Bayes决策及其应用
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Ｐ｛ （ ＝０ Ｙ一１ Ｉ ｇ Ｘ） ， Ｘ＝ｚ ＝ ｝ Ｐ｛ ｙ一０ ｌ —ｚ｝ ｇ ｇ ） Ｘ Ｓ ｎ｛ （ 一１ ＋ ｝
Ｐ｛ 一 １ Ｉ — ｚ Ｓ ｎ｛ （ ） Ｙ Ｘ ｝ ｇ ｇ ｚ 一０ ＝ ｝＝ ＝
（ １一 叩 ｚ ） ｇ ｇ ｚ）一 ｌ ＋ （ ） Ｓ ｎ｛ （ ｝
一 Ｔ ｘ） Ｔ ｘ） ／ ，（ ｝ （ ／
收 稿 日期 ：０ ００ —６ ２ １—３１
Ｅ ± ２ 二 １ 』二翌 二！
２
第 ３期
１
一
游
Ｉ
，
煦等 ． ａ ｅ 决 策及 其应 用 Ｂ ｙｓ
一
５ ９
Ｅ（ １ ２ （ ）Ｉ 。 Ｉ — ｚ ）
些不 合理 的地方 。
Ｅ｛ １ 叩 ） Ｓ ｛ （ 一 （ ） 窖 ｇ＊（ ） １ ＋ ｚ 一 ）
叩 ｚ） ｇ ｇ （ ）＝ ０） （ ３ ｎ｛ １ ｚ ｝＝
Ｅ １７）ｇ＇） ｝ ｛－（） （ ≥ ＋ （ ｚＳ｛ ７
叩ｚ Ｓ （ ）ｇ
，＜
呀 ｚ Ｓ ｎ｛ （ ） （ ） ｇ ｇ ｚ 一ｏ ， ｝
Ｂ ｙｓ 策 函 数 是 一 种 最 优 决 策 ， 出 了 Ｂ ｙｓ 策 的 错 误 概 率 以及 回归 函数 的一 条 简 单 的 性 质 。其 次 ａｅ 决 给 ａｅ 决
在 预 测 学 生 通 过 考 试 的概 率 模 型 中 ， 影 响学 生 成 绩 的每 周 电脑 游 戏 时 间数 Ｔ、 外 活 动 时 间 数 Ｅ及 一 从 课
则
Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ Ｙ Ｉ — 一 Ｘ ｝
Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ ｙ Ｉ —ｚ｝ Ｘ 一
（ １一 刁 ） ３ （ ）（ ｇｎ｛ ）一 １ 一 ｇ（ ｝
Ｓ ｛ ｇ ｇ＊（ ） １ ） ｚ 一 ｝ ＋
叩 ｚ） Ｓ ｎ｛ ｚ）一 ｏ 一 （ （ ｇ ｇ（ ｝
Ｓ ｎ｛ （ ｇ ｇ ｚ）一 ０｝ ）一
２１ ０ ０年 ９月
Ｂ ｙ ｓ决 策 及 其 应 用 ａｅ
游 煦 苏 欣 王 若 鹏
（ 京 石 油 化 工 学 院 数 理 系 ， 京 １２ １ ） 北 北 ０ ６ ７
摘
要
为 了利 用 Ｂ ｙｓ 策 理 论 对 学 生 通 过 考 试 的 概 率 进 行 预 测 ， 先 在 理 论 上 证 明 了 ａｅ 决 首
Ｅ｛ｇ Ｘ） ｙ 。Ｉ — ） （（ 一 ） Ｘ 一
， ） ｇ ｇ ）＝ ｏ ７ （ ｎ｛ （ ＝ ）） ＝ （） ４
Ｌ（ ｇ＊）≤ Ｌ（ 。 ｇ）
证 明 任 给 Ｘ—ｚ ， Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ Ｙ Ｉ Ｘ—ｚ 一 ｝
特别 地 ， 于 Ｂ ｙ ｓ 策 就有 定理 ２ 对 ａｅ决 。
定 理 ２ Ｌ（ ）一 ｇ
