山西省临汾市汾西县第三中学2021年高二数学文模拟试卷含解析

山西省临汾市汾西县第三中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在区间是（）
A．（，1）B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）
参考答案：
C
2. 已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()
A. B.C．0D．－
参考答案：
C
3. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BC D的三个侧面ABC、AC D、A D B 两两相互垂直，则可得” （）
A．AB2+AC2+ AD2=BC2+ C D2 + BD2B．
C．D．AB2×AC2×AD2=BC2×C D2×BD2
参考答案：
B
略
4. “a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1?k2=﹣1即可．利用直线的垂直求出a 的值，然后判断充要条件即可．
【解答】解：当a=2时直线y=﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y=的斜率是2，
满足k1?k2=﹣1
∴a=2时直线y=﹣ax+2与y=垂直，
直线y=﹣ax+2与y=垂直，则﹣a?a=﹣1，解得a=±2，
“a=2”是“直线y=﹣ax+2与y=垂直”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．
5. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）
A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P
参考答案：
B
【考点】特称命题．
【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．
【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q
∴A错误；B正确；C错误；D错误．
故选B．
6. 证明：.
参考答案：
证明：①当，不等式显然成立. (2)
分
②假设时不等式成立，
即……………………………4分
当时，
左边=
不等式成立. ……………………………7分
由①②可知，对一切都有
略
7. 数列1，，，，，，，，，，…前130项的和等于( )
A．15B．15C．15D．15
参考答案：B
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可知，此数列由一个1，两个，3个…组成，欲求前130项的和，需求自然数列前n项和不大于130时的最大n值，即可得出结论．．
【解答】解：因为1+2+3+…+n=n（n+1），
由n（n+1）≤130，得n的最大值为15，
即最后一个是数列的第120项，共有10项，
所以，前130项的和等于15+=15．
故选B．
【点评】本题考查数列的应用．解题时要认真观察，发现规律，利用等差数列知识解答．易错点是找不到规律，导致出错．
8. 在下列四个命题中，正确的命题共有( )
①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围是；
③若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为；
④若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
参考答案：
A
略
9. 圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）
A．外离B．相交C．内切D．外切
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．
【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
【点评】考查学生会根据d与R+r及R﹣r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．
10. 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）
A．B．3 C．D．
参考答案：
D
【考点】椭圆的应用．
【专题】计算题．
【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即
∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．
【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．
由于a=4，b=3，
∴c=＜b
∴∠F1MF2＜90°，
∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．
令x=±得
y2=9=，
∴|y|=．
即P到x轴的距离为．【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：
①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于，，……”
②解：设的斜率为，……点，，……
据此，请你写出直线的斜率为
▲．（用表示）
参考答案：
12. 抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为．
参考答案：
4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．
【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，
∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，
∴可得所求点的横坐标为4．
故答案为：4．
13. 命题的否定为
参考答案：
14. 已知方程x2- ( 1 - i )x + m + 2i = 0有实根，若m ? R，求
m= 。

参考答案：
-6
15. 已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a= ．
参考答案：
﹣8
【考点】直线的斜率．
【分析】由题意和直线的斜率公式可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，
∴=，解得a=﹣8
故答案为：﹣8
16. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线右志于，两点，且，若，则双曲线的离心率
为
．
参考答案：
【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中
是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出; ②构造a,c的齐
次式，求出;③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④ 根据圆锥曲线的统一定义求解．本
题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出a,c 之间的关系，求出离心率．
17. 设函数, 其中，若不等式的解集为，则a的值
为；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数）．
(Ⅰ)求F(x)=f(x)g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；
(Ⅱ)是否存在正常数，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有
共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理
由．
参考答案：
解：(Ⅰ)………… 1分
①当0时，恒成立，F(x)在(0,+)上是增函数，F(x)只有一个单调递增区间
(0,+)，没有最值．…………2分
②当时，，
若，则上单调递减；
若，则上单调递增，
∴当时，有极小值，也是最小值，
即………… 5分
所以当时，的单调递减区间为
单调递增区间为，最小值为，无最大值………… 6分
(Ⅱ)方法一，若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点…… 7分
由(Ⅰ)的结论可知………… 8分
此时，，
∴∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为
又，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即………… 12分
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为………… 14分
方法二：设图象的公共点坐标为，
①
②
根据题意得，即
由②得，代入①得，从而………… 8分
此时由（1）可知，∴时，因此除外，再没有其它，使………… 11分
故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为………… 12分
19. （本小题满分12分）
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（Ⅰ）证明为常数；
（Ⅱ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
参考答案：
解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数
．···················································································· 6分（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是
．········································································ 12分
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I）有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是． 12分
20. 如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数
，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．
⑴试确定A，和的值；
⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）
参考答案：
⑴⑵在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．
解析：解：⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4；又，
所以，因为
……5分
代入点B（-1，4），，
又；……8分
⑵由⑴可知：，得点C即，
取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，
即，则圆弧段造价预算为万元，
中，，则直线段CD造价预算为万元，
所以步行道造价预算，．……13分由得当时，，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减
所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分略
21. (本小题满分12分) 已知数列{a n}的前n项和为S，,满足
，
（1）求的值；
（2）猜想的表达式.
参考答案：
（1）因为,且，所以解得，又，解得，
又，所以有。

（2）由（1）知=，，，……
猜想（）
22. 已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．
【解答】解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，
由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，
q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（Ⅰ）若p是q的必要条件，
则，即，即m2≤3，
解得≤m≤，
即m的取值范围是[，]．
（Ⅱ）∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3．
即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键．。