微分性：
如果f(t)在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点,
↔ F (−ω)
14
3. Fourier余弦变换和正弦变换
∫ ∫ f
(t)
=
1
2π
+∞⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ )e−iωτ dτ
⎥⎦⎤eiωt dω，
正弦变换及反变换
∫ F(ω) = 2 +∞ f (t)sinωt dt 0
∫ f (t) = 1 +∞ F (ω)sinωtdω
π0
∫ 余弦变换及反变换 +∞ F(ω) = 2 f (t)cosωt dt 0
)e−iωτ
dτ
⎤ ⎥⎦
eiωt dω
f(x)傅氏积分公式
5
二、傅氏积分定理
若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;
即：除去有限个间断点处处连续；
分段单调，单调区间个数有限。
2, f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有
∫ ∫ f (t) = 1
=∂ua∂(1sy1, +y )a+13a∂1∂4y ∂+v
(s,
a∂y15
y∂)
2
+
∂y 2
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=∂ua∂(12sy,+y)a1+4
a∂∂2y4
∂v
(s, ∂y
y)
+
a25
∂ 2v (s, ∂y 2
y)
=0 =0
⎧ ⎪⎪a11u ⎨ ⎪⎪⎩a21u
(s, (s,
y) y)
⎪⎪⎪⎨aa1132
= =
i(k −1)sβ (k −1)β
⎪⎪a14 = 2is − (k − 3)δ
⎪⎩a15 = k − 1
⎧a21 = −i(k − 3)sβ
⎪⎪⎪⎨aa2232
= =
−(k −1)(s − iδ )s 2is + (k −1)δ
⎪⎪a24 = (k + 1)β
⎪⎩a25 = k + 1
7
注意上述关系：
在一定条件下成立
若F[ f (t)] = F (ω),则F −1[F (ω)] = f (t) 若F −1[F (ω)] = f (t),则F[ f (t)] = F (ω)
f (t)←⎯→ F (ω)：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f (t)称为原像函数，F (ω)称为像函数。
+ +
a12v (s, a22v (s,
⎨ y) ⎪⎪+da2113
⎪ y)⎪⎪⎩+da2223
∂=ua(2s1,
∂y
+y)a+23a1∂∂4y∂v
(s, ∂y
y)
+
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=∂ua∂(2sy2, +y)a+24a∂2∂4y∂+v
(∂asy2,5y∂)∂y+22a25
∂ 2v (s, ∂y 2
2π
+∞⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ −∞
f
(τ )e−iωτ dτ ⎥⎦⎤eiωt dω，
∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt(实自变量的复值函数) −∞
称为f (t)的Fourier变换，记为F[ f (t)]。
∫1 +∞ F (ω)eiωtdω 称为F (ω)的Fourier逆变换，
2π −∞ 记为F −1[F (ω)] .
y) y)
= =
d22 f −d 21
(s, y) f (s, y)
⎪⎪⎧d21
=
a21
+
a23
∂ ∂y
⎨ ⎪⎪⎩d22
1+ k
1+ k
λ2,4
=
1 2
(−β
+
3−kδ2)∓ 1
1+ k
2
− 2β
3 − k δ 2 (2is + δ ) + (4s2 + β 2 − 4isδ ) + 3 − k δ 2
1+ k
1+ k
23
4
∑ f ( s , y ) = Ai ( s )e λi y i =1
⎧u ⎩⎨v
(s, (s,
∫ f (t) = 1 +∞ F (ω)cosωtdω
π0
15
当f(t)是偶函数
∫ ∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt = 2 +∞ f (t)cosωt dt
−∞
0
当f(t)是奇函数
∫ ∫ F(ω) = +∞ f (t)e−iωtdt = −2i +∞ f (t)sinωt dt
−∞
+ a25
∂2 ∂y 2
(s, y) = 0
22
(b11
+ b12
∂ ∂y
+ b13
∂2 ∂y 2
+ b14
∂3 ∂y 3
+ b15
∂4 ∂y 4
)
f
(s, y)
=
0
⎧b11 = −a12 a21 + a11a22
⎪⎪⎪⎨bb1132
= =
−(a14 a21 − a13a22 + a12 a23 − a11a24 ) a15a22 − a14 a23 + a13a24 + a11a25
⎧ ⎪d11 ⎪
=
a11
+
a13
∂ ∂y
+
a15
∂2 ∂y 2
⎪ ⎪⎪d12
=
a12
+
a14
∂ ∂y
⎨ ⎪⎪d 21
=
a21
+
a23
∂ ∂y
(b11
d 21 d 22
+
b12
∂ ∂y
+
b13
∂2 ∂y 2
+ b14
∂3 ∂y 3
+ b15
∂4 ∂y 4 ) f
⎪ ⎪⎪⎩d 22
=
a22
+
a24
∂ ∂y
积分变换
1
§3.1傅里叶(Fourier)级数展开与傅里叶变换
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而
变的周期函数fT(t) 打交道. 例如:
t
2
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函 数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
3
一. 傅里叶级数展开
μ ( x,
y)( ∂u ∂y
+
∂v ) ∂x
σ ij, j = 0
μ
(x,
y)
=
μ eδx+ βy 0
得到关于位移的偏微分方程组
19
积分变换
⎧ ⎪⎪a11u (s,
y)
+
a12v (s,
y)
+
a13
∂u
(s, ∂y
y)
+
a14
∂v (s, ∂y
y)
+
a15
∂2u (s, ∂y 2
y)
=
0
⎨ ⎪⎪⎩a21u (s,
F
⎡ ⎢⎣
t −∞
f
(t
)
d
t
⎤ ⎥⎦
=
1
jω F
[ f (t)]
∫ 证明: 因为 d
t
f (t)d t = f (t)
d t −∞
∫ jωF