2010届高三数学一轮复习必备精品平面向量

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.
3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.
4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.
7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
向量由于具有几何形式与代数形式的双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇
点，成为多项内容的媒介.
主要考查：
1.平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则.
2.向量的坐标运算及应用.
3.向量和其它数学知识的结合. 如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用.
4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.
第1课时向量的概念与几何运算
2010届高三数学一轮复习必备精品：第七章平面向量1.向量的有关概念
例2.已知向量a =2e i _3e 2 , 6 =2e i 3e 2 , c =2e i _9e 2，其中e i 、e 2不共线，求实数 ，、」， ⑴既有 _________又有 _______ 的量叫向量. ___________ __________ 的向量叫零向量. __________________ 的向量，叫单位向量. ⑵ ____________________ 叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量 ______________ . ⑶ _____________且 ___________ 的向量叫相等向量. 2. 向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法.向量加法按 _____________ 法则或 __________________ 法则进行.加法满足 _______________ 律禾廿 _______ 律.
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是将两向量的 ________________ 重合，连结两向量 的 ________ ，方向指向 ____________________ . 3. 实数与向量的积
⑴ 实数•与向量a 的积是一个向量，记作 • a .它的长度与方向规定如下： ① 1
■■■.■.
a |=
_____ .
② _______________________________________ 当■ > 0时，’a 的方向与a 的方向 ；
当■< 0时，■ a 的方向与a 的方向 __________ ； 当&= 0时，九a
___________ .
⑵ ■(
谚)= _____________ .
f (.■. + a a = ____ .
■ ( a + b
)= ------------- .
⑶ 共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
入使得 _________ .
4. ⑴ 平面向量基本定理：如果 勺、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一
平面内的任一向量a ，有且只有一对实数.1、二，使得 _______________ ⑵ 设e i 、e 2是一组基底，a = xg •旳岂,b = x?® •沁电，则a 与b 共线的充要条件 是 ________ 典型例题
例1.已知△ ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点.设 AB 二a , AC 二b ，求BE . 解：BE = AE — AB =— ( AB + AC )- AB =— 一 a + - b
4'
'
4
4
变式训练1.如图所示，D 是厶ABC 边AB 上的中点，则向量 CD 等于(
BC + 1BA
2
B . — B
C — 1BA
2
C . BC — -BA
2
D . BC + -
BA
2
解：c =入a + 卩6 =■ 2 e i — 9 e 2 = （2 入 + 2 卩）+ （— 3 3 卩）=• 2 2 卩=2，
且一3 3 ^i=— 9=入=2，且卩=一 1
变式训练2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 0点，点P 为平面上任意一点，求证：
PA PB PC PD =4P0
证明 PA + PC = 2 PO , PB + PD = 2 PO = PA + PB + PC + PD = 4 PO
例3.已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且 AB = 2CD , M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若 AB =a ‘ , AD =b ，试用 a 、 b 表示BC 和MN .
解: 连 NC ，贝U NC =AD =b MN =MC CN =丄 AB CN =-^b ; BC =NC _NB =b _丄 a
4
4
2
变式训练3:如图所示，OADB 是以向量0A = a , OB = b 为邻边的平行四边形，又
BM =
1
■ ■ 1
-BC , CN = - CD ，试用 a 、b 表示 OM , ON , MN . 3 3
例4.设a ， b 是两个不共线向量，若 a 与b 起点相同，t € R ，t 为何值时，a ，t b ，J （a + b ）
3
三向量的终点在一条直线上？
1 2 r 1 l l
解：设 a —tb =知[a ——（a ，b ） ] （，€ R ）化简整理得：（一'，；—1）a • （t — -，）b =0
3
3
3
t-3 3k =0
6
②若a, b 不共线，则有 ，解之得，t 二一.
I t-2k=0 5
6 综上，a,b 共线时，则t 可为任
意实数；a,b 不共线时，t .
