2020届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.1Word版含解析.doc

A 级
1．以下函数f(x)中，知足“ ? x1，x2∈ (0，＋∞ )，且 x1≠ x2，(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]<0”的
是()
1
A ． f(x)＝ x－ x
B． f(x)＝ x3
C．f(x)＝ ln x D． f(x)＝2x
分析：“ ? x1，x2∈ (0，＋∞ )，且 x1≠ x2，( x1－ x2) ·[f(x1)－ f(x2)]<0”等价于在(0，＋∞ )
上 f(x)为减函数，易判断f(x)＝ 1－ x 切合．
x
答案：A
ax＋ b， x<－ 1
f( － 3)等于 () 2．若函数 f( x)＝的图象如下图，则
ln x＋ a ， x≥－ 1
15
A．－2B．－4
C．－ 1D．－ 2
分析：由图象可得a( － 1) ＋ b ＝ 3 ， ln( － 1＋ a) ＝ 0 ，得 a ＝ 2 ， b＝ 5，∴ f(x) ＝
2x＋ 5， x<－ 1，
故 f(－3) ＝2× (－ 3)＋ 5＝－ 1，应选 C.
ln x＋ 2 ，x≥ － 1
答案：C
a
知足 f(2)＝ 4，那么函数 g(x) ＝|log a (x＋ 1)|的图象大概为 () 3．函数 f(x)＝ x
分析：由已知得 a＝ 2，因此 g(x)＝ |log2(x＋ 1)|.函数 y＝ log2( x＋ 1)在 (－ 1,0)上单一递加且y<0，在 (0，＋∞ )上单一递加且 y>0，因此函数 g(x)在 (－ 1,0)上单一递减且 y>0，在 (0，＋∞) 上单一递加且 y>0.
答案：C
4． (2017 ·西三市第一次联考广)已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞， 0]上单一递加，若实数 a 知足 f(2log 3a)>f(－2)，则 a 的取值范围是()
A ． (－∞， 3)
B ． (0， 3)
C ．( 3，＋∞ )
D ． (1， 3)
分析： ∵ f(x)是定 在 R 上的偶函数， 且在区 (－ ∞ ，0]上 增， ∴ f(x)在区 [0，＋∞ )上 减． 依
据函数的 称性， 可得 f(－ 2) ＝f( 2)，∴ f(2log 3 a)>f( 2) ．∵ 2log 3a>0，
f(x)在区 [0，＋ ∞ )上 减，∴ 0<2log 3a<
2? log 3a< 1
? 0< a< 3，故 B.
2
答案： B
5．定 在 R 上的函数 f(x) 足 f(x) ＝f(x ＋ 4)．当－ 2≤ x<0 ，f(x)＝ log 2( － x)；当 0≤ x<2
， f(x)＝ 2x －
1， f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋⋯＋ f(2 018)的 (
)
A ．630
B ． 1 262
C ．2 520
D ． 3 780
分析：
因 f(x)＝ f(x ＋ 4)，因此函数
f(x)的周期
4.
当－ 2≤ x<0 ， f(x)＝ log 2 (－x)；
当 0≤x<2 ， f(x)＝ 2x －
1.
因此 f(1) ＝ 20＝ 1， f(2)＝ f(－ 2)＝ log 22＝1，
－ 1
1
f(3) ＝ f(－ 1)＝ log 21＝ 0， f(4)＝ f(0) ＝ 2
＝
2.
1
5
因此在一个周期内有 f(1) ＋f(2) ＋ f(3)＋ f(4)＝ 1＋ 1＋ 0＋ ＝ ，
5
因此 f(1) ＋ f(2) ＋ ⋯＋ f(2 018)＝ 504× ＋ f(1) ＋ f(2)＝ 1 262.
