2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测(12月) 数学试题(解析版)

2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测（12月） 数学
试题
一、填空题
1．设集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，若{}4A B ⋂=，则x =______ . 【答案】4
【解析】由{}4A B ⋂=，所以4A ∈，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，集合{}1,A x =，{}2,3,4B =， 因为{}4A B ⋂=，所以4A ∈，故4x =. 故答案为4. 【点睛】
本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到4A ∈是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题. 2．已知复数131i
z i
-=+，则复数z 的虚部为________. 【答案】2
【解析】先由复数的除法运算，化简131i
z i
-=+，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()()()
13113143
121112-----=
===--++-i i i i z i i i i ， 所以其共轭复数为12z i =-+，因此其虚部为：2 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型. 3．函数
()12
log 1f x x =
-的定义域是________.
【答案】10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】
由题意，可得：12log 100
x x ->⎧⎪⎨⎪>⎩，即12log 10x x >⎧⎪
⎨⎪>⎩，解得：102x <<.
即函数
()12log 1
f x x =
-10,2⎛⎫
⎪⎝⎭ 故答案为：10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
【点睛】
本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型. 4．设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14
a
y x =-垂直”的______条件. 【答案】充分不必要条件
【解析】先由两直线垂直求出2a =±，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】
若直线2y ax =-+与直线14
a
y x =-垂直， 则14
-⨯
=-a
a ，解得：2a =±； 所以由“2a =”能推出“直线2y ax =-+与直线14
a
y x =
-垂直”， 由“直线2y ax =-+与直线14
a
y x =
-垂直”不能推出“2a =”； 即“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14
a
y x =-垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即
可，属于常考题型.
5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________． 【答案】4
【解析】试题分析：因为，抛物线2
2(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+2
p
=3，所以，
2
p
=2，焦点到准线的距离为p=4. 【考点】抛物线的定义，抛物线的几何性质。

点评：简单题，对于抛物线2
2(0)x py p =>上的点（x ，y ），其到焦点的距离为x+
2
p . 6．设曲线()ln f x ax x =-的图象在点(1，(1)f )处的切线斜率为2，则实数a 的值为_______． 【答案】3
【解析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果. 【详解】
函数()ln f x ax x =-，可得1
'()f x a x
=-
， 所以切线的斜率为'(1)12k f a ==-=，解得3a =， 故答案是3. 【点睛】
该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.
7．已知实数x ,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为________.
【答案】7
【解析】先由约束条件作出可行域，化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，则目标函数表示直线
2y x z =-+在y 轴截距，结合图像，即可得出结果.
【详解】
由约束条件
240
330
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≥
⎩
作出可行域如下，
目标函数2
z x y
=+可化为2
y x z
=-+，因此目标函数z表示直线2
y x z
=-+在y轴截距，
由图像可得：当直线2
y x z
=-+过点A时，在y轴截距最大，即z取得最大值.
由
240
330
x y
x y
-+=
⎧
⎨
--=
⎩
得
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，即()
2,3
A，
因此max2237
=⨯+=
z.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知焦距为4的双曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点,P Q，其焦点为12
,
F F，则四边形
12
PFQF的面积的最大值为____________.
【答案】4
【解析】先由焦距为4，得2
c=，由双曲线方程，得到渐近线方程为
b
y x
a
=±，右准线方程为22
2
==
a a
x
c
，不妨设P为右准线与渐近线
b
y x
a
=的交点，根据方程求出点P坐标，同理，得到Q点坐标，再由题意得到四边形12
PFQF的面积为
12
2
∆
=
PF F
S S，根据三角形面积公式，以及基本不等式，即
可求出结果. 【详解】
因为双曲线()22
2210,0
x y a b a b
-=>>焦距为4，即24c =，2c =，
又双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，
右准线方程为：22
2
==
a a x c ， 不妨设P 为右准线与渐近线b
y x a
=
的交点， 由2
2b y x a a
x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
解得：2,22⎛⎫ ⎪⎝⎭a ab P ，同理2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a ab Q 因此四边形12PFQF 的面积为
122221211222424222
∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=≤+==PF F P ab S S F F y ab a b c ，
当且仅当a b =时，等号成立. 故答案为：4
【点睛】
本题主要考查求双曲线中四边形面积的最值问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
9．在直角三角形ABC 中，0
90C ∠=，2,1AB AC ==，若32
AD AB →
→
=，则CD CB →→⋅= ．
【答案】9
2
．
【解析】试题分析：因为2
39()313cos30322
CD CB CB BD CB CB BD CB →→→→→
→→→
⋅=+⋅=+⋅=+=+
=，
所以应填
92
． 【考点】1、平面向量的数量积的应用；
10．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值为________. 343
-+【解析】先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α=-，再由
cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛
⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝
⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过
弦化切，即可求出结果. 【详解】
因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α=-，
所以22cos sin cos 2cos 2cos sin 2sin 3cos 3332πππααααααα-⎛
⎫+=⋅-⋅=
- ⎪⎝⎭
()222222cos sin 3sin cos 1tan 3tan 1423343
2(tan 1)10
2sin cos ααααααααα----+=-=-==++故答案343
-+ 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型.
