解析几何中的几种减负策略
减少解析几何运算的常见方法
减少解析几何运算的常见方法作者：丁兴春来源：《新高考·高一数学》2017年第08期解析几何是利用代数的方法研究几何问题，因此在解决解析几何问题时，不可避免地会进行一些代数运算.如果解决问题的起点和方法不当，往往会导致计算量过大，运算复杂，以致不能完全解决问题，因此我们有必要探究优化解题过程，了解一些减少运算量的方法和技巧.下面通过举例介绍一些解析几何中减少运算的常见方法.1.巧设待定的量解析几何中设待定的量方便解决问题是常用的一个手段，当然某一问题的解决可能有多种设法，例如常见的设点、设斜率等.在设之前要作预判，如能设得恰到好处，解决问题时便能减少运算，例1过点M（0，1）作一条直线，使它被两条直线l1：2x+y-8=0，l2：x-3y+10=O所截得的线段恰好被点M平分，求此直线的方程.分析与解已知该直线过点M（O，1），因此要求该直线方程很容易想到设直线的斜率为k，写出方程，分别求出该直线与l1及l2的交点坐标，再由M为中点，根据中点坐标公式列出关于k的方程，解出k即可，当然还要对斜率不存在的情况做一个简单的说明.思路是简單的，但按此下去，运算复杂，计算难度大，换个角度，除了确定斜率外也可以确定除M外的另一点来确定该直线.不妨设该直线与l1的交点坐标为：（a，8-2a），则该点关于M（O，1）的对称点（-a，2a-6）在直线l2：x-3y+lO=0上，于是得到关于a的方程为-a-3（2a6）+10=0，解得a-4，所以该直线与l1的交点坐标为：（4，0），义该直线过点M（O，1），所以该直线为x/4+y/1=1即x+4y-4=0.2.利用曲线系某些曲线相交问题可以借助于曲线系，避免求曲线的交点，从而减少计算，获得简洁的解决方法.例2 已知圆01：x2+y2-4x-6=0和圆O2：x2+y2-4y-6=0，圆C的圆心在直线x-y-4=0上，且过圆01与圆02的交点，求圆C的方程.分析与解该题通常的做法是：先求出圆01与圆O2的交点坐标，然后设出网C的方程（一般方程、标准方程均可）后，建立方程组求解.对于该题来说，求网O1与圆02：的交点坐标不算很复杂，但总的说来常规解法对运算要求还是比较高的.我们可以运用曲线系的方法避免求圆O1与圆02的交点坐标，从而获得简洁的做法.设圆C的方程为x2+y2-4x-6+λ（x2+y2-4y-6）=O（λ∈R），即（1+λ）x2+（1+λ）y2-4x-4λy6（1+λ）=0，圆心（2/（1+λ）），（2λ/（1+λ））在直线x-y-4=0上，于是2/（1+λ）-2λ/（1+λ）-4=0，解得λ=-1/3，因此圆C为x2+y2-6x+2y-6=0. 3.等价转换有些解析几何问题如果直接求解，需要分类讨论，且运算量大，容易出错，如果把问题做一个等价的转换，从另外一个角度解决问题，往往能化繁为简，例3不论k为何实数，直线kx-y+l-k=0与圆（x-a）2+（y-2a）2=10恒有公共点，求实数“的取值范围.4.利用几何性质解析几何问题的解决自然离不开数形结合，在解题时充分发掘和利用图形本身白有的一些平面几何的性质，可以得到简洁而优美的解答.例4 已知圆O：x2+y2=5上一点P（1，2），A，B为圆0上相异的两点，若直线PA，PB 的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值，分析与解本题的思路比较简单，首先根据直线PA，PB的倾斜角互补，可知直线PA，PB 的斜率互为相反数，我们可以设出PA的斜率为k，写出出直线PA的方程并与圆0的方程联立方程组，解出A的坐标，同理可以解出B的坐标，最后再求出直线AB的斜率.又由于圆有明显的几何性质，因此不妨可以考虑利用圆的几何性质来减少运算.考虑到PA，PB与x轴围成等腰三角形，作点P关于x轴的对称点Q，连结OQ，因为PQ 平分/APB，所以Q为弧AB的中点，从而OQ⊥AB，又Q（l，-2），所以k∞=-2，于是k AB=1/2为定值.减少解析几何运算的方法还有很多，不同的问题有不同的方法.我们不要停留在常规的计算上，应看清问题本质，寻找条件与题设之间的关系，这样才能有助于我们更好地更简洁地解决问题.当然平时练习时还要注意总结和积累，定能以简驭繁.。
2020高三数学一轮复习(人教版文)：解析几何减少运算量的常见技巧
①。
S△ABF＝12×|AF|×|OB|＝12(a－c)b＝1－
3 2
②。
将①代入②，得12(2b－ 3b)b＝1－ 23，解得 b＝1，故 a＝2，c＝ 3。 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1。
(2)圆 O 的圆心为坐标原点(0,0)，半径 r＝1，由直线 l：y＝kx＋m 与圆 O： x2＋y2＝1 相切，得 1|m＋| k2＝1，故有 m2＝1＋k2 ③。
又 kAB＝03＋ －11＝12，所以ba22＝12。 又 9＝c2＝a2－b2，解得 b2＝9，a2＝18， 所以椭圆 E 的方程为1x82 ＋y92＝1。 【答案】 D
本题设出 A，B 两点的坐标，却不求出 A，B 两点的坐标，巧妙地表达 出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关 系，从而快速解决问题。
【变式训练 2】 过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋by22＝ 1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等 于________。
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
ax212＋by212＝1 则ax222＋by222＝1
【变式训练 1】 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公 共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点。若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
A． 2 C．3 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长
故△OMN 的面积 S＝12|MN|×1＝12×4 34kk22＋k2＋ 1 1×1＝2 34kk22＋k21＋1。
令 t＝4k2＋1，则 t≥1，k2＝t－4 1，代入上式，得
降低解析几何运算量的十种常用策略
降低解析几何运算量的十种常用策略在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。
那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
（1）设而不求【题1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 。
【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率。
若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的。
更好的方法是： 【解析】由2222458012016x y x y +=⇒+=。
故椭圆上顶点B （0，4），右焦点F （2,0）为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）。
设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴2211222245804580x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩0))(())((421212121=+-++-y y y y x x x x 5646545421212121=-⋅-=++⋅-=--⇒y y x x x x y y所求直线方程为：02856)3(562=--⇒-=+y x x y 。
【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.（2）使用特值【题2】已知在离心率为65的双曲线)0(12222>>=-b a by a x 中，F 为右焦点，过F 点倾斜角为60的直线与双曲线右支相交于B A ,两点，且点A 在第一象限，若满足→=→FB m AF 1则=m 。