解:OM = 1 a + - b ，
6 6
— 2 2 '
ON = a + b ，
3 3
1 — 1 MN = a — b
2 6
•/ a 与b 不共线，
一 一 1 一
a, tb, - （a 加）三向量的向量的终点在一直线上.
t 叫 r 斗 t 4 —I r T 4
_ _
OA =a,OB =b,OC =c,OD = d,OE = e ,
三点在一条直线上?？ 片 CE = e —c = （t —3）a tb ， C 故t =i 时，
2 ， 变式训练4:已知
4 轉*
e =t （a b ），那么t.为何值时，
解：由题设知，（
直线上的充要条件是存在实数
4
整理得（t -3 3k ）a =（2k -t ）b . ①若a, b 共线，则t 可为任意实数; 二 e ，设 t R ，如果 3a 二 c, 2b 二 d, r . / CD = d -c = 2b -3a, ，C, D, E 三点在一条 ） 4 4 『，使得 CE 二 kCD ，即（t -3）a tb 二-3ka 2kb ，
A
D
例2.已知向量a =2e i_3e2 , 6 =2e i 3e2 , c =2e i _9e2，其中e i、e2不共线，求实数，、」， ---- 5
小结归纳
1认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何 中的证明. 2. 注意O 与0的区别.零向量与任一向量平行. 3•注意平行向量与平行线段的区别•用向量方法证明
AB //CD ，需证AB // CD ，且AB 与
CD 不共线.要证 A 、B 、C 三点共线，则证 AB // AC 即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则， 特点：首尾相接首尾连；
向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点.
第2课时
平面向量的坐标运算
基础过关
1. 平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 「、 /作为基底，对于一个向量 a ，有且只
有一对实数x 、y,使得a = x i + y j .我们把（x 、y ）叫做向量a 的直角坐标，记作 ______________ .并 且|a |= ___________ .
2. ______________________________ 向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系.
3. 平面向量的坐标运算：
右 a =（X i 、y i ）, b =（X 2、y 2）,入€ R ，则：
a +
b = ______________ a — b = _____________
入a = ____________
已知 A （x 「y i ）, B （X 2、y 2），贝U AB = _________.
4. _______________________________________________________ 两个向量a = （x i 、y i ）和
b =（X 2、y 2）共线的充要条件是 __________________________________ .
典型例题
例1•已知点A （2, 3）, B （— 1, 5），且AC =丄AB ，求点C 的坐标.
3
解 AC =丄 AB = ( — 1 , -), OC = OA - AC = (1, 11),即卩 C(1, 11) 3 3 3 3
1
变式训练 1.若 OA =(2,8) , 0B =(-7,2)，则—AB = _____________
3
解：(-3,-2)提示：AB =0B -0A =(-9,-6)
变式训练 2■已知 a — 2 b = (— 3, 1), 2 a + b = ( — 1, 2),求 a + b . 解 a = (— 1, 1), b = (1, 0)，二 a + b = (0, 1)
例 2.已知向量 a = (cos ； , sin ；), b = (cos? , sin^), 2 5L 5
■'-'
cos — 5 5 2 解:|a — b |= 口 空 2
5 55 |a — b |
=F ，求cos( —3 的值.
3 —
7
=一二 cos( — 3 )-— 5 25 !~c220O
(0 ° <0< 1叫做向量a 与b 的
.当0= 0。

时，a 与b
;当0= 180时,a 与
例 3.已知向量 a = (1,2), b = (x, 1), e i = a + 2b , e 2 = 2 a — b ，且 e i // e 2，求 x . 解：e i = (1 + 2x , 4), e 2 = (2 — x , 3), e i // e ? = 3(1 + 2x) = 4(2 — x)= x = £ 变式训练 3.设 a = (ksin 0 , 1) b = (2 — cos 0 , 1) (0 < Q <n / b ，求证：k 3 .
证明：k = 2 -co ^ ••• k —
3 =
3
- > 0 • k >. 3
sin •
sin 二
例4.在平行四边形 ABCD 中，A(1 , 1), AB = (6, 0)，点 与BD 交于点P .