11．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有
321
n n n S T =+，则
4
4
a b =________. 【答案】
18
【解析】设等比数列{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，根据题意，得到11
11
1221221233123313
51
3
a S
b T a a S b b T a a a S b b b T ⎧==⎪⎪⎪+==⎨+⎪⎪++==⎪
++⎩，求解，得
1124a b p q =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}{},n n a b 的公比分别为,p q ，
则1
1n n a a p -=，11n n
b b q -=，
因为,n n S T 分别为{}{},n n a b 的前n 项和，且
321
n n n S T =+， 所以11
1
1122122123312331
35
1
3a S b T a a S b b T a a a S b b b T ⎧==⎪⎪⎪+==⎨+⎪⎪++==⎪++⎩，即1111212
1
(1)3(1)5(1)1(1)3a b a p b q a p p b q q ⎧⎪=⎪⎪+⎪=⎨+⎪⎪++⎪=++⎪⎩，即11
2255333331a b p q p p q q =⎧⎪
+=+⎨⎪++=++⎩，
解得：11
24
a b p q =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以31314481648===a q a b b p 故答案为：1
8
【点睛】
本题主考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
12．已知函数()3
3,02,0
x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a
的取值范围是________. 【答案】3
12
a ≤<
或2a =. 【解析】先用导数的方法，判断出函数()f x 在()0,∞+的单调性，求出极值，在根据指数单调性判断
0x ≤时，函数()
f x 的单调性；作出函数大致图像；将函数
()()1()2⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
y f x a f x a 的零点个数问题，转化为()y f x =与y a =或1
2
=-y a 的交点个数来处理，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】
因为()3
3,0
2,0
x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，
当0x >时，()3
3=-f x x x ，则()2
33'=-f x x ，
由()2
303'=->f x x 得01x <<；由()2
303'=-<f x x 得1x >，
所以函数()3
3=-f x x x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；
此时有极大值()12f =；
当0x ≤时，()122⎛⎫= ⎪⎝=⎭
x
x
f x 显然单调递减； 作出函数()3
3,0
2,0
x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩的大致图像如下：
由()(
)1()02⎛
⎫
-+
-= ⎪⎝⎭
f x a f x a 得()f x a =或()12=-f x a ， 因为函数()(
)1()2⎛
⎫
=-+
- ⎪⎝⎭
y f x a f x a 有5个零点， 所以()y f x =与y a =或1
2
=-
y a 共有5个交点，
由图像可得：只需121012a a ≤<⎧⎪⎨<-<⎪⎩或2
1
122a a =⎧⎪
⎨≤-<⎪⎩
，即312a ≤<或2a =. 故答案为：3
12
a ≤<或2a =. 【点睛】
本题主要考查由函数零点个数求参数，熟记导数的方法判断函数单调性，利用转化与化归思想，以及数形结合的方法判断函数零点个数即可，属于常考题型.
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，E 、F 为圆()()2
2
:114C x y -+-=上的两动点，
且23EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>u u u r u u u r u u u r
，则m 的取值范围为________.