例谈解析几何中简化运算的八条策略
例谈解析几何中简化运算的八条策略作者：李忠贵来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第12期解几问题是以代数方法求解几何问题,一般求解思路易找,规律性强,但是由于运算十分繁琐,常常会使同学们解题陷入困境,以致对求解此类问题丧失信心.因此,运用所学知识灵活处理、克服思维定势、尽可能减少运算量已成为迅速、准确求解此类问题的关键.对此,与同学们谈一下如何简化解几运算的策略.一、回归定义教材中给出了圆锥曲线的两种定义,第一定义展示了三类圆锥曲线各自独特的性质和几何特征;第二定义则深刻揭示了三类圆锥曲线的内在联系,使交点、准线和离心率构成一个和谐的整体.例1(09年四川高考题)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是解:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即d min=|4-0+6|5=2.评注:1.定义是解决数学问题的原生力量.2.涉及焦点弦的计算问题,可充分利用圆锥曲线的定义,常常可收到避繁就简的效果.二、利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,还应充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
例2 (09年连云港市联考题)设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q 两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则m的值为。
解:∵圆x2+y2+x-2y=0过原点,并且OP⊥OQ,∴PQ是圆的直径,圆心的坐标为M(-12,1)又M(-12,1)在直线3x+4y+m=0上,∴3×(-12)+4×1+m=0,∴m=-52即为所求.评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且OP⊥OQ,PQ是圆的直径,圆心在直线3x+4y+m=0上,而是设P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由OP⊥OQ和韦达定理求m,将会增大运算量.三、正难反易有些问题正面解需要分类讨论,且讨论不全又容易出错,如用补集思想考虑其对立面,可达到化繁为简的目的。
浅谈解析几何中简化运算的常用策略
浅谈解析几何中简化运算的常用策略解析几何难在运算，要想突破这一难关，除了平时要注意培养良好的意志品质外，更主要的是要掌握一些有效减少运算量的方法，希望以下几种方法，对大家能有所帮助。
策略一追根溯源，回归定义圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质特性，揭示了它们存在的条件及其所包含的性质，用定义解题，简捷明快，省时高效。
例1设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于、两点，点满足条件；(1) 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切；(2) 若是抛物线上一点，且的最小值为5，求、的值。
分析：本题如果不用定义，就势必用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两根式函数和的最值问题，相当复杂。
解：（1）设中点为，分别过、、点作准线的垂线，垂足分别为、、，由抛物线定义可知：所以，以直径的圆与准线相切。
（2）过作于，交抛物线于点，则为所求评注：利用圆锥曲线解题，应注意以下几种情形：①涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等问题，常用第二定义。
②研究有关点间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再结合图形利用几何意义去解决有关的最值问题。
策略二抓住本质，合理转化转化是解题的精髓，就是从未知向已知，从复杂向简单的化归转化过程，它具有很强的灵活性。
常要求我们抓住问题的本质，解放思想，克服思维定势。
好的转化方法不仅可以减小运算量，而且可以让人叹为观止，使人的心灵受到美的熏陶。
例2已知点A(3,0) , B(0,3)和抛物线。
若抛物线和线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围。
分析：本题可以先把两曲线交点问题，转化为方程根的个数问题，进一步再利用数形结合求解。
本题若利用方程根的分布求m 的范围，运算量会比较大。
解：把线段AB的方程y =3-x ( )代入抛物线，得，于是原题化归为方在[0,3]内恰有一解。
解析几何运算中的若干减负途径.
解析几何运算中的若干减“负”途径北京宏志中学 王芝平（此文发表于《中学数学》2006年第4期）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科。
因此，代数运算就不可避免地出现在解析几何问题中，在解决某些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往会导致计算量烦琐，不仅不易得到正确的结果，而且还会浪费宝贵的时间。
那么如何正确地选择方法，减少运算量呢，下面介绍几种常用的减“负”途径，供同学们参考。
1． 恰当建系 合理定位曲线的方程依赖于坐标系而存在，坐标系选择适当，则能启迪思路、化繁为简、事半功倍。
一般来说要选与已知条件有关的定点，如对称中心、线段中点、曲线顶点为坐标原点，定直线、曲线的对称轴为坐标轴。
例1：已知半径为R 的定圆F 1，及其内部距离F 1为2c 的定点F 2，求过F 2且与⊙F 1相切的动圆圆心轨迹方程。
解：如图1，以F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系。
设动圆圆心为P(x ，y ),两圆切点为T ，则： F 1（-c ,0），F 2(c ，0)，且|PF 1|+|PF 2由椭圆第一定义知，点P F 2(c,0)为焦点，长轴长为2a 等于4422222c R c a b -=-=为：144422222=-+c R y R x 。
【小结】 结果简洁明了。
2． 追根溯源 回归定义定义是事物本质属性的概括与反映．圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程的依据，也是常用的解题方法，事实上，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题，若采取“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的，这样可以大大地减少计算量。
例2：如图2，A 、B 是两个定点，且AB =2 ，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线L 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.求动点P 的轨迹方程．【分析】根据求证的结论,可知点P 的轨迹应是圆锥曲线.由垂直平分线的性质,PM ＝PB ,而MA =4,即PA +PB ＝由椭圆的第一定义,得点P 的轨迹是以A 、B 为焦点、长半轴 图2 =a 2和半焦距=c 1的椭圆.以线段A B 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则动点P 的轨迹方程是22431y x +=.【小结】应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感．定义法是解析几何中最朴素、最基本的数学思想方法，可以说这是求动点轨迹及其方程的重要方法之一．例（2005年，辽宁21）．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足1.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）略；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）略。
解析几何中减少运算量的常用方法
