原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~

原来各种滤波都是贝叶斯滤波算法的实现哦~
作为解决毕业论⽂的主要算法，将贝叶斯滤波算法的所有实现算法，都仿真调试⼀下，并对⽐结果。

先验概率似然概率后验概率
全概率公式：P (T m =10.3)=P (T m =10.3|T =10)P (T =10)+P (T m =10.3|T =11)P (T =11)
其中P (T m =10.3|T =10)是似然概率（代表传感器精度），P (T =10)是先验概率（已经开始假设了），所以P (T m =10.3)为常数。

P (T m =10.3)与T 的取值⽆关，仅与T 的分布律有关。

T = 10，T = 11代表随机试验的⼀个结果，结果不会影响到分布律所以就可以改写贝叶斯公式：
P (状态(因)|观测(果))=ηP (观测|状态)P (状态)
P (T =10|T m =10.3)=
P (T m =10.3|T =10)P (T =10)
P (T m =10.3)
=ηP (T m =10.3|T =10)P (T =10)
P (T =11|T m =10.3)=
P (T m =10.3|T =11)P (T =11)
P (T m =10.3)
=ηP (T m =10.3|T =11)P (T =11)…………
即：
后验=η∗似然∗先验
求η（归⼀化⽅法）：
∑后
=η∑似∗先，并且∑
后=1，所以η=1
∑似∗先
离散：P (X =x |Y =y )=
P (Y =y |X =x )P (X =x )
P (Y =y )连续：P (X <x |Y =y )=∫x
−∞
f Y |X (y |x )f X (x )
f Y (y )
dx
其中：f X |Y (x |y )=
f Y |X (y |x )f X (x )
f Y (y )
=ηf Y |X (y |x )f X (x )
求η（归⼀化⽅法）：
η=
1
∫x −∞f Y |X (y |x )f X (x )dx
X ：状态 Y ：观测重要定理：
若f X (x )→N (µ1,σ2)，f Y |X (y |x )→N (µ2,σ22)，则：
贝叶斯滤波三⼤概率
离散情况下的贝叶斯滤波
连续情况下的贝叶斯滤波
似然概率与狄拉克函数
f X |y (x |y )→N (
σ21
σ21+σ22
µ2+
σ22
σ21+σ2
2
µ1,
σ21σ2
2
σ21+σ22
)
可继续推出：
若\sigma_1^2\gt\gt\sigma_2^2，后验\rightarrow N(µ_2,\sigma_2^2)，倾向于“观测值（似然）”若\sigma_1^2\lt\lt\sigma_2^2，后验\rightarrow N(µ_1,\sigma_1^2)，倾向于“预测值（先验）”
1~5讲，X 先验，Y 观测，仅有⼀个X ，⼀个观测Y
1. 所有的X_0, ……, X_k 的先验概率都靠猜
缺点：过于依赖观测（似然），放弃了预测（先验）信息例如：X_k=2X_{k-1}+Q_k X_k=X_{k-1}^2+Q_k
2. 只有X_0的概率是猜的，X_1,……,X_k 得先验概率是递推的
1. 马尔科夫假设，观测独⽴假设
2. 状态⽅程，观测⽅程（建模）
分两步：
1. 预测步：上⼀时刻的后验\rightarrow 这⼀时刻的先验（通过状态⽅程得到）
2. 更新步：这⼀时刻的先验\rightarrow 这⼀时刻的后验/下⼀时刻的先验
即：X_0\rightarrow X_1^-\rightarrow X_1^+\rightarrow X_2^- \rightarrow X_2^+……
贝叶斯滤波很⼤的缺点：从f_{k-1}^-到f_k^-，算\eta 、期望都要进⾏⽆穷积分，⼤多数情况下⽆法得到解析解。

