广东省清远市2021届新高考五诊数学试题含解析

广东省清远市2021届新高考五诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若31n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85
B ．84
C ．57
D ．56 【答案】A
【解析】
【分析】
先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.
【详解】 解：31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n = 88433188r r r
r r
r T C x x C x ---+==
要求展开式中的有理项，则258r =，，
则二项式展开式中有理项系数之和为：258
888++=85C C C
故选：A
【点睛】
考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.
2．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）.
A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D ．2016年与2019年艺体达线人数相同
【答案】A
【解析】
【分析】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ，
2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；
2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误；
2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了
0.480.340.410.34x x x
-≈倍，故C 错误； 2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）
A ．±6
B ．6
C ．-6
D ．132 【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，2315
9a a a ⋅=，
所以96a ===±，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
4．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）
A ．33-
B ．3
C ．33-
D ．32
【答案】D
【解析】
【分析】 建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()2
6399y x =-+≥，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．
设(),P x y ，则()()2233y x y =
-+-，化简得：()23690x y --+=， 则()26399y x =-+≥，解得：32
y ≥， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是
32. 故选：D .
【点睛】
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.
【详解】
解：∵f （x ）为偶函数；
∴f （﹣x ）＝f （x ）；
∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1；
∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|；
（﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2；
∴mx ＝0；
∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3），
b ＝f （2log 5），
c ＝f （2）；
∵0＜2log 3＜2＜2log 5；
∴a<c<b ．
故选B ．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．
6．设12,F F 分别是双线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．0x y ±=
B ．0y ±=
C ．0x ±=
D ．30x y ±=
【答案】B
【解析】
【分析】
由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.
【详解】
如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，
和.
故选：B
【点睛】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.
7．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）
A ．3
B ．13
C ．2
D ．12 【答案】A
【解析】
【分析】
设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率0
3k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.
【详解】
设切点为00(,2)x kx -， ∵3y x '=，∴00
03,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =，
代入②得013ln 1x +=，
则01x =，3k =，
故选A.
【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
8．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为
3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值
范围是( )
A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ C ．2935,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤
⎥⎝⎦ 【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意，2cos sin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围.
【详解】
已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为
3π的交点， 则2cos sin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， 2536ππϕ∴+=，6
πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭， 若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω倍， 则sin 26y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 所以当[0,2]x π时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦
， ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，
5466
πππωπ∴+<， 29352424ω∴<. 故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 9．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项A ，B 显然正确；
对于C ，2.9 1.60.81.6
->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.
故选：D
【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ）
A ．5
B ．3
C ．－12
D ．－13 【答案】B
【解析】
【分析】
由题得15a d +=-，1434162a d ⨯+
=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】
25a =-，416S =-，15a d ∴+=-，1434162
a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力.
11．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）．
A ．50,3A
B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦
C ．1
,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭
D ．(0,)A B =+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B 和A B ，分析选项即可得到答案.
【详解】 根据题意，{}215|log (31)2|3
3B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭ 则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
12．已知1sin 243απ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79- B ．29- C ．29 D ．79
【答案】A
【解析】
【分析】 由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9
α=- 【详解】 ∵1sin 243
απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有
27cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭ 又∵cos()sin 2π
αα+=- ∴7sin 9α=-
故选：A
【点睛】
本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则
258
a a a +的值为_____． 【答案】2
【解析】
【分析】
设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258
a a a +即可. 【详解】
解：等比数列{}n a 的公比设为,q
396,,S S S 成等差数列,
可得9362,S S S +＝
若1,q ＝
则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠
则()
()()9361111112111a q a q a q q
q q ---⋅=+---, 化为6321,q q +＝
解得31
2
q ＝﹣, 则43251176811112214a a a a q q a a q q
-+++====
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.
14．已知()7270127111
12x a a x a x a x x x
⎛
⎫+-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则2a =___________，0127a a a a +++⋅⋅⋅+=_____________________________
【答案】−196 −3
【解析】
【分析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：()()23
2327722196a C C =-+-=-，令x=1，则1+a 0+a 1+…+a 7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a 0+a 1+…+a 7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x)7展开式的通项得()172r
r r T C x +=-，
则()()232327722196a C C =-+-=-， 令x=1,则()()7
017111122a a a +++⋯+=+⨯-=-，
所以a 0+a 1+…+a 7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题. 15．已知不等式组20202x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．
【答案】
254
π 【解析】
【分析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.