定义是事物本质属性的概括与反映’ 圆 锥曲 线 许 多 性 质 都 是 由 定 义 派 生 出 来 的 & 对 某些 圆 锥 曲 线问 题 & 若 采 取? 回 归 定义 @ 的策 略& 把定量的计算和定性的分析有机地结合 达到 准确 判断 * 合理 运算 * 灵活 解题 的目 的 ’ 例 > 3 年全 国卷 B& 已 知双 曲线 $ $ A C 4
-
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巧用对称
以美启真
对称既是数学美的主要表现形式& 又是 一种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ’ 解析几何中具有 对称 美 的 内 容 可 谓 比 比 皆 是 & 灵活恰当的应 用对 称 思想 能 起到 优 化解 题 思路 和 简 化 解题 过程 的 功 效 ’ 特别是普遍化的逻辑意义上的 地位 对等 & 更 能 简化 一 些复 杂 的 解 题过 程 & 其 表现 形式 如 ? 同 理可 得 @ 不妨 设 @ 等’ * ? 例 R 如 图 &在 的 三 个 顶 点 ST U V T * U * V处分别有动 点 W * X * , & 并且 它们 分别 沿 射线 T U * 向 做 匀 速 直 线 U V * V T 运 动’ 已 知它 们 同时 出 发 & 并同 时 分 别 到 达 U * V * T 图 -
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中学数学
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解 析 几 何 中 减少 运 算 量 的 常 用 方 法
# $ $ $ # % 北 京宏 志中 学 王芝 平 张超月
解析 几 何 是在 坐 标 系的 基 础 上 & 用代数 方法 研 究 几 何 图 形 性 质 的 一 门 数 学 学 科 ’ 因 此& 代数运算就不可避免地出现在解析几何 问题 中 ’ 在解 决 某些 解 析几 何 问 题时 & 如果 方 法选 择不 当 & 往 往会 导 致计 算 繁 琐 & 不 仅会 浪 费宝 贵的 时 间 & 而 且还 不 易得 到 正 确的 结 果 ’ 那么 如何 恰 当地 选 择方 法 & 减 少 运算 量 呢 ( 下 面介 绍几 种常用 的方 法 & 供同 学们 参考 ’
减少解析几何运算量的策略
两 相 得 二丝 ． 式 减 毕
ｚ １一 ｚ７
Ｉ 、下
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一 ， 一１即
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解 析 几 何 以数 量 关 系 研 究 几 何 形 状 ， 开 具 离 体 图形 解 题 无 疑 是 纸 上 谈 兵． 形 结 合 是 解 析 几 数
的方 程 ， 看 能 否 利 用 圆 周 角 、 心 距 的 性 质 转 化 看 弦
成 两 弦 垂 直 或相 等 的 问题 ， 降低 解 题 难 度 ． 以 六 、 入参 数 引 适 当 引 入 参 数 ， 于 深 入 研 究 直 线 与 圆 锥 曲 对
度 ， 反 面 人 手 达 到 因 繁 就 简 的效 果 ． 从 【 ４ 两 个 不 同 的 点 Ｐ、 在 曲 线 Ｙ— ｚ 例 】 Ｑ
【 析 】 设 Ｐ为 ＭＮ 中点 ， Ｉ Ｍ — Ｉ 解 由 Ａ ＡＮ１ ．
１
为 ｎ ６ｆ离心率为 Ｐ则 口 ，—４Ｐ 、 、， ， 一５ ６ ，一÷ ．
过 点 Ｂ作 左 准线 ３一＿ 的垂 线 ， 足 为 Ｎ ； ７ 垂 过 点 Ａ 作 此 准 线 的垂 线 ， 足 为 Ｍ ． 垂
又 ‘ （， １ ． １ — 一 １’ ． ０ ‘ Ａ ５ ｋ 解得 一＝
。
１。。ｅ 。。Ｙ— 。。。２ 。。 。。 —
【 回顾 】 遇 到 “ ＡＢ 为 直 径 的 圆 经 过 某 以
点 ” “ Ｄ 同在 某 圆上 ” 问 题 时 ， 要 急 于 求 圆 、Ｃ、 等 不
２
【 ２ 设 椭 圆 ｃ 例 】 ：
人教版数学-备课资料 解析几何中减少运算量的十种思维策略
解析几何中减少运算量的十种思维策略近几年的新课程高考数学试题，仍有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，这一点直接影响着考生的高考成绩。
事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”等思维策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明。
一. 充分利用几何图形的几何性质解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。
解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
又因为解析几何研究的就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
例1. 已知点P （5，0）和圆O ：x y 2216+=，过P 作直线l 与圆O 交于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程。
解： 点M 是弦AB 中点，∴∠=︒∴OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，此圆的圆心为(520，)，半径为52，所以其方程为()()x y -+=5252222，即x y x 2250+-=。
同时，点M 又在圆x y 2216+=的内部，∴+<x y 2216，即0516522≤=+<x x y ，所以所求的轨迹方程为x y x x 22500165+-=≤<()评注：此题若不能挖掘利用几何条件∠=︒OMP 90，点M 是在以OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
例2.设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求m 的值。
解： 圆x y x y 2220++-=过原点，并且OP OQ ⊥， ∴PQ 是圆的直径，圆心的坐标为M ()-121， 又M ()-121，在直线340x y m ++=上， ∴⨯-+⨯+=∴=-31241052()m m ，即为所求。
解析几何中简化运算的策略
解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。
下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。
一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。
只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。
例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。
解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。
所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。
解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。
减少解析几何运算量的常用策略
并行计算和分布式计算的优势和局限性
优势
并行计算和分布式计算都可以显著提高计算速度，从 而减少解析几何运算的时间。此外，它们还可以充分 利用计算机资源，提高计算效率。
局限性
并行计算和分布式计算都需要对计算任务进行合理的分 解和分配，这需要一定的技术难度和经验。此外，它们 也需要相应的硬件和软件支持，例如高性能计算机、分 布式系统等。
分布式计算原理和实现方式
分布式计算原理
分布式计算是一种将一个大型的计算任务分解为多个 小任务，并将这些小任务分配给多个计算机节点进行 处理的方式。通过分布式计算，可以充分利用网络中 的计算机资源，提高计算效率。
实现方式
分布式计算可以通过网格计算、云计算等方式实现。 在解析几何运算中，可以将几何计算任务分解为多个 子任务，然后将这些子任务分配给多个计算机节点进 行处理，以加快计算速度。
