鹤山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

鹤山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．sin3sin1.5cos8.5
，，的大小关系为（）
A．sin1.5sin3cos8.5
<<B．cos8.5sin3sin1.5
<<
C.sin1.5cos8.5sin3
<<D．cos8.5sin1.5sin3
<<
2．过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）
A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0
3．已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）
A．667B．668C．669D．670
5．已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>，
12
,F F分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上
的一点，圆M为三角形
12
PF F的内切圆，PM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐
近线平行且距离为
2
，则双曲线C的离心率是（）
A B．2 C D．
2 6．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）
A．B． C． D．
7．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．
8．设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
9．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n秒内的位移为a n，则数列{a n}是（）
A．公差为a的等差数列B．公差为﹣a的等差数列
C．公比为a的等比数列D．公比为的等比数列
10．已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且
12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率
是（ ）
A.5
B.2 D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
11．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程
y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a 必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
二、填空题
13．当
时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围 ．
14．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
15．已知α为钝角，sin （
+α）=，则sin （
﹣α）= ．
16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 17．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
18．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在
上的最大值与最小值．
20．在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为ρ2﹣2ρ（cos θ﹣2sin θ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴
方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为（t 为参数）．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程以及曲线C 2的普通方程；
（Ⅱ）设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，求这条切线长的最小值．
21．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
22．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），
求f（B）的值．
23．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从
某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试
成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
24．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且
．
（1）求A；
（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．
鹤山区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，
∴cos8.5sin 3sin1.5<<． 考点：实数的大小比较. 2． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
3． 【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B ．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
4． 【答案】C
【解析】 由已知，由
得
，故选C
答案：C
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=的距离为
22=
，得a b =，则为等轴双曲
故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2
a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
6． 【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则
．
故选A
7． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）≤0⇔x 2﹣x ﹣2≤0⇔﹣1≤x ≤2， ∴f （x 0）≤0⇔﹣1≤x 0≤2，即x 0∈[﹣1，2]， ∵在定义域内任取一点x 0， ∴x 0∈[﹣5，5]， ∴使f （x 0）≤0的概率P==
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键
8． 【答案】A
【解析】解：令f （x ）=x 3
﹣
，
∵f ′（x ）=3x 2
﹣ln =3x 2+ln2＞0，
∴f （x ）=x 3
﹣
在R 上单调递增；
又f （1）=1﹣=＞0， f （0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f （x ）=x 3
﹣
的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
9．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
10．【答案】A.
【解析】
11．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；
综上，其中错误的个数是2．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）
14．【答案】（1，2）．
【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
15．【答案】﹣．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin（﹣α）＜0，
∴sin（﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
16．【答案】
【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），
∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.
答案：－1
17．【答案】-1
【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

18．【答案】 ﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3 ．
【解析】解：根据题意知：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，两圆圆心距d=|a|， ∴2﹣1＜|a|＜2+1， ∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3． 故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2
=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，属中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数
的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以， 所以．
所以
．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
20．【答案】
【解析】
【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程；
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，
可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0，
即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1；
曲线C2的参数方程为（t为参数），
可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．
（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．
则由点到直线的距离公式可得d==4，
则切线长为=．
故这条切线长的最小值为．
【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11()bx f x b x x
-'=-
=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=4
sinxcosx ﹣5sin 2
x ﹣cos 2x+3=2sin2x ﹣
+3=2
sin2x+2cos2x=4sin （2x+
）．
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）∈[﹣2，4]．
（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，
故解得：A=，B=，C=，
∴f（B）=f（）=4sin=2．
【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，
∴B+C=，
则A=；
（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，
解得：bc=4，
则S
△ABC
【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解
本题的关键．。