【详解】
由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，
易知1
232tan 14122
MON -
∠==+⨯，故sin MON ∠= 35，又3MN =，设OMN 的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2sin MN R MON =∠，即52R =，故所求外接圆的面积为2
525
24ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
16．己知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=->>的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 是双曲线C 过第一、三
象限的渐近线，记直线l 的倾斜角为α，直线1:tan 2
y x α
'=⋅，2F M l '⊥，垂足为M ，若M 在双曲线C
上，则双曲线C 的离心率为_______
1 【解析】 【分析】 由22,2
MOF OF c α
∠=
=，则||cos
2OM c α
=，所以点2cos ,cos sin 222M c c ααα⎛⎫
⎪⎝
⎭， 因为tan b a α=，可得sin ,cos b a c c αα==，点M 坐标化简为,22+⎛⎫
⎪⎝
⎭c a b ，代入双曲线的方程求解. 【详解】
设22,2
MOF OF c α
∠=
=，
则tan b
a α=
，即
22sin ,sin cos 1cos b a αααα=+=， 解得sin ,cos b a c c
αα=
=， 则||cos
2
OM c α
=，
所以2cos ,cos sin 222M c c ααα⎛⎫
⎪⎝
⎭，
即,22c a b M +⎛⎫
⎪⎝⎭
，
代入双曲线的方程可得22
2
2()144c a b a b
+-=， 所以22240c ac a +-= 所以2240e e +-=
解得1e =.
1 【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln 2ln 35f x x x x x =-+-，22()ln x a a
g x x x x
-=+
+. （1）求证：()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
； （2）若当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，求证：494
a <. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用求导数，判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，然后再证37(),()24
f f 异号，即可证明结论；
（2）当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，分离参数只需1x >时，2(ln 2)
1
x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），需min 49()4a h x ≤<，根据（1）中的结论先求出min ()h x ，再构造函数结
合导数法，证明min 49
()4
h x <即可. 【详解】
（1）22
()1ln 3ln 4f x x x x x
'=+-
+=-+， 令()()f x m x '=，则212
()0m x x x
'=
+>，
所以()()m x f x '=在区间(1,)+∞上是增函数，
则()(1)2f x f ''>=，所以()f x 在区间(1,)+∞上是增函数. 又因为3131ln 02222f ⎛⎫=--<
⎪
⎝⎭
， 717117ln 1ln 0444444f ⎛⎫
⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
所以()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
. （2）由题意，22()ln 0x a a
g x x x x
-=+
+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即2
(1)(ln 2)x a x x -≤+在区间[
)1,+∞上恒成立， 当1x =时，a ∈R ；
当1x >时，2(ln 2)
1x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），
所以22
[(2)ln 35]()
()(1)(1)x x x x x f x h x x x -+-⋅'=
=--.
由（1）可知，37,24m ⎛⎫
∃∈
⎪⎝⎭
，使()0f m =， 所以，当(1,)x m ∈时，()0h x '<，当(,)x m ∈+∞时，()0h x '>， 由此()h x 在区间(1,)m 上单调递减，在区间(,)m +∞上单调递增，
所以2min
(ln 2)
()()1
m m h x h m m +==
-. 又因为()(2)ln 350f m m m m =-+-=，
所以53ln 2m m m -=-，从而2
min ()()2m h x h m m
==-，
所以22m a m ≤-.令2
()2m h m m
=-，37,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
则22
4()0(2)
m m
h m m -+'=>-，
所以()h m 在区间37,24⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数， 所以749()44
h m h ⎛⎫<= ⎪
⎝⎭，故49()4a h m ≤<. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
18．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，
. （1）求m 的值；
（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】
()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;
()2
由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可
求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】
（1）∵()2f x x m x =--+，
()2222f x x m x ∴-=----+，
所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，
, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，
, 即不等式()2
22x m x --≥的解集为(] 4-∞，
， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，
， 所以
2
42
m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=. 又∵0a >，0b >，3c >， ∴()()()()()()12231132
a b c a b c ++-++-=
()()()3
3
3
122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立, 即3a =，1b =，7c =时，等号成立， ∴()()()113a b c ++-的最大值为32. 【点睛】
本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式
a b +≥:一正二定三相等是本题的易错点;
属于中档题.