解决：
1. 作假设
f(X_{k-1})、h(X_k)为线性，Q_k,R_k 为正态⾼斯分布（卡尔曼滤波）
f(X_{k-1})、h(X_k)为⾮线性，Q_k,R_k 为正态⾼斯分布（扩展卡尔曼滤波，即EKF 、UKF 等）
2. 霸王硬上⼸，直接对⽆穷积分作数值积分
⾼斯积分（不常⽤）
蒙特卡洛积分（粒⼦滤波Particle Filter ）直⽅图滤波
1. X_k=f(X_{k-1})+Q_k
2. Y_k=h(X_k)+R_k
其中：X_k 、X_{k-1}、Y_k 、Q_k 、R_k 都是随机变量3. 假设：X_0，Q_1,……,Q_k,R_1,……,R_k 相互独⽴
4. 有观测值：y_1,y_2,……,y_k ，设初值X_0->f_0(k),Q_k->f_{Q_k}(x),R_k->f_{R_k}(x)
5. 重要定理：条件概率⾥的条件可做逻辑推导
初值： X_0\rightarrow f_0^+(x)
预测：f_k^-(x)= \int_{-\infty} ^{+\infty} {f_Q[x-f(v)]f_{k-1}^+(v)}dv
随机过程的贝叶斯滤波
随机过程X_0\rightarrow X_1 \rightarrow……\rightarrow X_k 有⼀个初值X_0，有k 个观测值y_1,y_2,……,y_k ，怎么办？
怎么做？
贝叶斯滤波算法
原料：
计算步骤：
更新：f_k^+(x)=\eta f_R[y_k-h(x)]f_k^-(x)
其中：\eta = (\int_{-\infty}^{+\infty}f_R[y_k-h(x)])^{-1}
估计：\hat x_k^+= \int_{-\infty}^{+\infty}xf_x^+(x)dx
贝叶斯滤波的实现之卡尔曼滤波
1. Filter问题：请⽤计算机⽣成⼀个含正态噪声的信号，并⽤Kalman Filter滤波
2. Sensor Fusion 传感器融合：
使⽤matlab、C、C++、python
tips：
1. 使⽤矩阵形式⽽不是⼀阶
2. F、H可以不是⽅阵，阶数也可以不相同
3. 泰勒展开
贝叶斯滤波的实现之粒⼦滤波
应⽤⼴泛，原理最复杂，术语最多
适⽤环境：静态环境，动态可预测环境。

如：电池电量估算，视频跟踪，封闭环境导航（激光雷达+pf slam）缺点：⽆穷积分，⼀般⽆解析解
粒⼦滤波完整算法：
1. 给初值X_0\rightarrow N(µ,\sigma^2)；
2. ⽣成x_0^{(i)},w_0^{(i)}= \frac1n；
3. 预测步，⽣成x_1^{(i)}=f(x_0^{(i)}+v,v为N(0,Q)的随机数，共n个；
4. 更新步，设观测值为y_1，⽣成w_1^{(i)}=f_R[y_1-h(x_1^{(i)})]*w_0^{(i)}；
5. 将w_1^{(i)}归⼀化，w_1^{(i)}=\frac {w_1^{(i)}}{\sum w_1^{(i)}}；
6. 此时，得到新的粒⼦x_1^{(i)}，新的权重w_1^{(i)}；
7. 再由预测步⽣成x_2^{(i)}=f(x_1^{(i)})+v；
8. 再由更新步⽣成w_2^{(i)}=f_R[y_2-h(x_2^{(i)})]w_1^{(i)}，归⼀化；
9. 如此递推……
粒⼦滤波总结：
1. 由⼤数定律，暗⽰了pdf可由带权重（简单地理解为平均值）的粒⼦表⽰；
2. 粒⼦数量，粒⼦位置，粒⼦权重完全决定了cdf（概率分布函数），同时即决定了pdf（概率密度函数）；
3. 预测步改变粒⼦位置；
4. 更新步更新粒⼦权重。

粒⼦滤波之重采样
1. 重采样有⼀定的减弱粒⼦退化的能⼒；
2. 重采样必然会导致粒⼦多样性丧失（概率⼤的粒⼦被复制的机会越⼤，概率⼩的粒⼦可能被淘汰）；
3. 重采样必然会减慢particle filter的速度
贝叶斯滤波的实现之扩展卡尔曼滤波（EKF）
贝叶斯滤波的实现之⽆迹卡尔曼滤波（UKF）
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