Ｐ｛ （ 一１ Ｙ一０ ｌ —ｚ｝ ｇ Ｘ） ， Ｘ 十
些 无 法 量 化 的指 标 等 因素 Ｌ 出发 ， Ｂ ｙｓ 策构 造 出各 种 情 形 下 的最 优 决 策 函数 ， 用 ａｅ 决 以较 小 的 错 误 概 率 对学生通过考试进行预测 ， 这在 实 际教 学 管 理 过 程 中有 一 定 的应 用 价 值 。 关 键 词
中 图法 分 类 号
第１ ８卷
第 ３期
北京 石 油化工 学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｎ ｎ ｔｔ ｔ ｆ ｏ ｒ ａ ｆＢｅｊ ｇＩ ｓｉｕ ｅｏ ｉ
Ｐｅ ｒ — ｈｅ ｉａ ｃ ｏ ｏｇ ｔ ｏ ｃ ｍ ｃ ｌＴｅ ｈｎ ｌ ｙ
Ｖｏ ． ８ ＮＯ ３ １１ ．
Ｓｅ ２ ０ ｐ． ０１
称 为 Ｂ ｙｓ ａ ｅ 决策 函数 ， 它具 有 以下性 质 ：
（ １ ） ’
ｇ ｇ （ ｎ｛ ｚ）一 １ ｝）≥ ０
（ ） 即 ２ ，
（） ３
式 （） ３ 两边 同时在 ｘ 的边缘 分 布上 积 分 可得 式
Ｌ（ ）≤ Ｌ（ ） ｇ ｇ。
定 理 １ 对 任 意 的决 策 函 数 ｇ ｚ ： 一 （ ）Ｒ
函数 。定义 函数 ｇ ｚ ： ｛ ， ｝ （ ）Ｒ 一 ｏ １ 为一个 决 策 函数 ， 的 错 误 概 率 Ｌ（ ）一 Ｐ｛ （ ≠ Ｙ｝。 它 ｇ ｇ Ｘ）
特 别地 ， 函数
（ １— ２ （ ）（ ｇ ｇ（ ＝１ 一 ｙ ｘ） Ｓ ｎ｛ ）＝ ） ＝
ｇ 一』叩 （ 一 （ ＞１ ２ ） ， ）≤ ／ ｚ ／ （
Ｂ ｙ ｓ 策 ；回 归 函数 ；错 误 概 率 ；成 绩 预 测 ａｅ 决
Ｏｌ ８ ７
１ 主 要 定 理 及 其 证 明
设 （ ｙ）是 一对 取值 于 Ｒ Ｘ， × ｛ ， ｝上 的 ０１ 随机 变 量 ， 任 给 的 Ｘ ∈ Ｒ 对 ， 条 件 概 率 称 ７ｚ 一Ｐ｛ ７ ） （ ｙ一１ Ｘ＝ｘ）：Ｅ｛ Ｘ—ｌ 为 回 归 ｌ ＝ ＝ ｙＩ ｚ ｝
另外 回归 函数 ７ｘ ／ ）可 以最 小 化 均方误 差 。 （
定理 ３ Ｅ｛ ｒ Ｘ）一 ｙ） ≤ Ｅ｛ ｇ（ （ｌ （ ｝ （ Ｘ）一 ｙ） （ ） ） ５
３ 模 型 改 进
在 模 型 中 ， 于 是 否 通 过 考 试 只 考 虑 了学 对 习时 间 ， 实 上 ， 响成 绩 的 因 素 很 多 也 很 复 事 影
｛ ， ｝， 有 ０１ 都
Ｐ｛ ｇ＊（ Ｘ）≠ ｙ｝ Ｐ｛ Ｘ）≠ Ｙ） （ ） ≤ ｇ（ ２
即
这说 明 Ｂ ｙ ｓ 策是 最优 决策 。 ａｅ 决 在定 理 １的证 明过 程 中 ， 以得到 可
Ｌ（ ） Ｅ｛ １ ７ ｚ ） ｇ ｇ ｚ 一 １ ＋ ｇ 一 （ — ７ ） Ｓ ｛ （ ） （ ）证明任 给 Ｘ —ｚ ，
杂 ， 至会 有 智 力 因素 等 无 法 量 化 的 指 标 。 为 甚 此， 假设 该 生 每 周 玩 电 脑 游 戏 的 时 间 为 Ｔ ， 课
