正定矩阵与性质

27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
33 3
A2 6
6 130 2
65
11 1
18
18 (6511 2) 18 713 0,
2 65
detA := 832176
20
a2 2ab b2 (a b)2 0, ab 1 (a2 b2 ).
2
f f 99x12 130x22 71x32
12
1 2
(
x12
x22
)
48
1 2
( x12
x32
)
60
1 2
( x22
x32
)
99x12 130x22 71x32 6(x12 x22 ) 24(x12 x32 ) 30(x22 x32 ) 69x12 94x22 17x32 0, (x1, x2 , x3) 0.
21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 t在什么范围取值时二次型
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 QT AQ ,| QT AQ || QT || A || Q |
| Q1 || A || Q || Q |1| A || Q || A || | 1 L n 0.
4
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
A
6 2 2
2 5 0
2
0 7
.
E A 6 2 2 6 2 2
RT AR QTPT APQ QTEQ E,
RTBR 为对角形.
11
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
a13
a23
,L
,
a33
13
a11 L a1s
a11 L a1n
As
M
M
M ,L
, An
M
M
M A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.
证明 必要性
设A是正定矩阵,则对于非零向量 Xi (x1,L , xi ),
16
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C
T 3
(C2TC1T
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/ 2
O
O En1
d
O
O
d 1/2
E.
于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.
X T P T PX (PX )T PX PX 2 0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
10
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
1 3,2 6,3 9.
6
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2A2 4A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 22 4 3为 A3 2A2 4A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
7
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2 ( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0, 1. 2 3 0, (1)2 12 11 0.
X Rm , X T AT AX ( AX )T AX 0.
故 AT A半正定. r( A) r min(n,m),列向量组线性相关, 存在非零向量X,使得AX=O, X TATAX (AX )T AX 0, 故 AT A 非正定.
29
正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
例如
1 2 3
A
2 3
4 5
5 2
,
1 2
24 ,
45
51 ,
23
3 2
是2阶主子式.其中只有 1 2 是2阶顺序主子式.
24
24
三、正定矩阵的性质
1.若A为正定矩阵,则|A|>0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全 部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定. 3.正定矩阵的对角线元素都是正数. 4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵. 5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵. 6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT. 7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零.
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3x22 2x32 2x1 x2 2x1 x3 4x2 x3
是正定二次型?
解 1 1 t
A
1 t
3 2
2 2
.
|
A1 | 1 0,|
A2 |
1 1
1 1 t 1 0 0
1 2 0,
3
| A3 | 1 3 2 1 2 2 t t 2 2 t 2 t 2 t2
2(2 t 2 ) (2 t)2
22
4 2t 2 4 4t t 2 3t 2 4t t(3t 4) 0. t(3t 4) 0, t1 4 / 3, t2 0. 4 / 3 t 0.
23
定义 实对称矩阵A的第 i1 ,L , ik 行和第 i1 ,L , ik 列的元素组成的行列式称为主子式.
即 X QY,显然 Y O, 又1 0,L ,n 0, 故
f X T AX
n
(QY )T AQY Y T (QT AQ)Y Y TY i yi2 0.
这就证明了条件的充分性.
i 1
3
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
于是
AX X ,
X T AX X T X 0, X T X 0,故 0.
X
T i
Ai
X
T i
(
X
T i
O)A
Xi O
0.
即Ai为正定矩阵,故其行列式 Ai 0.
14
充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证 明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
a11 0, x1 0,a11 x12 0.
设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
9
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
X T(PT AP)X (PX )T A(PX ) 0,
故P T AP 是正定矩阵.
26
AT A, AAT 的若干性质
1.若A为n阶可逆矩阵,则 AT A, AAT 为正定矩阵.
证明 ( AT A)T AT( AT )T AT A, AT A 是实对称矩阵 . 对于任意 X O, A可逆, AX O,否则 AX O, X A1X O.
1.其特征值都是正数.
2.A合同于 En .
3. A PTP, P 可逆.
4.A的顺序主子式全是正数.
5.A的主子式全是正数.
19
例 判断下列二次型是否正定:
f 99x12 12x1x2 48x1x3 130x22 60x2 x3 71x32
99 6 24
A
6
130
30 , A1 99 0,
X T AT AX ( AX )T ( AX ) AX 2 0.
故AT A 正定.
2.若A为 n m矩阵,且 r( A) m n,则 AT A 为m阶 正定矩阵, AAT 为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.
证明 任意 X O, r( A) m,A的列向量组线性无关,
AX O, X T AT AX ( AX )T AX AX 2 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故 A是正定矩阵.
8
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CT AC E,对于任意向量X≠O,由于
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
1
,| C2 | 1 0,
C2TC1T AC1C2
En1
TG
O 1
En1
TG
G T
ann
En1 O
GT
1
En1 O
ann
G T TGGT
En1 O
GT
1
En1 O
ann
O
TGGT
En1 O
O d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
12
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1,L , n 称为A的顺序主子式.即
A1
(a11 ), A2
a11
a21
a12 a22
, A3
a11
a21
a31
a12 a22 a32
25
证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使 得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT. 8. 若A为n阶正定矩阵,r(Pnm ) m n, 则 P T AP 正定. 证明 对于任意m维列向量 X O, 由于 r(Pnm ) m n, 矩阵P的列向量组线性无关, PX 是P的列向量的 非零线性组合,故 PX O, 而A正定,故
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
5
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).