掌握数学工具的优化技巧
避免不必要的重复计算
在计算过程中，尽量重用已经计算过的结果 ，避免重复计算。例如，使用缓存技术存储 已经计算过的值，以便后续使用。
选择合适的算法和数据结 构
根据问题的特点选择合适的算法和数据结构 ，可以更高效地完成解析几何运算。例如， 在处理大规模数据时，使用稀疏矩阵和压缩 感知技术可以显著减少内存占用和运算时间
。
03
算法优化
算法选择
选择适合的算法
根据问题的性质和特点，选择适合的解 析几何算法，如数值积分、最小二乘法 、线性代数等，以提高运算效率。
VS
避免重复计算
在算法执行过程中，尽量减少重复计算， 利用已知结果进行计算，以减少运算量。
算法改进
优化算法参数
通过调整算法参数，如迭代次数、步长等， 提高算法的收敛速度和精度，从而减少运算 量。
减少解析几何运算量的常用策略
Python的NumPy库
01
NumPy是Python中用于数值计算的库，提供了高效 的数组操作和数学函数。
02
利用NumPy的向量化操作，可以显著提高解析几何 运算的速度。
03
NumPy还支持多维数组和矩阵运算，可以方便地处 理复杂的几何数据结构。
详细描述
在建立数学模型时，应尽量使用简单的几何形状和表达式， 避免使用过于复杂的公式和函数。例如，在计算平面图形的 面积时，可以使用矩形、三角形等简单形状来代替复杂的曲 线或曲面。
参数化模型
总结词
参数化模型是一种通过引入参数来描述几何形状的方法，这种方法可以减少计算量并提高模型的灵活 性。
详细描述
02
选择合适的算法
快速算法
快速算法适用于大规模数据集，通过减少不必 要的计算和优化算法步骤，显著提高运算效率 。
快速算法通常采用数学技巧和近似方法，以减 少计算复杂度和时间。
快速算法在解析几何中广泛应用于点、线、面 等几何元素的计算，如快速傅里叶变换（FFT） 等。
迭代算法
迭代算法适用于求解非线性方程和优化问题，通 过不断迭代逼近解，减少运算量。
参数化模型将几何形状表示为参数的函数，通过调整参数的值可以方便地改变形状。这种方法在处理 复杂的几何问题时非常有用，例如在计算机图形学中用于生成复杂的曲面或曲线。
近似模型
总结词
近似模型是一种通过近似计算来减少解析几何运算量的方法，这种方法可以在保证足够精度的前提下降低计算复 杂度。
详细描述
近似模型使用简单的数学公式或算法来近似描述复杂的几何形状或运动。例如，在计算圆的面积时，可以使用正 方形来近似代替，虽然存在一定的误差，但在大多数情况下这种误差是可以接受的。此外，近似模型还可以用于 解决动态问题，例如在物理模拟中，可以使用近似方法来模拟物体的运动轨迹。
减少解析几何题运算量的六种策略
减少解析几何题运算量的六种策略
<u>减少解析几何题运算量的六种策略</u>
针对解析几何中的运算量多的局面，渊博的学习者应该掌握几项策略，以降低复杂性，减少运算量。
下面主要介绍六种经济有效的策略。
第一种策略是使用对对称的简化技巧。
它试图结合反射、旋转和翻转等操作，以更有效地简化问题。
例如，若我们遇到三角形ABC，以点D在BC边上，要求
绘制M型图形，则可以使用这一技术，翻转ABC经由D为锚点，将ABC沿CD
轴翻转，从未的形象中出发，再绘制类似的ADC。
第二种策略是寻找必要性条件，以加快抓取重要信息的进程。
学习者需要学习推理技巧，弄清问题的本质，确定最关键的信息；另外，还需要利用图形法，快速构建更清晰的问题模型，以节省大量时间。
第三种策略是采用火柴人，也就是说以火柴拼接出图形，预测可能性和排除常见错误，从而练习绘制、计算解答的技能，这样可以使学习者拥有强大的几何思维。
第四种策略是运用共线判定。
这是一种快速而有效的几何判断技术，能够使学习者不断判断直线、圆弧等运算，从而缩减大量运算步骤。
第五种策略是使用数学的方法，主要是依靠高等代数，试图从运算量上求得优化解。
最后，使用几何软件也是得特别提及的一种策略。
这些软件大多具有精确、提示，能够快速有效地完成复杂的几何计算，从而使学习者有更多的精力在其他方面做更多的功课。
以上就是减少解析几何题运算量的六种策略。
它们均可以给学习者以有益的支撑，以降低复杂性，减少运算量。
只有掌握这些策略，才能更好地应对挑战，取得更加满意的成绩。
减少解析几何运算量的常用策略
减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学 谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1． 回到定义 定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1 一直线被两直线1l ：032=++y x 和2l ：0632=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l 分别与1l 、2l 的交点（用l k 表示），然后利用中点坐标公式求出l k ，进而得到l 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法． 设l 分别与1l 、2l 交于点M 、N ，又设M 的坐标为（11,y x ），则有03211=++y x ① 又因为M 、N 关于O 对称，所以点N 的坐标为（11,y x --），则有0632=-+-y x ② ①×２＋②，得05211=+y x ．可见M 11,(y x ）在l ：052=+y x 上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为052=+y x ．例2 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是该椭圆上的一动点，MN 是12F MF ∠的外角平分线，2F Q MN ⊥于Q ，求动点Q 的轨迹方程．略解：设(,)Q x y ，延长2F Q 和直线1F M 相 交于P ，则(2,2)P x c y -，且MPQ ∆≌2MF Q ∆．所以2MP MF =，2PQ F Q =，由椭圆的定义得：111F P MF MP MF =+=+所以 222(2)(2)(2)x c c y a -++=， 即222x y a +=所以，动点Q 的轨迹方程为222x y a +=． ２．设而不求例３ 已知ABC ∆的三个顶点都在椭圆224580x y +=上，若(4,0)A ，ABC ∆重心是椭圆的右焦点，求直线BC 的方程．简析略解：因(4,0)A 为椭圆的短轴的顶点，右焦点(2,0)F 为ABC ∆重心，所以F 的坐标与三顶点,,A B C 的坐标有关，故设1122(,),(,)B x y C x y ，则又因为,B C 在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线BC 的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：121212124()()5()()0x x x x y y yy +-++-=． 由题意知：120x x -≠，将①、②整体代入得121265y y x x -=-，这个正好是直线BC 的斜率 121265BC y y k x x -==-，而BC 的中点坐标1212(,)22x x y y M ++，即(3,2)M -， 所以直线BC 的方程为：62(3)5y x +=-．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略． ３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．例４ 如图2，在直线:90l x y -+=上任取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．简析略解： 椭圆两焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F 12023x x ++= 12003y y ++=126x x += ① 124y y +=- ②⇒22114580x y += ③22224580x y += ④作1F 关于直线l 的对称点'1F ，要使所作椭圆的长轴最短，即12MF MF +最短，也就是'12MF MF +最短，故M 点应是直线'12F F 与已知直线l 的交点， 如图2．直线'11F F 的方程为:30x y ++=，由方程组得点(6,3)P -，由中点坐标公式得'1(9,6)F -，故直线'12F F 的方程为:230x y +-=．