与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练22

课时跟踪训练(二十二)
[基础巩固]
一、选择题
1．(2018·湖南张家界一中月考)为了得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象，只需将g (x )＝2sin x 的图象( )
A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π
9个单位长度
B ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向右平移π
3个单位长度
C ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3，再将所得图象向右平移π
3个单位长度
D ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3，再将所得图象向右平移π
9个单位长度
[解析] 将g (x )＝2sin x 的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，得y ＝2sin3x 的图象；再将所得图象向右平移π
9个单位长度，得f (x )＝2sin3⎝
⎛⎭
⎪⎫x －π9＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫3x －π3的图象．故选D.
[答案] D
2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )
A ．ω＝12，φ＝π
6 B ．ω＝12，φ＝π
3 C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝π
3
[解析] 由T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π
3. [答案] D
3．(2018·河南平顶山模拟)为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需
将函数y ＝sin x 的图象( )
A ．向左平移π
6个长度单位 B ．向右平移π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6个长度单位 D ．向右平移5π
6个长度单位
[解析] 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6.故其图象可以看作函数y ＝sin x 的图象向左平移5π
6个长度单位而得到．
[答案] C
4．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A ．98π B.1972π C.1992π
D ．100π
[解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π
2.
[答案] B
5．将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.5π12
[解析] 函数y ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， 将函数y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋2φ＋π3的图象，函数是偶函数．
令2φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π2＋π
12(k ∈Z )． 当k ＝0时，φ＝π
12.此时|φ|最小．故选A. [答案] A
6．如图，某地一天从6～14时的温度(单位：℃)变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0,0<φ<π)，则中午12时最接近的温度为( )
A ．26℃
B ．27℃
C ．28℃
D ．29℃
[解析] 由图象，得A ＝30－102＝10，b ＝30＋10
2＝20，最小正周
期T ＝2×(14－6)＝16，得ω＝2πT ＝π
8，即y ＝10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x ＋φ＋20. 把(10,20)代入函数式，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π4＋φ＝0，由五点法作图，知φ＝3π
4，即函数解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8
x ＋3π4＋20. 当x ＝12时，y ＝10sin π
4＋20≈27，故选B. [答案] B 二、填空题
7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＝________.
[解析] 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π
2，得ω＝4.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4×π3－π3＝0.
[答案] 0
8．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________． [解析] f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －2π3， 易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π
6， ∴－3
2≤f (x )≤3.
[答案] ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，3
9. (2017·湖南永州二模)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪
⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是________．
[解析] 由函数f (x )的图象，得34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2π
ω＝π，
∴ω＝2.
又∵函数f (x )的图象经过⎝
⎛⎭
⎪⎫
5π12，2，
∴2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2×5π12＋φ，
∴5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π
3，k ∈Z .
又∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，解得f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k π－π12，5π12＋k π，k ∈Z .
[答案] ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
k π－π12，5π12＋k π，k ∈Z
三、解答题
10．(2017·郴州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周
期为π.
(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？
[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ωx ＋π3，
因为T ＝π，所以2π
ω＝π，即ω＝2， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3.
列表如下：
y ＝f (x
(2)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π
3个单位长度， 得到函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ＋π3的图象．
再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐
标不变)，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．
[能力提升]
11. (2017·贵州省贵阳市高三监测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2的值为
( )
A ．2 2 B. 2 C ．－2
2
D ．－2
4
[解析] 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的
图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝1
2.因为
0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝
⎛⎭
⎪⎫3π8＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π
4＋φ＝π，
解得φ＝π4，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π＋π4＝－12×2
2＝－2
4，故选D.
[答案] D
12. (2017·云南省高三统一检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )
A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈Z
B ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈Z
C ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈Z
D ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z
[解析] 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π
4，所以f (x )
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2
(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z )，故选D.
[答案] D
13．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)
的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为________．
[解析] 由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－4
5，sin φ＝3
5.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π
2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. [答案] －4
5
14．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π
4个单位长度，
所得图象经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
3π4，0，则ω的最小值是________．
[解析] 将函数y ＝sin ωx 向右平移π
4个单位可得解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx －ωπ4，当x ＝3π4时，y ＝0，代入令3π4ω－π
4ω＝k π⇒ω＝2k ，又
因为ω>0，所以k ＝1时，得ω取得最小值为2.
[答案] 2
15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭
⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所
示．
(1)求f (x )的最小正周期及解析式；
(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的单调性． [解] (1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π
6，故ω＝2， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
ω＝π.
当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝1，即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π
6.
所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
(2)g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令z ＝2x －π
6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z .
设A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，B ＝x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减．
16．设函数f (x )＝12sin2x ＋36cos2x .
(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图
象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上的值域． [解] f (x )＝12sin2x ＋36cos2x ＝33sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝π，
令2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z .
∴函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z .
(2)由题意得，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝33sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π2 ＝－33cos2x .
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，23π， ∴cos2x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1， ∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－33，36.
[延伸拓展]
函数f (x )是R 上的增函数，且f (sin ω)＋f (－cos ω)>f (－sin ω)＋
f (cos ω)，其中ω为锐角，并且使得函数
g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是__________．
[解析] 由函数f (x )是R 上的增函数，且f (sin ω)＋f (－cos ω)>f (－
sin ω)＋f (cos ω)，得sin ω>cos ω.又ω为锐角，所以ω∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2.因为ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋π4，ωπ＋π4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋π4，ωπ＋π4⊆⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54，综上可得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤π4，54. [答案] ⎝ ⎛⎦
⎥⎤π4，54。