外 活动 时 间为 Ｅ ， 一些 无 法 量 化 的指标 如 懒 惰 和 学 习 困难 等 记 为 Ｌ ， 且 假 设这 三 者 独立 同 并
Ｐ｛ 一 １ Ｉ — ｚ Ｓ ｎ｛ （ ） Ｙ Ｘ ｝ ｇ ｇ ｚ 一０ ＝ ｝＝ ＝
（ １一 叩 ｚ ） ｇ ｇ ｚ）一 ｌ ＋ （ ） Ｓ ｎ｛ （ ｝
一 Ｔ ｘ） Ｔ ｘ） ／ ，（ ｝ （ ／
收 稿 日期 ：０ ００ —６ ２ １—３１
Ｅ ± ２ 二 １ 』二翌 二！
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第 ３期
１
一
游
Ｉ
，
煦等 ． ａ ｅ 决 策及 其应 用 Ｂ ｙｓ
一
５ ９
Ｅ（ １ ２ （ ）Ｉ 。 Ｉ — ｚ ）
些不 合理 的地方 。
Ｅ｛ １ 叩 ） Ｓ ｛ （ 一 （ ） 窖 ｇ＊（ ） １ ＋ ｚ 一 ）
叩 ｚ） ｇ ｇ （ ）＝ ０） （ ３ ｎ｛ １ ｚ ｝＝
Ｅ １７）ｇ＇） ｝ ｛－（） （ ≥ ＋ （ ｚＳ｛ ７
叩ｚ Ｓ （ ）ｇ
，＜
呀 ｚ Ｓ ｎ｛ （ ） （ ） ｇ ｇ ｚ 一ｏ ， ｝
Ｂ ｙｓ 策 函 数 是 一 种 最 优 决 策 ， 出 了 Ｂ ｙｓ 策 的 错 误 概 率 以及 回归 函数 的一 条 简 单 的 性 质 。其 次 ａｅ 决 给 ａｅ 决
在 预 测 学 生 通 过 考 试 的概 率 模 型 中 ， 影 响学 生 成 绩 的每 周 电脑 游 戏 时 间数 Ｔ、 外 活 动 时 间 数 Ｅ及 一 从 课
则
Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ Ｙ Ｉ — 一 Ｘ ｝
Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ ｙ Ｉ —ｚ｝ Ｘ 一
（ １一 刁 ） ３ （ ）（ ｇｎ｛ ）一 １ 一 ｇ（ ｝
Ｓ ｛ ｇ ｇ＊（ ） １ ） ｚ 一 ｝ ＋
叩 ｚ） Ｓ ｎ｛ ｚ）一 ｏ 一 （ （ ｇ ｇ（ ｝
Ｓ ｎ｛ （ ｇ ｇ ｚ）一 ０｝ ）一
２１ ０ ０年 ９月
Ｂ ｙ ｓ决 策 及 其 应 用 ａｅ
游 煦 苏 欣 王 若 鹏
（ 京 石 油 化 工 学 院 数 理 系 ， 京 １２ １ ） 北 北 ０ ６ ７
摘
要
为 了利 用 Ｂ ｙｓ 策 理 论 对 学 生 通 过 考 试 的 概 率 进 行 预 测 ， 先 在 理 论 上 证 明 了 ａｅ 决 首
Ｅ｛ｇ Ｘ） ｙ 。Ｉ — ） （（ 一 ） Ｘ 一
， ） ｇ ｇ ）＝ ｏ ７ （ ｎ｛ （ ＝ ）） ＝ （） ４
Ｌ（ ｇ＊）≤ Ｌ（ 。 ｇ）
证 明 任 给 Ｘ—ｚ ， Ｐ｛ （ ｇ Ｘ）≠ Ｙ Ｉ Ｘ—ｚ 一 ｝
特别 地 ， 于 Ｂ ｙ ｓ 策 就有 定理 ２ 对 ａｅ决 。
定 理 ２ Ｌ（ ）一 ｇ
Ｐ｛ （ 一１ Ｙ一０ ｌ —ｚ｝ ｇ Ｘ） ， Ｘ 十