答案：
B
1 的 域是 ________．
6．函数 f(x)＝ ln |x|＋ 1
分析： 因 |x|≥ 0，因此 |x|＋ 1≥1. 因此 0<
1 ≤ 1.因此 ln 1
≤0，
|x|＋ 1
|x|＋ 1
即 f(x) ＝ln 1
的 域 (－ ∞ ， 0]．|x|＋ 1
答案：
(－∞， 0]
1－ 2a x ＋3a ， x<1，
7．已知函数 f(x)＝ x －1
，x ≥ 1
的 域 R ， 数 a 的取 范 是 ________．
2
分析：
x －
1
≥1，
当 x ≥ 1 ， f(x)＝ 2
1－2a x ＋ 3a ， x<1，
∵函数 f(x)＝ x － 1
的 域 R ，
2 ， x ≥ 1
∴当 x<1 ， (1－ 2a)x ＋ 3a 必 取遍 (－ ∞ ，1)内的全部 数，
1－ 2a>0 ，
解
1－ 2a ＋ 3a ≥ 1，
1
得 0≤ a< .
2
答案：
1
0，2
8．若当 x∈ (1,2) 时，函数 y＝ (x－ 1)2的图象一直在函数 y＝ log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ________．
分析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ (x－ 1)2和 y＝ log a x 的图象．因为
a>1，
y＝ (x－ 1)2的图象恒在函数 y＝ log a x 的图象的下方，则解得 log a2≥ 1 1<a≤ 2.
答案： (1,2]
9．已知函数 f(x) ＝x2＋a
(x≠ 0， a∈R )．x
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)若 f(x)在区间 [2，＋∞ )上是增函数，务实数 a 的取值范围．
2
为偶函数；
分析： (1)当 a＝ 0 时， f(x)＝ x (x≠ 0)
当 a≠0 时， f(－ x)≠ f(x)，
f(－x)≠－ f(x)，
因此 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
a
(2)f′ (x)＝ 2x－x2，要使 f(x)在区间 [2，＋∞ )上是增函数，只要当x≥ 2 时， f′ (x)≥ 0 恒
a3
建立，即 2x－x2≥ 0，则 a≤ 2x ∈ [16，＋∞ )恒建立．
故若 f(x)在区间 [2，＋∞)上是增函数，则实数 a 的取值范围为 (－∞， 16] ．
10．已知函数 f(x)＝ a x＋ b(a>0， a≠ 1)．
(1)若 f(x)的图象如图①所示，求a， b 的值；
(2)若 f(x)的图象如图②所示，求a， b 的取值范围；
(3)在 (1) 中，若 |f(x)|＝ m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．
分析：(1) f(x)的图象过点 (2,0)， (0，－ 2)，因此a2＋ b＝ 0，
3，b＝－ 3.
解得 a＝
a0＋ b＝－ 2，
(2)f(x)单一递减，因此0<a<1，
又 f(0)<0 ，即 a0＋ b<0，因此 b<－ 1.
(3)画出 y＝ |f(x)|的草图，知当m＝0 或 m≥ 3 时， |f(x)|＝ m 有且仅有一个实数解．
B 级
1．已知定义在R 上的函数f(x)知足 f(x＋1)＝ f(1－x)，且在 [1，＋∞ )上是增函数，不等
式 f(ax＋ 2)≤f(x－ 1)对随意 x∈1
， 1
恒建立，则实数 a 的取值范围是 () 2
A．[－3，－ 1]B． [ － 2,0]
C．[－ 5，－ 1]D． [－2,1]
分析：由定义在 R 上的函数f(x)知足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，可得函数图象对于 x＝ 1 对称，且函数f(x)在( －∞， 1)上递减，由此得出自变量离 1 越近，函数值越小．综合考虑四个选项，注意0,1 不存在于 A ， C 两个选项的会合中， B 中会合是 D 中会合的子集，故可经过考证 a 的值 (取 0 与 1 时两种状况 )得出正确选项．当a＝ 0 时，不等式 f( ax＋ 2)≤ f(x－ 1)变成 f(2) ≤ f(x－ 1)，由函数 f(x)的图象特点可得|2－ 1|≤ |x－ 1－ 1|，解得
1
x≥3 或 x≤ 1，知足不等式f(ax＋ 2)≤ f(x－ 1)对随意 x∈2，1
恒建立，由此清除A，C两个
选项．当 a＝ 1 时，不等式f(ax＋ 2) ≤f(x－ 1)变成 f(x＋ 2)≤ f(x－ 1)，由函数 f(x)的图象特点可
得|x＋ 2－ 1|≤ |x－1－ 1|，解得 x≤1
，不知足不等式f(ax＋ 2)≤ f(x－1)对随意 x∈
1
， 1 恒建立，22
由此清除 D 选项．综上可知，选 B.