解方程组 得所求M 点的坐标为（－５，４）．由于'122F F a ==，此时椭圆的方程为2214536x y +=． 注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例5（2001年全国高考试题）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．简析略证：如图３，记 x 轴与准线l 交点Ｅ，过Ａ作AD l ⊥，垂足为Ｄ，则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则由平几知识得：EN CN BF AD AC AB ==，NF AFBC AB=， 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， 所以 AD BF AF BCEN NF AB AB∙∙===，即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线AC 经过原点O ．５．巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，30x y ++=90x y ++=30x y ++=90x y ++=E使数形结合思想体现的更深刻、更完善.例６ （1999年全国高中数学联赛试题）已知点(1,2)A ，过点(5,2)D -的直线与抛物线24y x =交于Ｂ，Ｃ两点，试判断ABC ∆的形状．解：设211(,2)B t t ，222(,2)C t t ，12t t ≠，11t ≠，21t ≠，则有211(5,22)DB t t =-+，222(5,22)DC t t =-+．∵ Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线， ∴ DB ∥DC ．所以 212(5)(22)t t -+-221(5)(22)t t -+＝０⇒121250t t t t +++=⇒ 12(1)(1)4t t ++=-．又AB AC ∙=211(1,22)t t --∙222(1,22)t t --＝21(1)t -22(1)t -＋1(22)t -2(22)t -＝1(1)t -2(1)t -［1(1)t +2(1)t +＋４］＝０，所以 AB AC ⊥，故ABC ∆为直角三角形．例７ 已知圆22:4C x y +=和两个定点(1,0),(1,0)A B -，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为l ，点Ａ关于l 的对称点为/A ，求/AB 的最大值．分析：本题的常规解法是：首先求出点/A 的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求/AB 的表达式（要运用点/A 的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出/AB 的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/A 的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．解：如图1，设/AA 与直线l 交于点Q ，连接OP 由,O Q 分别为',AB AA 的中点， 得OQ ∥'A B ，且/2A B OQ =．又',AA l OP l ⊥⊥，故OP ∥'AA ．设(0)AQ mOP m =>，2OP =，则OQ OA AQ OA mOP =+=+，(1)PQ OQ OP OA m OP =-=+-，由题意得OP PQ ⊥，则OP PQ ∙＝０，即OP ∙[(1)]OA m OP +-＝０， 即OP ∙2(1)OA m OP +-＝０，得 OP ∙4(1)OA m =-．又 22OQ OA mOP =+＝2222OA mOA OP m OP +∙+∙＝＝１＋224(1)4m m m ⨯-+＝－224814(1)5m m m ++=--+,∵ 0m >， ∴ 当1m =时，2max5OQ =，∴ maxOQ=．所以 /maxA B=max2OQ=，此时 AQ OP =，点P 的坐标为（０，±２），切线方程为y =±２，点'A 的坐标为（－１，±４）．６．利用极坐标例８ 已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+yx ． Ｐ是l 上一点，射线OP 交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP 上且满足 OQ 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(y x 的轨迹方程，即找到关于y x ,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(y x ，Ｑ),(Q Q y x ，Ｒ),(R R y x ，再布立方程组来解．但必须看到这里有y x ,，Q Q y x ,，R R y x ,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OR OP OQ =⋅知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OR OP OQ ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了．７．用好焦半径公式例９ 如图已知梯形ABCD 中AB =2CD , 点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点,且以A ,B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线的离心率e 的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e 的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：32≤λ≤43中的λ，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E 分有向线段AC 所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB 的垂直平分线为y 轴, 以AB 所在的直线为x 轴,建立 直角坐标系xoy ,则CD ⊥y 轴. 因为双曲线过C 、D ,且以A ,B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称，并设双曲线方程为22a x —22b y =1 (a ＞0,b ＞0), 则离心率e =ac． 在做好这一基础性工作的前题下，如何由λ的范围来求e 的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，λ和e 既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f ，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数e 的范围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式： 依题意，记 A (c -,0 ) , C (2c ,h )，E (0x ,0y )，其中c =AB 21为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由定比分点公式得：0x =λλ++-12c =)1(2)2(λλ+-c ， 0y =λλ+1h ．但在如何再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f 上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点C 、E 为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程2()3hy x c c=+代入22a x —22by =1得：22222222222(94)8(49)0b c a h x a h cx a h a b ---+=．