(1) 若AD = (3, 5),求点C 的坐标；
(2) 当|AB |=|AD |时，求点P 的轨迹. 解：(1)设点C 的坐标为
(X 0, y 0),
AC =AD DB =(3,5) - (6, 0) =(9, 5) =(x 0-1, y 0-5)
小结归纳
基础过关
a 和
b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则/ AOB = 0 b _________ ；如果a 与b 的夹角是90 °我们说a 与b 垂直，记作_______________ . M 是线段AB 的中点，线段CM
得 X 0= 10 y 0 = 6 即点 C(10，6)
(2) •/ AB = AD •••点 D 的轨迹为(x — 1)2+ (y — 1)2= 36 (y 丰 1)
••• M 为AB 的中点
• •• P 分BD 的比为1
2
1)则 D(3x — 14 , 3y — 2)
(x -5)2 (y _1)2 =4(y 』)
设 P(x , y)，由 B(7 , •••点P 的轨迹方程为 变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0 , 1)和点B( — 3, 4)，若点C 在/ AOB 的平 分线上，且|OC |= 2,求OC 的坐标.
解已知 A (0 , 1), B ( — 3, 4)设 C (0, 5), D ( — 3, 9)
则四边形OBDC 为菱形
•••/ AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线OD
• O C ^OD
310
5
3 10) 5
1. 认识向量的代数特性. 几何问题可以代数化，代数问题可以几何化.
2. 由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表 示方法，由于坐标运算方便，可操作性强， 向量的坐标表示，实现了 形”与 数”的互相转化.以向量为工具,
因此应优先选用向量的坐标运算.
第3课时
平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：已知两个非零向量
2.两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量
a与b，它们的夹角为9,贝y数量___________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a •，即a -b = ________________ .规定零向量与任一向量的
数量积为0.若a=(X i, y i), b =(X2, y2)，贝V a -b = _______________ .
3.向量的数量积的几何意义：
|b|cos叫做向量b在a方向上的投影(堤向量a与b的夹角).
a -b的几何意义是，数量 a •等于 _____________________________________ .
4.向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，9是a与b 的夹角.
(1) e -a = a -e =
⑵a丄b :二__________
⑶ 当a与b同向时，a • = ___________ ；当a与b反向时，a • = ___________ .
⑷cos 9= _______ .
⑸ i a -b| < ___________
5.向量数量积的运算律：
(1)a •= ；
⑵(}a ) b = ___________ = a - (l b)
⑶(a + b ) c = __________
例1.已知心|= 4, |b|= 5，且a与b的夹角为60°求：(2：+ 3b) (3a —2b).
解:(2 a + 3b)(3a —2b) = — 4
变式训练 1.已知| a |= 3, |b |= 4, |a + b |= 5,求|2a —3b |的值.
解:6'一5
例 2.已知向量 a = (si nr , 1), b = (1, COST),—
2 2
(1)若a丄b，求v
⑵求|a + b|的最大值.
解:(1)若 a _b，贝U sin • cosj -0
即tan—而，（_2厅），所以—4
(2) a+b =甘亏丽而N O诙=(3+2/2sin(日町) 当日=匹时，a 4b的最大值为返椚
4
变式训练2:已知a =（cos : ,sin : ）, b =（cos - ,sin -），其中0 ：：：「：：：-:::二
4 4 4 4
（1）求证：a b 与a -b互相垂直；
⑵若ka b与a-k b的长度相等，求一：-〉的值（k为非零的常数）.
证明：；（^ ■ b）（；-b） = 22-b2 = （cos2"：：亠sin2：） -（cos2‘；■，sin2!：■） = 0
.a b与a -b互相垂直
(2) ka b = (k cos 一八cos ：,k si n r 'sin ：),
a — k
b =(cos：- -kcos :,sin ：- -ksin ：),
k7+b = J k2+1 +2kcos(B _a),二kb = J k2+1 _2kcos(0 _□),
而,k21 2kcos(；' - J = _ k21 2kcos(；' J)
cos( ： - ：)=0 ,
2
例3.已知O是厶ABC所在平面内一点，且满足(OB —OC ) (OB + OC —2OA) = 0,判断
△ ABC是哪类三角形.