答案：B
2．(2017·汉调研武)定义函数y＝ f( x)， x∈ I ，若存在常数M，对于随意x1∈ I ，存在独一
的 x2∈ I，使得f x1＋f x2
＝ M，则称函数 f(x)在 I 上的“均值”为 M ，已知 f(x)＝ log2x， x∈2
[1,2 2 016 ]，则函数 f(x)＝ log2x 在 [1,22 016] 上的“均值”为 ________．
分析：依据定义，函数 y＝f(x)， x∈ I，若存在常数 M，对于随意x1∈ I ，存在独一的
x2∈ I ，使得f x1＋f x2
＝ M，则称函数f(x)在 I 上的“均值”为 M，令 x1 x2＝1·22 016＝ 22 016， 2
2 016 ]时，选定 x 2＝
2
2 016 ∈[1,2
2 016
]，
当 x 1∈ [1,2 1
x
可得 M ＝
1
log 2 (x 1x 2)＝1 008.
2
答案： 1 008
3．已知函数 g(x)＝ ax 2－ 2ax ＋ 1＋ b(a>0) 在区间 [2,3] 上有最大值 4 和最小值
1.设 f(x)＝
g x
x .
(1)求 a ， b 的值；
(2)若不等式 f(2x )－ k ·2x ≥ 0 在 x ∈[－ 1,1] 上有解，务实数 k 的取值范围．
分析：
(1) g( x)＝ a(x －1) 2＋ 1＋b － a ，因为 a>0，
因此 g(x)在区间 [2,3] 上是增函数，
g 2 ＝ 1， 故
g 3 ＝ 4，
4a － 4a ＋ 1＋ b ＝ 1，
a ＝ 1， 即 9a － 6a ＋ 1＋
b ＝ 4， 解得
b ＝ 0.
1 －2，因此 f(
2 x x
≥ 0 可化为 2
x
1 x
1 2 1
(2)f(x)＝ x ＋ x
)－ k ·2 ＋ x
2≥k ·2 ，即 1＋
2 x
－ 2·x
2 －
2 ≥ k ，
1 2
令 t ＝
x ，则 k ≤ t － 2t ＋ 1.
2
因为 x ∈[－ 1,1] ，因此 t ∈ 1
， 2
2
－ 2t ＋ 1，
2 ，记 h(t)＝ t
则 h(t) max ＝ h(2)＝ 1.因此 k ≤1.
故 k 的取值范围是 (－∞ ， 1]．
4．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 1,1] ，当 x ∈ [ － 1,0)时， f(x)＝－ 1 x
.
2 (1) 求函数 f(x)在 [0,1] 上的值域；
1 2 λ
(2) 若 x ∈ (0,1] ， y ＝4f (x)－ 2f(x)＋ 1 的最小值为－ 2，务实数 λ的值． 分析： (1)设 x ∈ (0,1] ，则－ x ∈ [－ 1,0)， 因此 f(－ x)＝－
1 －
x ＝－ 2x .
2
又因为 f(x)为奇函数，因此
f(－ x)＝－ f(x)，
x
因此当 x ∈ (0,1] 时， f(x)＝－ f(－x)＝ 2 ，
又 f(0) ＝0，
因此当 x ∈ [0,1] 时函数 f(x)的值域为 (1,2] ∪ {0} ．
(2)由 (1) 知当 x ∈ (0,1] 时， f(x)∈ (1,2] ，
1 1 因此 f(x)∈
， 1 ，
2 2
1 1 令 t ＝ 2f(x) ，则 2<t ≤ 1，
1 2
λ 2
－ λt＋1＝
g(t)＝ f
(x)－
f(x)＋ 1＝ t 4 2
λ 1
，即 λ≤1 时，
①当 ≤
2 2
1 g(t)> g
2 无最小值．
1 λ ②当 < ≤ 1 即 1<λ≤
2 时，
2 2
2
g(t)min ＝ g λ＝ 1－ λ
＝－ 2.
2
4
2 λ2
λ
t － 2
＋
1－
4 .
解得 λ＝ ±2 3舍去．
λ
③当 2>1 ，即 λ>2 时， g(t)min ＝ g(1)＝－ 2，解得 λ＝ 4.
综上所述： λ＝ 4.。