九年级数学全册期末复习试卷检测题(WORD版含答案)

九年级数学全册期末复习试卷检测题（WORD 版含答案）
一、选择题
1．如图，四边形ABCD 内接于
O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）
A ．110︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．140︒
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
3．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2
S 甲和2
S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2
S 乙
B ．2S 甲＝2
S 乙
C ．2S 甲＜2
S 乙
D ．无法确定
4．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( )
A ．30πcm 2
B ．15πcm 2
C ．
152
π
cm 2 D ．10πcm 2 5．如图，已知O 的内接正方形边长为2，则O 的半径是（ ）
A．1 B．2 C．2D．22
6．如图，
点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC= 40°，则∠OBC的度数是（）
A．80°B．40°C．50°D．20°
7．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）
A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位
8．方程2x x
的解是（）
A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1
9．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）
A．方差B．众数C．平均数D．中位数
10．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）
A．（20
3
，10
3
）B．（16
3
，45
3
）C．（20
3
，45
3
）D．（16
3
，43）
11．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A ．点
B ．点
C ．点
D ．点
12．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x
…
1
3
4 …
y … 2 4 2 ﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间
13．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝
60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A ．
32
B ．3
C ．
32
3
D ．3
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
1y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）
A ．0,0a b >>
B ．0,0a b <<
C ．0,0a b ><
D ．0,0a b <>
15．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）
A ．3:2
B ．3:1
C ．1:1
D ．1:2
二、填空题
16．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________．
17．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.
18．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．
19．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________． 20．数据2，3，5，5，4的众数是____．
21．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 22．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________． 23．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
24．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半
径是______.
25．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．
26．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y
…
3
4
3
…
27．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则
2
MN
PM ＝_____．
28．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
29．如图，已知矩形ABCD 的顶点A 、D 分别落在x 轴、y 轴，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1．则点B 的坐标是_____．
30．如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点
A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝_____．
三、解答题
31．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：
售价x（元/件）4045
月销售量y（件）300250
月销售利润w（元）30003750
注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）
（1）①求y关于x的函数表达式；
②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为．
32．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?
（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
33．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。