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线的方程,得 42e —22b h =1 ① 42e ·2)12(λλ+-—2)1(λλ+22b h =1 ② 由①得：22b h =42e — 1 ③将③式代入②式整理得: 42e (4λ4-)=1+2λ, 故得λ=1232+-e .由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．视角三：视AC 、AE 为点C 、E 到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得：2c eaAC a ex a =+=+， (2)2(1)E e c AE a ex a λλ-=--=--+．而AC 、AE 同号，从而 11AC AC AE AE λ==+．所以 ()121(2)21ca ec a e λλλ++=---+ ⇒ 2213211e λλλ+==-+--． 由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．这里同是C 、E 二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”．简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进. 对学生来说, 则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新, 是一种精神的升华和对数学美的追求. 从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性. 因此, 培养学生的求简精神, 不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.主要参考文献：1．谢全苗．论数学求简精神的培养．数学通报，2004.22．谢全苗．数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”．数学通报，2001,63．谢全苗．与中学青年教师谈谈数学教育理论对中学数学教学工作的帮助．数学通报，2000.6 4．成军，《用平面向量巧解一题》，（中学数学）2006.5 P44.5．谢全苗.《思维的“最近发展区”的开发与利用》.（数学通报）.2004,8． 6．谢全苗.《变式教学――研究性学习的一种模式》.（数学教学参考）.2004,10．。
减少解析几何运算量的常用策略2
减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。
那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
一、 回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。
解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =21,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN 的两内角的大小及它的面积。
因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222=+by ax ，则由椭圆定义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA 。
由平面几何知识有: ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅==.,121,2,21MN AN AM PA MN AN PA MA PA⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,332AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒.315,3152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=a 4152=a ，32==MN c ，23=c ， 3222=-=∴c a b 。
∴所求的椭圆方程为1315422=+y x 说明：在上述解题过程中，PM PN +是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a 的线段AB 的两端点在抛物线2x =2py(a ≥2p >0)上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。
分析:这里其实就是要求定长弦AB 的中点C 到准线的最小距离。
减少解析几何运算量的常用策略
减少解析几何运算量的常用策略TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学 谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1．回到定义定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1 一直线被两直线1l ：032=++y x 和2l ：0632=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l 分别与1l 、2l 的交点（用l k 表示），然后利用中点坐标公式求出l k ，进而得到l 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．设l 分别与1l 、2l 交于点M 、N ，又设M 的坐标为（11,y x ），则有03211=++y x ① 又因为M 、N 关于O 对称，所以点N 的坐标为（11,y x --），则有0632=-+-y x ② ①×２＋②，得05211=+y x ．可见M 11,(y x ）在l ：052=+y x 上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为052=+y x ．例2 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是该椭圆上的一动点，MN 是12F MF ∠的外角平分线，2F Q MN ⊥于Q ，求动点Q 的轨迹方程．略解：设(,)Q x y ，延长2F Q 和直线1F M 相交于P ，则(2,2)P x c y -，且MPQ ∆≌2MF Q ∆．所以2MP MF =，2PQ F Q =，１由椭圆的定义得：11122F P MF MP MF MF a =+=+=．所以 222(2)(2)(2)x c c y a -++=， 即222x y a +=所以，动点Q 的轨迹方程为222x y a +=．２．设而不求例３ 已知ABC ∆的三个顶点都在椭圆224580x y +=上，若(4,0)A ，ABC ∆重心是椭圆的右焦点，求直线BC 的方程．简析略解：因(4,0)A 为椭圆的短轴的顶点，右焦点(2,0)F 为ABC ∆重心，所以F 的坐标与三顶点,,A B C 的坐标有关，故设1122(,),(,)B x y C x y ，则又因为,B C 在椭圆上，故 由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线BC 的方程． 对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：121212124()()5()()0x x x x y y y y +-++-=．由题意知：120x x -≠，将①、②整体代入得 121265y y x x -=-， 这个正好是直线BC 的斜率 121265BC y y k x x -==-， 而BC 的中点坐标1212(,)22x x y y M ++，即(3,2)M -， 所以直线BC 的方程为：62(3)5y x +=-． 问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．３． 用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．126x x += ① 124y y +=- ②22114580x y += ③ 22224580x y += ④例４ 如图2，在直线:90l x y -+=上任取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．