些 无 法 量 化 的指 标 等 因素 Ｌ 出发 ， Ｂ ｙｓ 策构 造 出各 种 情 形 下 的最 优 决 策 函数 ， 用 ａｅ 决 以较 小 的 错 误 概 率 对学生通过考试进行预测 ， 这在 实 际教 学 管 理 过 程 中有 一 定 的应 用 价 值 。 关 键 词
中 图法 分 类 号
第１ ８卷
第 ３期
北京 石 油化工 学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｎ ｎ ｔｔ ｔ ｆ ｏ ｒ ａ ｆＢｅｊ ｇＩ ｓｉｕ ｅｏ ｉ
Ｐｅ ｒ — ｈｅ ｉａ ｃ ｏ ｏｇ ｔ ｏ ｃ ｍ ｃ ｌＴｅ ｈｎ ｌ ｙ
Ｖｏ ． ８ ＮＯ ３ １１ ．
Ｓｅ ２ ０ ｐ． ０１
称 为 Ｂ ｙｓ ａ ｅ 决策 函数 ， 它具 有 以下性 质 ：
（ １ ） ’
ｇ ｇ （ ｎ｛ ｚ）一 １ ｝）≥ ０
（ ） 即 ２ ，
（） ３
式 （） ３ 两边 同时在 ｘ 的边缘 分 布上 积 分 可得 式
Ｌ（ ）≤ Ｌ（ ） ｇ ｇ。
定 理 １ 对 任 意 的决 策 函 数 ｇ ｚ ： 一 （ ）Ｒ
函数 。定义 函数 ｇ ｚ ： ｛ ， ｝ （ ）Ｒ 一 ｏ １ 为一个 决 策 函数 ， 的 错 误 概 率 Ｌ（ ）一 Ｐ｛ （ ≠ Ｙ｝。 它 ｇ ｇ Ｘ）
特 别地 ， 函数
（ １— ２ （ ）（ ｇ ｇ（ ＝１ 一 ｙ ｘ） Ｓ ｎ｛ ）＝ ） ＝
ｇ 一』叩 （ 一 （ ＞１ ２ ） ， ）≤ ／ ｚ ／ （
Ｂ ｙ ｓ 策 ；回 归 函数 ；错 误 概 率 ；成 绩 预 测 ａｅ 决
Ｏｌ ８ ７
１ 主 要 定 理 及 其 证 明
设 （ ｙ）是 一对 取值 于 Ｒ Ｘ， × ｛ ， ｝上 的 ０１ 随机 变 量 ， 任 给 的 Ｘ ∈ Ｒ 对 ， 条 件 概 率 称 ７ｚ 一Ｐ｛ ７ ） （ ｙ一１ Ｘ＝ｘ）：Ｅ｛ Ｘ—ｌ 为 回 归 ｌ ＝ ＝ ｙＩ ｚ ｝
另外 回归 函数 ７ｘ ／ ）可 以最 小 化 均方误 差 。 （
定理 ３ Ｅ｛ ｒ Ｘ）一 ｙ） ≤ Ｅ｛ ｇ（ （ｌ （ ｝ （ Ｘ）一 ｙ） （ ） ） ５
３ 模 型 改 进
在 模 型 中 ， 于 是 否 通 过 考 试 只 考 虑 了学 对 习时 间 ， 实 上 ， 响成 绩 的 因 素 很 多 也 很 复 事 影
｛ ， ｝， 有 ０１ 都
Ｐ｛ ｇ＊（ Ｘ）≠ ｙ｝ Ｐ｛ Ｘ）≠ Ｙ） （ ） ≤ ｇ（ ２
即
这说 明 Ｂ ｙ ｓ 策是 最优 决策 。 ａｅ 决 在定 理 １的证 明过 程 中 ， 以得到 可
Ｌ（ ） Ｅ｛ １ ７ ｚ ） ｇ ｇ ｚ 一 １ ＋ ｇ 一 （ — ７ ） Ｓ ｛ （ ） （ ）证明任 给 Ｘ —ｚ ，
杂 ， 至会 有 智 力 因素 等 无 法 量 化 的 指 标 。 为 甚 此， 假设 该 生 每 周 玩 电 脑 游 戏 的 时 间 为 Ｔ ， 课
外 活动 时 间为 Ｅ ， 一些 无 法 量 化 的指标 如 懒 惰 和 学 习 困难 等 记 为 Ｌ ， 且 假 设这 三 者 独立 同 并