弦长公式证明及应用详解

弦长公式证明及应用详
解
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
弦长公式证明及应用详解
公式为： |AB|2121x x k -+=
2122124)(1x x x x k -++=
和：|AB|=122121224)(||1
1y y y y y y k
-+=-+
作用：应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式直接求出弦长 公式证明：
证法一：
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=
221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+=
2122124)(1x x x x k -++= 其实用三角函数来证明也很简单 方法如下 证法二：
表示倾斜角）
αα
α
α
ααα(cos 1
1
11cos cos cos sin tan 2
22
22
2=
=+=+=+k 又因为：
αcos |||
|21=-AB x x 所以
||1||cos 1cos ||||212
2121x x k x x x x AB -+=-=-=α
α2122124)(1x x x x k -++=
同理：
|AB|=122121224)(||1
1y y y y y y k
-+=-+
推导方法如下： 是倾斜角）
αα(sin |
|||2
1=-AB y y ; 又因为：α
α
α
ααα
α
sin 11
12
1
1sin sin cos sin sin cos 2
2
2
222
=
=+=
+=+
k
所以：|AB|=122
121224)(||11y y y y y y k
-+=-+
特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=2P
例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14
:22
=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长
解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪
⎩
⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-
==+35322121x x x x 得，
23
8
320942
4)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2
1
:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++=12
2
122y x x y 得03462=-+x x
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-
=-=+21322121x x x x
3
11
2)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB
解: 设),(),,2211y x B y x A （
联立方程:⎩⎨⎧+==m
x y x
y 242得0)44(422=+-+m x m x
则⎪⎩
⎪⎨⎧=
-=+412
2121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x k AB
4-=∴m
例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB
分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-（根据直线垂直斜率之积是-1）且AB 的中点在已知直线上 解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k
设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎩⎨⎧+-=+=3
2
x y b x y 化简得032
=-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)21
,21(b M +--在直线0=+y x 上
1=∴b 022
=-+∴x x
则 ⎩⎨⎧-=-=+212
121x x x x
238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB
小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式
作业：
（1） 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两
点，且316
=AB ，
求α的值
（2） 已知椭圆方程12
22
=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。

弦长公式的应用
1. 弦长问题
例1. 已知点），，（和，03)03(B A -动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为
2，点C 的轨迹与直线y=x-2交于D 、E 两点，求线段DE 的长。

解：设点C x y （，），则 ||||CA CB -=±2，
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
x a y b
222
21-=
由，得，2222312
2
2
a c AB a
b =====||
故点C 的轨迹方程是
x y 2
2
2
1-= 由，得x y y x x x 222212460-==-⎧⎨
⎪⎩
⎪+-= 因为∆>0，所以直线与双曲线有两个交点。

设D x y E x y ()()1122，，，，则
[]
x x x x DE x x x x x x 12122121221246112445
+=-=-=
+-=
+-=，故,
||||
()
2. 求曲线的方程
例2. 已知点A ()--14，，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线l y x ：=-22与抛物线C 交于M M 12、两点，若||||||AM M M AM 1122、、成等比数列，求抛物线C 的方程。

解：设抛物线C y px p M x y M x y ：，，，，，211122220=>()()() 显然点A 在直线l 上，
由，
得y px y x 2222==-⎧⎨
⎩ y px p 220--=， 所以y y p 12+=， y y p 122=-
由图1，知y y 1244>->-，，
图1
又||||||M M AM AM 12212=⋅，即 11
21
12411
24441682416282122
212
2122
12
12122+-⎛
⎝ ⎫⎭⎪
=
+
++++-=++++=-++==-||()()()()y y y y y y y y y y y y p p p p p p ，亦即，，解得或（舍去）
故抛物线C 的方程为y x 24=。

例3. 已知F 是定点，l 是定直线，点F 到直线l 的距离为p p ()>0，点M 在直线l 上滑动，动点N 在MF 延长线上，且满足
||||||
FN MN MF =1
，求动点N 的轨迹方程。

解：如图2所示，以点F 为原点，过点F 垂直于l 的直线为x 轴建立直角坐标系。

图2
设N x y x k y
x
FN ()().，，则>=
0 由于|||||
|MN MF NF =⋅，
根据公式，得
111
2
2
2
2
2
2
22
++=+⋅+
+=+>
y
x
x p
y
x
p
y
x
x
p x y x p x
()
()
，
化简，得，
平方整理，得点N的轨迹方程为
()()
p x p y px p x
22222
1200
-+--=>.
3. 范围问题
例4. 过椭圆
x
m
y
m
m
2
1
125
+
-
=≤≤
2
()的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆及其准线的交点从左至右依次为A、B、C、D，记f m AB CD
()||||||
=-，求
f m
()的取值范围。

图3
解：由条件，知直线l y x x m
：，椭圆准线：
=+=±
1，
A m m D m m
()().
--++
，，，
11
设B x y C x y
()()
1122
，，，，
其中-<<<
m x x m
12
，则
|||()|
()
||||()
()||||||||.
.
().
AB x m
x m
CD m x m x
f m AB CD x x
y x
x
m
y
m
m x mx m m
m
=+--
=+
=+-=-
=-=+
=+
+
-
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
-+-+=
≤≤
11
2
112
2
1
1
1
21220
25
2
1
1
2
22
12
22
22
，
，
由得
因为
所以，f
m m m m
m m ()=--=
-=
+-⎛
⎝ ⎫⎭⎪∈⎡⎣⎢⎤⎦
⎥2
2212221
211211029423
练习：
设双曲线x a y b
a b 222
2100-=>>()，的右顶点为A ，P 是双曲线上的一个动点
（异于顶点）。

从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和
R 两点。

图4
（1）证明无论P 点在什么位置，总有|||||
|OP OQ OR 2=⋅（O 为坐标原点）； （2）求T AP AQ AR =⋅||||||
2
的取值范围。

（答案：T b a b
T >+≠2
2
2
1且）。