【答案】221⎡⎤⎣⎦
【解析】取EF 中点为M ，连接AM ，得到2+=u u u r u u u r u u u u r
AE AF AM ，由,0AE AF mCP m +=>u u u r u u u r u u u r 得到
=u u u u r m AM ，再由E 、F 为圆()()22
:114C x y -+-=上的两动点，且3EF =，得到
1CM =，设(,)M x y ，求出点M 的轨迹，再由点与圆位置关系，求出AM u u u u r
的取值范围，即可求出结
果. 【详解】
取EF 中点为M ，连接AM ，
则2+=u u u r u u u r u u u u r AE AF AM ，
又圆()()2
2
:114C x y -+-=上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>u u u r u u u r u u u r
， 所以2=u u u u r u u u r
AM mCP ，
因此22==u u u u r u u u r AM m CP m ，即=u u u u r
m AM ；
因为E 、F 为圆()()2
2
:114C x y -+-=上的两动点，且23EF =，
所以2
2212⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
EF CM ，设 (,)M x y ， ()()
22
111x y -+-=，即()()22
111x y -+-=即为动点M 的轨迹；
所以AM u u u u r 表示圆()()22
111x y -+-=上的点与定点()2,2A 之间的距离，
因此11-≤≤+u u u u r AC AM AC ，即2121-≤≤+u u u u r
AM .
即2121-≤≤
+m .
故答案为：21,21⎡⎤-+⎣⎦
【点睛】
本题主要考查平面向量与圆的方程的综合，熟记平面向量基本定理，点与圆位置关系，会求圆上的点到定点的距离即可，属于常考题型. 14．已知ABC ∆21,且满足43
1tan tan A B
+=，则边AC 的最小值为_______. 【答案】23【解析】将正切化成正余弦，化简得出b ，c 和sinA 之间的关系，结合面积公式即可得出b 2关于A 的函数式，再根据A 的范围计算b 的最小值，即可得AC 的最小值． 【详解】 ∵
431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A B
A B
+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，
即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ）， ∴3c ＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )
3
b A A -=
，
∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6
b A A A
-
＝26b （sin 2
A ﹣cosAsinA ）＝212
b （1﹣sin2A ﹣cos2A 21，
∴b2＝
12(21)12(21)
1sin2cos2
12sin2
4
A A
A
π
++
=
--⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，
∴
39
A,2A+
4444
ππππ
π
<<∴<<，∴当
3
2A+
42
ππ
=即A＝
5
8
π
时，b2取得最小值
12(21)
12
+
+
＝12，
∴b的最小值为23，即AC最小值为23．
故答案为23．
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质，属于中档题.
二、解答题
15．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数f（x）=sin2x-.
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x时，求g（x）的值域.
【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数的解析式化为
的形式，从而就可求出的最小周期和最小值，
（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数的表达式，再由并结合正弦函数的图象即可求出其值域．
试题解析：（1）
,
因此的最小正周期为，最小值为.
（2）由条件可知：.
当时，有，
从而的值域为，
那么的值域为
.
故
在区间
上的值域是
.
【考点】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.
16．已知△ABC 中，1
tan 4A =，3tan 5
B =，17AB =求： （1）角
C 的大小；
（2）△ABC 中最小边的边长. 【答案】（1）34
C π
=
（22【解析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tan C ，将tan A 与tan B 代入值代入求出tan C 的值，即可确定出C 的度数；
（2）由tan A 与tan B 的大小判断出BC 为最小边，由tan A 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin A 的值，利用正弦定理求出BC 的长． 【详解】
解：(1)()()tan tan tan C A B A B π⎡⎤=-+=-+⎣⎦
= –tan tan 1tan tan A B A B +-= –13
4513145
+
-⋅ 1=-，所以34C π=，
(2)因为tan tan A B <，所以最小角为A 又因为1tan 4A =
，所以17sin A =， 17c AB ==sin sin a c
A C
=， 所以a =
sin sin c A
C
⋅ = 1717172 = 2
【点睛】
此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
17．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N ）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.52
6
1e
t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？ 【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内 【解析】（1）解不等式f （t ）>5，即可
（2）利用作差法求出f （t ）﹣f （t ﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可． 【详解】 解：(1) 令()0.52
6
1e
t f t -+=
>+5，解得42ln57.2t >+≈， 即需要经过8年，该树的高度才能超过5米； (2) 当t ∈N 时，()()()0.520.512
66
11e 1e t t f t f t -+--+--=
-++
()()()
0.520.50.52
0.5 2.5
6e e 1
1e
1e t t t -+-+-+-=
++ 设0.52
t e
u -+=，则(
2
0,u e ⎤∈⎦，()()()
()
()
0.50.561111e u
f t f t u e u ---=++.
令()()()
0.511u g u u e u =
++，则
()()0.50.5111g u e u e u
=+++. 上式当且仅当0.5
1e u u
=时，()g u 取得最大值
此时，0.25u e -=，即0.520.25t e e -+-=，解得 4.5t =.