简析略解： 椭圆两焦点为1(3,0)F -，2F 作1F 关于直线l 的对称点'1F 最短，即12MF MF +最短，也就是'12MF MF +最短，故M 点应是直线'12F F 与已知直线l 如图2．直线'11F F 的方程为:30x y ++=，由方程组 得点(6,3)P -，由中点坐标公式得'1(9,6)F -，故直线'12F F 的方程为:230x y +-=．解方程组 得所求M 点的坐标为（－５，４）．由于'122F F a ==，此时椭圆的方程为2214536x y +=． 注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４． 活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例5（2001年全国高考试题）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．简析略证：如图３，记 x 轴与准线l AD l ⊥，垂足为Ｄ，则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N EN CN BF AD AC AB ==，NF AF BC AB =， 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， 图2３所以 AD BF AF BC EN NF AB AB••===，即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线AC 经过原点O ．５． 巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.例６ （1999年全国高中数学联赛试题）已知点(1,2)A ，过点(5,2)D -的直线与抛物线24y x =交于Ｂ，Ｃ两点，试判断ABC ∆的形状．解：设211(,2)B t t ，222(,2)C t t ，12t t ≠，11t ≠，21t ≠，则有211(5,22)DB t t =-+，222(5,22)DC t t =-+．∵ Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线， ∴ DB ∥DC ．所以 212(5)(22)t t -+-221(5)(22)t t -+＝０⇒121250t t t t +++= ⇒ 12(1)(1)4t t ++=-．又AB AC •=211(1,22)t t --•222(1,22)t t --＝21(1)t -22(1)t -＋1(22)t -2(22)t - ＝1(1)t -2(1)t -［1(1)t +2(1)t +＋４］＝０，所以 AB AC ⊥，故ABC ∆为直角三角形．例７ 已知圆22:4C x y +=和两个定点(1,0),(1,0)A B -，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为l ，点Ａ关于l 的对称点为/A ，求/A B 的最大值．分析：本题的常规解法是：首先求出点/A 的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求/A B 的表达式（要运用点/A 的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出/A B 的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/A 的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面解：如图1，设/AA 与直线l 交于点Q由,O Q 分别为',AB AA 的中点，得OQ ∥'A B ，且/2A B OQ =．又',AA l OP l ⊥⊥，故OP ∥'AA ．设(0)AQ mOP m =>，2OP =，则OQ OA AQ OA mOP =+=+，(1)PQ OQ OP OA m OP =-=+-，由题意得OP PQ ⊥，则OP PQ •＝０，即OP •[(1)]OA m OP +-＝０，即OP •2(1)OA m OP +-＝０，得 OP •4(1)OA m =-．又 22OQ OA mOP =+＝2222OA mOA OP m OP +•+•＝＝１＋224(1)4m m m ⨯-+＝－224814(1)5m m m ++=--+,∵ 0m >， ∴ 当1m =时，2max 5OQ=，∴ max OQ =所以 /max A B =max 2OQ =，此时 AQ OP =，点P 的坐标为（０，±２），切线方程为y =±２，点'A 的坐标为（－１，±４）． ６． 利用极坐标例８ 已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ． Ｐ是l 上一点，射线OP 交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP l 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(y x 的轨迹方程，即找到关于y x ,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(y x ，Ｑ),(Q Q y x ，Ｒ),(R R y x ，再布立方程组来解．但必须看到这里有y x ,，Q Q y x ,，R R y x ,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OR OP OQ =⋅知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OR OP OQ ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了．７．用好焦半径公式例９ 如图已知梯形ABCD 中AB =2CD , 点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点,且以A ,B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线的离心率e 的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e 的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：32≤λ≤43中的λ，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E 分有向线段AC 所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB 的垂直平分线为y 轴, 以AB 所在的直线为x 轴直角坐标系xoy ,则CD ⊥y 轴. 因为双曲线过C 、D ,且以A 点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 22a x —22b y =1 (a ＞0,b ＞0), 则离心率e =ac ． 在做好这一基础性工作的前题下，如何由λ的范围来求e 的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，λ和e 既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f ，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数e 的范围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式：依题意，记 A (c -,0 ) , C (2c ,h )，E (0x ,0y )，其中c =AB 21为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点公式得：0x =λλ++-12c =)1(2)2(λλ+-c ， 0y =λλ+1h ． 