高中数学北师大版必修1 3.2 教学设计 《指数概念的扩充》(北师大)

《指数概念的扩充》
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。

从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。

进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

【知识与能力目标】
1．在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念；
2．能够理解引入分数指数概念后m a （0 a ）表示实数。

【过程与方法目标】
1．让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；
2．随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展。

【情感态度价值观目标】
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心。

【教学重点】
理解分数指数幂的概念及表示。

◆教学重难点
◆
◆教材分析
◆教学目标
【教学难点】 分数指数的引入。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分
回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质：
()n a a a a n N +=⋅⋅⋅⋅∈
01(0)a a =≠
1(0,)n n
a a n N a -+=≠∈ 二、研探新知，建构概念
1．数指数幂：
一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数m ,n ，存在唯一的正实数b ，使得n m b a =，
我们把b 叫做a 的m n
次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂。

例如：233253357,7;3,3b b x x ====则则等。

提出问题
（1） 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0
①1051025255
()a a a a === ②884242()a a a a =
== ③1212343444()a
a a a === ④1010
5252()a a a a === （2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？
3535745,7,,n m a x ，（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，）
正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是m
n m n a
a =（a ＞0，m ，n N +∈，
且n ＞1） ◆课前准备
◆ ◆教学过程
提出问题：
负分数指数幂的意义是怎样规定的？
你能得到负分数指数幂的意义吗？
你认为如何规定0的分数指数幂的意义？
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：
1n n a a -=（a ≠0，n N +∈
），1m n m n
a a -==（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1） 零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：
(1)()0,,;r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈
(2)()()0,,;s r rs a a a r s Q =>∈
(3)()()0,0,.r r r ab a b a b r Q =>>∈
三、质疑答辩，发展思维 例1 下列各式中的写成正分数指数幂的形式：
()5132;b = ()4523;b = ()()-5n 3m 3,b m n N π+=∈
解：(1)
1532b ==；(2)
543b ==；
(3)()35,m
n b m n N π-+==∈
例2 求值：(1)238；(2)1225
-；(3)-512⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解：(1)2
38＝233(2)＝2332
⨯＝22＝4 (2)1
225-＝122(5)
-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15 (3) -512⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32 (4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＝-3
23⎛⎫ ⎪⎝⎭＝278 变式训练: b
计算：（1）1-38；（2）2-327；
解：（1）因为32=8，所以1-313118=
=28 （2）因为2327=9，所以2
-323
1127=
=927 四、课堂小结 1．正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂。

2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数。

3．若n m
b a =，则我们把叫做的m n 次幂，记作m n b a =，且n m a =n m a 五、作业布置
1．本66页练习1、2题
2．理指数幂
请同学们阅读教材65页至66页理解指数可以扩充到全体实数是否有意义？
略。

b a ◆教学反思。