由于要求t 为正整数，故树木长高最快的t 可能值为4或5， 又()()0.564331f f e -=-
+，()()
0.50.5
66
543311f f e e --=-=-++， 所以，该树在第四年内或第五年内长高最快． 【点睛】
本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
18．已知椭圆Γ：
22
11x y m m +=+， 过点(1,0)D -的直线l ：(1)y k x =+与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E .
（1）当1m =且1k =时，求点M 、N 的坐标；
（2）当2m =时，设EM DM λ=u u u u r u u u u r ，EN DN μ=u u u
r u u u r ，求证：λμ+为定值，并求出该值；
（3）当3m =时，点D 和点F 关于坐标原点对称，若△MNF 的内切圆面积等于18
49
π，求直线l 的方程.
【答案】（1）M (0，1)，N (43-
，13
-)；（2）λμ+为定值3（3）(:1)l y x ±+= 【解析】（1）代值联立方程组．解得即可求出，
（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而121211
x x
x x λμ+=
+++，化简整理即可证明， （3）假设存在直线l ：y ＝k （x +1）满足题意，则△MNF 的内切圆的半径为32
7
，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k 的值 【详解】
解：(1) 当m=k=1时，联立22121
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解之得：01x y =⎧⎨=⎩或43
13x y ⎧
=-
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
即M (0，1)，N (43-
，1
3
-)； (2) 当m =2时联立()22
132
1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得：()2222
326360k x k x k +++-=， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则2
1222
122632
36
32k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由EM DM λ=u u u u v u u u u v ，EN DN μ=u u u
v u u u v ，且点E 的横坐标为0，
得()111x x λ=+、()221x x μ=+. 从而121211
x x
x x λμ+=
+++
1211211x x λμ⎛⎫+=-+
⎪++⎝⎭
=
121212221x x x x x x ++-+++ =2
2222
262
43222336662
13232
k k k k k k -++-
=-=--+-+++， λμ+为定值3；
(3) 当m =3时，椭圆Γ：22
143
x y +=，假设存在直线():1l y k x =+满足题意，则△MNF 的内切圆的
半径为
32
7
，又()1,0D -、()1,0F 为椭圆Γ的焦点，故△MNF 的周长为8， 从而1322
8277
MNF S ∆=
⨯⨯=
， 消去y ，得()
2
2
2
2
4384120k x k x k +++-=，设()11,M x y 、()22,N x y ，
则()1212121
2
MNF S DF y y y y k x x ∆=
-=-=-. 故()121227
k x x -=
，即()22
1212288449k x x x x ⎡⎤+-=
⎣⎦. 由(2)，得2222
22
84122884434349k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥--⨯= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 化简，得4217180k k +-=，解得1k =±， 故存在直线():1l y x =±+满足题意． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19．设函数()2e 2x f x kx =--． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在正数a ，使得当0x a <<时，|()|2f x x >，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(,0](4,)-∞+∞U
【解析】分析：函数求导得()2e x
f x k ='-，讨论k ，由导数的正负求单调区间即可；
（2）若2k ≤，分析函数可知()0f x >，()2f x x >即()2e 220x
k x -+->，设
()()2e 22x g x k x =-+-，()()2e 2x g x k '=-+，讨论02k <≤和0k ≤两种情况，知0k ≤成立，02k <≤时不成立，2k >时，存在0x ，使得当()00,x x ∈时，()0f x <，()2f x x >可化为
()2f x x ->，即()2e 220x k x ---<，设()()2e 22x h x k x =---，分析24k <≤和4k >求解即
可.
详解：（1）()2e x
f x k ='-．
当0k ≤时，()0f x '>，()f x 上(),-∞+∞单调递增． 当0k >时，若()0f x '>，则ln
2k x >，若()0f x '<，则ln 2k x <；所以()f x 在ln ,2k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，在,ln
2k ⎛
⎫
-∞ ⎪⎝⎭
上单调递减． （2）若2k ≤，()f x 在()0,+∞内单调递增，当0x >时，()()00f x f >=，所以()()f x f x =，
()2f x x >即()2e 220x k x -+->.
设()()2e 22x
g x k x =-+-，()()2e 2x
g x k '=-+.