但在如何再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f 上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点C 、E 为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程2()3h y x c c=+代入22a x —22by =1得：22222222222(94)8(49)0b c a h x a h cx a h a b ---+=．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和e =ac 代入双曲线的方程,得 42e —22b h =1 ① 42e ·2)12(λλ+-—2)1(λλ+22b h =1 ② 由①得：22b h =42e — 1 ③ 将③式代入②式整理得: 42e (4λ4-)=1+2λ, 故得λ=1232+-e . 由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10. 所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．视角三：视AC 、AE 为点C 、E 到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得：2c ea AC a ex a =+=+， (2)2(1)E e c AE a ex a λλ-=--=--+． 而AC 、AE 同号，从而 11AC AC AE AE λ==+．所以 ()121(2)21ca ec a e λλλ++=---+ ⇒ 2213211e λλλ+==-+--． 由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10. 所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．这里同是C 、E 二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”．简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进. 对学生来说, 则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新, 是一种精神的升华和对数学美的追求. 从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性. 因此, 培养学生的求简精神, 不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.主要参考文献：1．谢全苗．论数学求简精神的培养．数学通报，2．谢全苗．数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”．数学通报，2001,63．谢全苗．与中学青年教师谈谈数学教育理论对中学数学教学工作的帮助．数学通报，4．成军，《用平面向量巧解一题》，（中学数学） P44.5．谢全苗.《思维的“最近发展区”的开发与利用》.（数学通报）.2004,8．6．谢全苗.《变式教学――研究性学习的一种模式》.（数学教学参考）.2004,10．。
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例 ２已知椭圆过两点 Ｐ（ ／ ， ）Ｐ（ ＼ ， 、 ） ． 、 １ ，２一 ／ 一 ／ ，
求 椭 圆 的标 准 方 程 。
ｆ ６Ａ＋Ｂ＝】
焦点 ， Ｍ是椭 圆上动点 ， Ｉ Ｉ２ Ｉ 求 Ｍｐ １ 的最小值。 ＋ ＭＦ
解 ： 椭圆 的方 程为 Ａ ｙ ｌ则 有 ｛ 设 ｘ Ｂ２ ， ＋ ＝
一
的平方的最小值 ， 显然 易知点（ １ 一 ） 一 ， １ 到直线 ｘ ｙ ｌ０的距 ＋＋＝ 离的平方 即为所求 ， １。 即
六 、 形 结合 数
、
活 用 定义
例１ ． 化简方程饵
丽
＋ 、
＝０ １
例６ 于ｋ 直 ：ｋ ｈ 椭 等＋ １ 有 ． Ｅ ，线ｌ＝＋和 圆 ＝恒 公 对 Ｒ ｙｘ
４
９
：
系， 再结合图象 ， 很容易得 ｋ的范围 １ｋ 。 Ｔ １
四、 参 数 巧设 点 引 例４ ．已 知椭 圆 ＋ ＝ 与 ｘ ｙ 正 向分 别 交 于 Ａ、 ｌ 、轴 Ｂ
ｅ １． １Ｊ
１； ４ ４ （ １
（ ） （ ） ４×６ ｘ ｘ）９ （ｌ ２＝ １一 ２ 得 （１ ２＋ ×４ ｙ Ｙ）０ 一 —
九 、 用 向量 巧
解： （ｏ０ｂｎ ） ＜０ 孚 ， ＝ — 设Ｐ ｃ ，ｉ 且０ ＜ 则ｓ 下ａ ａｓ ｓ ０ １ｂ
例９ ．已知圆的方程是 ｘ＋２ｒ ｙ＿２ ，求经过圆上一点 Ｍ（ｏ ｘ，
ｙ） ｏ的切 线 方 程 。
ｓ ＋ｂｓ＝ ｎ＋ ｉ ａ 孚 ｎ ｃ０ 。 。 （ 子） ０
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解析几何中的几种减负策略
谢 超 微
（ 盐城市时杨 中学 ， 江苏 盐城 ２４ ３ ） ２ ０ ５
数学解题既要步骤完整 ， 又要过程简捷。解 析几何是用 代数方法研究几何 问题 ， 思路清晰 ， 但过程往往 比较烦琐 ， 因 此， 减负是我们追寻的 目标 ， 换一种角度 ， 可使解题 明朗化。
， 之 解
解： 易求 椭 圆的 右 准线 ｌ 的方 程 为 ｘ４ 由椭 圆 的第 二定 －，
义 可知 ：＝ １ Ｉ 标程＋。 ｝ 椭 准为孚 圆 方一： Ｂ ＝ 的 Ｘ＝ ： ． １ ９。 ２１
三 、 用 直线 系 ， 巧 回避 非 必 求量 例 ３若 两 直线 １ｙ ｋ ｘ ３ 一 ， ：＋ ｙ ４ ０的交 点 在 第 ． １ ＝ （＋ ）２ １ ｘ ４一 ＝ ： ：
象限 ， ｋ的范围。 求 解： 由于 ｌ ｙ ｋ ｘ ３一 ＝ （＋ ）２表示恒 过定 点（ ３ 一 ） ： 一 ，２ 的直 线
点 ， Ｐ为 Ａ 若 Ｂ的中点 ， 求直线 Ａ Ｂ的方程 。
４ｘ： ９ ￣ ： ＋ ｙ ｌ
＝
解 ： Ａ 设 ｃ
。， ： ， Ｂ ｘ ｃ 则
共点 ， ｂ的范 围 。 求 解 ：． ∈Ｒ ． 直 线 １ｙ ｋ＋ 恒 过 ｐ Ｏ ｂ ， ‘ｋ 。 ・ ‘ ． ：＝ ｘ ｂ （ ， ）由题 意 ， 只
解： 由题意知 ， 动点 Ｐ ｘｙ 到 Ｆ（ ，３ 、２０ ３ 的距离 （ ，） Ｉ０ 一 ）Ｆ（ ， ） 和等 于 １（ ０ ）故点 Ｐ的轨迹是椭 圆 ， ０ １ ＞６ ， 可令方程为 ＋
・ ． ．
解： 在切线上任取一点 Ｎ ｘ ）则 向量丽 ＝ ｘ】，—ｏ （， ， ｙ （一０ｙ ｙ） （
：
当 寺 邮一 ａｔＰ ａ 。 ＝ ｂｌ（ ， ，￣孚 ｌ ｌ ｔ
联系。
（ ｙ） ・ ０， ． ・
ｊ ＿
，． ｙ） —ｏ — 。 ０ ．（ ０・ｘ ｘｙ Ｙ） ・ ， ＝
五 、 建 解 几模 型 。 用 几 何 意 义 构 活
评析 ： 对于本题解法很 多， 这里借助于 向量垂直的充要
例 ５已知 ｘ ｙ ｌ ０ 求 （＋ ） （＋ ）的最小值。 ． ＋ ＋ ， ｘ １ ｙ １ ＞ ｉ ＋
解： 由题 意 ， 化为求 区域 内的点与点 （ １ 一 ） 转 一 ， １ 的距 离
・
．
‘ ≠ｘ ＸＩ ２
． ｒｙ 一一 ・ ．ｙ ２
・
． ．
直线 Ａ Ｂ的方 程 为 ｙ ２ 一 （ ３即 ２ ＋ｙ １＝ 一 ＝ ｘ ） ｘ ３一 ２ ０ 一
两点 ， 在第一象 限的椭圆弧上求一点 Ｐ， 四边形 Ｏ Ｐ 使 Ａ Ｂ的
面积 最 大 ， 求 点 Ｐ的坐 标 。 并 经检验， 方程 即为 所 求 。
一
ＩＰ＋ １ ＩＩ Ｉ ， Ｍ Ｉ２ ＝ ＋ 由平 面几 何知识 可知 ， Ｐ ＭＦ ＭＰ ｄ 当 Ｍ上ｌ
时， Ｉ Ｉ ＋ ＭＰ ｄ最小 ， 且最小值 为 Ｐ到 ｌ 的距 离 ３ 即 ＩＰ＋ １ Ｉ ， Ｍ Ｉ２ ＭＦ
的 最小 值 为 ３ 。
八 、 而不 求 设
例 ８过 Ｐ ３ ２ 作 直 线 与椭 圆 ４２９２１４交 于 Ａ、 ． （ ，） ｘ＋ ｙ ４ ＝ Ｂ两
条件 ， 避免 了斜率 ｋ的讨论 ， 这也体现 了向量与解析几何的
・
１ ４－ 额 校 园 下 旬 。 ４
ａ
管 １ ａ ，３．＝ 方 可 为 音 ｌ ， ＝ｃ＇ｈ１ ・ 程 化 昔 Ｕ１ Ｊ 则 ５＝ ． ６ ・ ａ 。
二 、 设 方程 巧
需ｐ ，恒 椭 内 或 上） 竿≤ ． ≤ ≤ 。 （ｂ 在 圆 （椭圆 ， ｏ） 故 １ 一 ｂ２ ２
七、 等价化归
例 ７已知椭 圆 ＋ ＝ ． １内有 一 点 ｐ １一 ）Ｆ为 椭 圆 （ ，１ ，