请解决下列问题：
（1）直接写出：购买这种产品 ________件时，销售单价恰好为2600元；
（2）设购买这种产品x件(其中x>10，且x为整数)，该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；
（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变)
34．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于
点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积．
35．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽.
四、压轴题
36．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
37．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．
38．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
39．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ＝BD ，点D 在AB 上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于点F ，连接OA 、OB ，且OA 5tan ∠OBA ＝12
． （1）求证：∠OBA ＝∠OCD ；
（2）当△AOF 是直角三角形时，求EF 的长；
（3）是否存在点F ，使得S △CEF ＝4S △BOF ，若存在，请求EF 的长，若不存在，请说明理由．
40．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝4
5
，O为坐标原点，A点在x轴的正半
轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
【点睛】
此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，
∴DM=
12
CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.
【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2
S 乙
故选：A
【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 4．B
解析：B
【解析】
试题解析：∵底面半径为3cm ，
∴底面周长6πcm
∴圆锥的侧面积是1
2
×6π×5=15π（cm2），
故选B．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，连接BD，根据圆周角定理可得BD为⊙O的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得⊙O的半径的长.
【详解】
如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴BC=CD=2，∠BCD=90°，
∴BD=22
22
+=22，
∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴BD是⊙O的直径，
∴⊙O的半径是1
22
2
⨯=2，
故选：C.
【点睛】
本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.
6．C
解析：C
【解析】
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=40°
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-80°）÷2=50°
故选C．
7．D
解析：D
【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；
C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解法，可得答案．
【详解】
，
解：2x x
方程整理，得，x2-x=0
因式分解得，x（x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x1=0，x2=1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】
共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选D．
【点睛】
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】
解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，5），∴AE=5，OE=2．由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F
22
⋅⋅
=，即453O'F
2
⋅⋅
=，
∴O′F=45．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=
2
2
458
4
33
⎛⎫
-=
⎪
⎪
⎝⎭
，∴OF=
820
4
33
+=．
∴O′的坐标为（2045
,
33
）．
故选C．
【点睛】
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．11．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】
解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC 的长是解题关键.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据表中的对应值，求出二次函数2
y ax bx c =++的表达式即可求解．
【详解】
解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++
∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；
∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=
，解得：1x =
，2x =
∵10-，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】
解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON
∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°
，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO 和△BPO 中，
OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△APO ≌△BPO （AAS ），
∴AP=12
AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=
OP AP =3， ∴OP=3，即半径为3.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.
14．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】
解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），
∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，
则函数图象如图所示，
抛物线开口向下，
∴a ＜0，，
又对称轴在y 轴右侧，即02b a
-
> ， ∴b ＞0，
故选D 15．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出
=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．
【详解】
解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，
∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC
， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=
12AD ， ∴12
EF FC =． 故选D ．
二、填空题
16．5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系求出，代入即可求解．
【详解】
∵是方程的两根
∴=-=4，==1
∴===4+1=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是
解析：5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．
【详解】
∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根
∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a
=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=c a
的运用． 17．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F 作FP⊥AB 于P,延长DP 到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=
1
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F 作FP ⊥AB 于P ,延长DP 到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴
∴1
,
1
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
18．【解析】
【分析】
【详解】
设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：，解得
所以
解析：16
【解析】
【分析】
【详解】
设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：
π·4
=8
180
n
，解得
360
π
n=
所以
2
2
360
S==16
360360
扇形
π4
πrπ
=
n
19．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100
解析：
9
π
【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算
S
S
半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
20．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
21．【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠
解析：2
m≠
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】
解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
22．-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
23．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°， ∵的长是，
∴，
解得：
解析：52
【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 24．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA ，
∵PA 切⊙O 于点A ，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA ，根据切线的性质得出OA ⊥PA ，由已知条件可得△OAP 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA ，
∵PA 切⊙O 于点A ，
∴OA ⊥PA ，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
25．25%
【解析】
【分析】
设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】
设每次降价的百分比为x ，
，
解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合
解析：25%
【解析】
【分析】
设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)
45x ，解方程即可
得到答案.
【详解】
设每次降价的百分比为x ，
280(1)45x ，
解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）
故答案为：25%.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1 x ）2=后量，即可解答此类问题.
26．（3，0）．
【解析】
分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可． 详解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）
解析：（3，0）．
【解析】
分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x=0+22
=1； 点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
27．【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1
解析：【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2
MN PM 即可解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1，2），
设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121
a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2MN PM
． 28．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
29．(5，1)
【解析】
【分析】
过B 作BE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠AD O=∠BAE ，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论． 解析：(5，1)
【解析】
【分析】
过B 作BE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到∠DAB =90°，根据余角的性质得到
∠ADO =∠BAE ，根据相似三角形的性质得到AE =
13OD =2，DE =13
OA =1，于是得到结论． 【详解】
解：过B 作BE ⊥x 轴于E ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADO +∠OAD =∠OAD +∠BAE =90°，
∴∠ADO =∠BAE ，
∴△OAD ∽△EBA ，
∴OD：AE=OA：BE=AD：AB ∵OD=2OA=6，
∴OA=3
∵AD：AB=3：1，
∴AE=1
3OD=2，BE=
1
3
OA=1，
∴OE=3+2=5，
∴B（5，1）
故答案为：（5，1）
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA是解题的关键．
30．【解析】
【分析】
x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝
A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然
解析：【解析】
【分析】
x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．
【详解】
当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，则A1（3，0），
∵将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，
∴抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），
把P（2020，m）代入得m＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.
三、解答题
31．（1）①y ＝－10x ＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2.
【解析】
【分析】
（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b 即可求解； ②设该商品的售价是x 元，则月销售利润w= y （x －30），求解即可；
（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x 的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w 取得最大值2400，解关于m 的方程即可．
【详解】
（1）①解：设y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）
根据题意得：,4030045250k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩
∴y ＝－10x ＋700
②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元
设当该商品的售价是x 元/件时，月销售利润为w 元
根据题意得：w ＝y （x －30）＝（x －30）（－10x ＋700）
＝－10x 2＋1000 x －21000＝－10（x －50）2＋4000
∴当x ＝50时w 有最大值，最大值为4000
答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元． （2）由题意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x 2+（1000+10m ）x-21000-700m
对称轴为x=50+
2m ∵m ＞0
∴50+2
m >50 ∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件
∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是2400元
∴-10×402+（1000+10m ）×40-21000-700m=2400
解得：m=2
∴m 的值为2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．
32．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（3）
1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q
【解析】
【分析】
（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；
（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数
关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.
【详解】
解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：
093202
a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴二次函数解析式为24233
y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0；
综上：二次函数解析式为24233
y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
，
，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.
PM=224233
m m --+，PN=m -，AO=3.
当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO S
S S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<
∴函数23PAC S
m m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，
此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
； 所以存在点35P ,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q
假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =
∵CM ∥x 轴，
∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，
∴M （﹣2,2），
∴CM=2.
由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ；
②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，
易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.
设M （x ，﹣2），则有242=233
--+-x x ，解得：x 1=-
又QG=3,∴32Q G x x =+=
∴34(2(2Q Q
综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q 点坐标为：
1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q .
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.
33．（1）90；（2）25650(1090,){200(90,)
x x x x y x x x -+<≤=>且为整数且为整数；（3）公司应将最低销售单价调整为2725元．
【解析】
【分析】
（1）设购买产品x 件，因为销售单间2600元，所以一定超过10件，根据题意列方程可解；
（2）分10<x≤90，x>90两种情况讨论，由利润=（销售单价-成本单价）×件数列出函数关系；（3）由（2）的函数关系式，利用函数的性质求出最大值，并求出最大值时x 的值，可确定销售单价。

【详解】
（1）设购买产品x 件，根据题意列方程3000-5(x-10)=2600，解得x=90。

所以购买这种产品 90件时，销售单价恰好为2600元.
（2）解：当10<x≤90时，y=[3000-5(x-10)-2400]·
x=-5x 2+650x ， 当x>90时，y=(2600-2400)·
x=200x ， 即 25650(1090,){200(90,)
x x x x y x x x -+<≤=>且为整数且为整数 （3）解：因为要满足购买数量越多，所获利润越大，所以ν随x 增大而增大
函数y=200x 是y 随x 增大而增大，
而函数y=-5x 2+650x=-5(x-65)2+21125，
当10≤x≤65时，y 随x 增大而增大，当65<x≤90时，y 随x 增大而减小，
若一次购买65件时，设置为最低售价，则可避免y 随x 增大而减小的情况发生，故 当x=65时，设置最低售价为3000-5×(65-10)=2725(元)，
答：公司应将最低销售单价调整为2725元．。