若0k ≤，0x >时，()()00g x g ''>>，()g x 在()0,+∞单调递增.所以当0x >时，()()00g x g >=， 故存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >. 若02k <≤，当20ln
2k x +<<时，()0g x '<，()g x 在20,ln 2k +⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，因为()00g =，所
以()0g x <.故不存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >. 若2k >，()f x 在0,ln
2k ⎛
⎫
⎪⎝⎭
单调递减，
因为()00f =，所以存在0x ，使得当()00,x x ∈时，()0f x <，()2f x x >可化为()2f x x ->，即()2e 220x k x ---<.
设()()2e 22x
h x k x =---，()()2e 2x
h x k '=--.
若24k <≤，则0x >时，()0h x '>，()h x 在()0,+∞单调递增，又()00h =，所以0x >时，
()0h x >.
故不存在正数a ，使得当0x a <<时，()2f x x >. 当4k >时，当20ln
2k x -<<时，()0h x '<，()h x 在20,ln 2k -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，又()00h =，所以
()0h x <.故存在02min ,ln 2k a x -⎧
⎫=⎨⎬⎩
⎭，使得当0x a <<时，()2f x x >.
综上，实数k 的取值范围为(]
(),04,-∞⋃+∞． 点睛：点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若
()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0
f x > ，若()0
f x <恒成立
max ()0f x ⇔<；
（3）若()()
f x
g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）
.
20．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立，n S 为其前n 项的和，且44a =，
836S =.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列{}n b 满足()
12122321213212n
n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，其中
*1,2,,,=⋅⋅⋅∈k n n N .
①证明：数列{}n b 为等比数列；
②求集合()
*3,,,.p m m p
a a m p m p N
b b ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
【答案】（1）*
,n a n n N =∈；（2）①过程见详解；②(){}6,8.
【解析】（1）先由题意，得到数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，根据题中条件，求出首项与公差，进而可求出通项公式；
（2）①根据（1）的结果，将(
)
12122321213212n
n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--化为
()()
1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，得到
()()
1121(23)2532122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），两式作差整理，得到
2132n n n b b --+=⋅，进而可求出12n n b -=，判断出结果；
②先由3p m m p a a b b =得到32p m
p m -=，即n n n a c b =，判断出1n n c c +≥，得到<m p ，设
(,,)*=-∈t p m m p t N ，得到323
t
t
m =
-，分别研究1,2,3,4=t 对应的情况，再由导数的方法证明当4t ≥，*t N ∈时， 3123
=
<-t
t
m ，即可得出结果. 【详解】
（1）因为数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*
2,n n N ≥∈恒成立，
所以数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，
因为44a =，836S =，所以1134
87
8362a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得：111a d =⎧⎨=⎩， 因此*
,n a n n N =∈；
（2）①因为数列{}n b 满足()
12122321213212n
n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，
()()
1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，
所以()(
)
1
121(23)2532
122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），
两式作差可得：()1
121232
2--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b （*2,n n N ≥∈），
又()113212=--b a 也满足上式，所以()1
1212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b ()*n N ∈，
记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则1
232
2--=⋅-n n n T b ，
当2n ≥时，2
112322----=⋅-n n n T b ，两式作差可得：2132n n n b b --+=⋅，
所以()
1
2101122(1)(2)0-----=--=⋅⋅⋅=--=n n n n n b b b ，
即()
1
2101112
2(1)(2)(1)(11)0------=--=⋅⋅⋅=--=--=n n n n n n b b b ，
所以1
2
n n
b -=，因此1
2n n
b b +=，即数列{}n b 为等比数列； ②由3p m m p a a b b =得11322m p m p --=，即32p m
p m
-=， 记n n n a c b =
，由①得12-=n n n c ，所以
1112++=≤n n
c n n c ，因此1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）. 由3p
m m p
a a
b b =得3=>m p p
c c c ，所以<m p . 设(,,)*
=-∈t p m m p t N ，由32
p m
p m -=
得3()2+=t
m t m ，即323
t t m =-；
当1t =时，3m =-，不符合题意； 当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，9
5
m =
，不符合题意； 当4t =时，12
13
m =
，不符合题意， 下面证明当4t ≥，*t N ∈时， 3123
=<-t t
m ， 不妨设()233(4)=--≥x
f x x x ，
则()2ln 230'=->x
f x 在[
)4,+∞上恒成立， 所以()f x 在[
)4,+∞单调递增； 所以()(4)10≥=>f x f ， 所以，当4t ≥，*t N ∈时， 3123
=
<-t
t
m 恒成立，不符合题意； 综上，集合()
(){}*3,,,6,8p m m p a a m p m p N b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
. 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，会判断数列的增减性等即可，属于常考题型.。