19．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）9
10
；（2）见解析. 【解析】 【分析】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）
（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】
事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，
事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
()()
111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()
111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410
=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.
()()33433
400545
P X P A B ===⨯=，
()()
334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327
544554100
=⨯⨯+⨯⨯=，
()()
3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯ 11311
554100+⨯⨯=，
()()
343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 141111137
55445544400
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
()()
343411111
12005544400
P X P A A B B ===⨯⨯⨯=.
则X 的分布列为：
故4006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 10001200510.5400400
+⨯+⨯=(元). 【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
20．小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是
1
2
，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）
18（2）见解析，
13
8
【解析】 【分析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X 的所有可能取值为0,1,2，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值. 【详解】
（1）记2家小店分别为A ，B ，A 店有i 人休假记为事件i A （0i =，1，2），B 店有i 人，休假记为事件i B （0i =，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则()()2
00211C 24P A P B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()()2
1
112
11
22P A P B C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，
()()2
222211C 24
P A P B ⎛⎫===
⎪⎝⎭.
所以()()02201111144448
P P A B P A B =+=⨯+⨯=. 答：发生调剂现象的概率为
18
. （2）依题意，X 的所有可能取值为0，1，2. 则()()2211104416
P X P A B ===
⨯=， ()()()122111111
142244
P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，
()()()1111
2101116416
P X P X P X ==-=-==--=.
所以X 的分布表为：
所以()210164168
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
21．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负
半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）直线1cos :sin x t l y t θ
θ
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标
方程.
【答案】（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=. 【解析】 【分析】
（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线l 的方程. 【详解】
（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数），
可得曲线C 的普通方程为2
2
(1)1y x +-=， 因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为2
2
(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=， 即2sin 0ρθ-=.
（2）因为直线1cos :sin x t l y t θ
θ=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线，
曲线C 的普通方程为2
2
(1)1y x +-=， 所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1).
∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，
所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.
22．如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）60
7
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可得cos ∠ADB ＝﹣cos ∠ADC ，由已知利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2﹣16＝0，进而解得BC 的值．（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1
432
=
⨯⨯=6，S △ABC ＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得
2
5
ACE BCE
S
S
=
，根据S △ABC ＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值． 【详解】
（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，
在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222
022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⨯⨯，
因为213AB =4AC =，3AD =，BD DC =，
所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.
（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以1
4362
ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，
所以
1
sin 21sin 2
ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42
105
AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以60
7
BCE S ∆=
. 即BCE ∆的面积为607
. 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
23．在平面直角坐标系中，(2,0)A -，(2,0)B ，且ABC ∆满足1tan tan 2
A B = （1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2
）过(F ，0)作直线MN 交轨迹E 于M ，N 两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2倍，求直线MN 的方程．
【答案】（1）221(0)42
x y y +=≠．
（2）MN
的方程为x y = 【解析】 【分析】
（1）令(,)C x y ，则
1
222
y y x x ⋅=--+，由此能求出点C 的轨迹方程． （2）令()()1122,,,M x y N x y
，令直线:MN x my =
得(
)
2
2
220m y +--=，由此利用根的判别式，韦达定理，三角形面积公式，结合已知条件能求出直线的方程。

【详解】
解：（1）因为1
tan tan 2A B =，即直线AC,BC 的斜率分别为12,k k 且1212
k k ⋅=-， 设点(,)C x y ，则
1222
y y x x ⋅=--+， 整理得22
1(0)42
x y y +=≠.
（2）令()()1122,,,M x y N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，
令直线:MN x my =22142
x y +=联立得(
)22
220m y +--=，
所以有121222
2
0,,22
y y y y m m -∆>+=
=++， 由2MAB NAB S S ∆∆=，故122y y =，即122y y =-，
从而()2
21
212212
2141222
y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得2
27m =
，即7
m =±。

所以直线MN
的方程为x y = 【点睛】
本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题。