解:设BC 的中点为D，则(OB—OC)(OB OC—2OA)= 0= 2BC •AD = 0= BC 丄AD = △ ABC
是等腰三角形
变式训练3:若A(1,2), B(2,3), C(-2,5)，则△ ABC的形状是___________________________ .
解：直角三角形.提示：AB =(1,1),AC =(—3,3), AB AC =0, AB _ AC
例 4.已知向量m = (cos 0 , sin和Bn)=(迈—sin 0 , cos B ( n , 2 且|)m +n |=电2，求
5 cos(孑^)的值.
解:m n = (cos 0—sin 0+ ,2 , cos 0+ sin 0)由已知(cos 0—sin 0+ ■. 2 )2+ (cos 0+ sin 0)2=畧化
简：cos「—) 7
4 25
-ka tb,且X _ y ，试求函数关系式 k 二f (t).
1
3
解：由 a 十 3, -1),b =(亍于)得 a b = 0,|a |= 2,| b| = 1
2 2 2 2
2
[a (t 2 -3)b] (-ka tb) =0,-ka
ta b_k(t 2 _3)a b t(t-3)b =0
3
1 3
1 3
-4k t-3t -0,k (t-3t), f (t) (t-3t)
1 •运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题•因此充分挖掘题目所包含的几何意
义，往往能得出巧妙的解法.
2. 注意a -b 与ab 的区别.a • = 0e a = 0，或b = 0 .
3. 应根据定义找两个向量的夹角。

对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合.
第4课时线段的定比分点和平移
1.
设
P 1P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P" P 2的任意一点，则存在一个实数 入
使PP =入晅,入叫做 __________ .
2. 设P 1 (X 1、y 1), P 2 (X 2、y 2),点P (x 、y )分的比是入时，定比分点坐标公式为: ________________ ，中点坐标公式： __________________ 。

3. ____________________ 平移公式：将点 P (x 、y )按向量a =( h 、k )平移得到点P' (
x', y'), 则例1.已知点A( — 1, — 4), B(5, 2)，线段AB 上的三等分点依次为 P“ P 2，求P 「P 2的坐标
及A 、B 分P 1P 2所成的比.
1
解 ⑴ P 1(X — 2) P 2(3, 0) (2) — , — 2
又曲(—亠上N
2 8 2
•••&€ （ n , 2 n •- COS （乜■—）＜0
TT 1亠COS （：：£亠・） • •• COS （二 变式训练 4.平面向量
16 25
1亠cos （:总
亠'）
16 25
十3, -1）,b
16 25
1 3
(,')，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2 2
X a （t 2 -3）b , y
变式训练1.设|AB| = 5，点p 在直线AB 上，且|PA|= 1，贝U p 分AB 所成的比为 _____________ . 解：丄或_1
4
6
例2.将函数y = 2sin (2x +乞)+ 3的图象C 进行平移后得到图象 C',使C 上面的一点P
6
(巴、2)移至点P'(卫、1)，求图像C'对应的函数解析式.
6
4
解：C': y = 2si n(2x + 寻)+ 2
变式训练2:若直线2x — y + c = 0按向量a = (1, — 1)平移后与圆x 2 + y 2= 5相切，则c 的值 为 () A . 8 或—2 B . 6 或—4 C . 4 或—6 D . 2 或—8
解：A
例 3.设 a = (sinx — 1, cosx — 1), b =(#，孑)，f (x) = a b ,且函数 y = f (x)的图象是由 y = sinx 的图象按向量c 平移而得，求c . 解：c = (— — 2k 二一心2 ) (k € z)
变式训练3:将y = sin 2x 的图象向右按a 作最小的平移，使得平移后的图象在
[k 灶二，k n
2
n ] (€ Z)上递减，则a = __________ .
解:(二，0)
4
例4.已知△ ABC 的顶点A(0、0), B(4、8), C(6、一 4)，点M 内分AB 所成的比为3, N 是 AC 边上的一点，且△ AMN 的面积等于△ ABC 的面积的一半，求 N 点的坐标. 解:由 S.AMN I AM I I AN I = 1
S.ABC I AB I I AC I 2 |AN |
2
AN c
2
得 I AC| 3
NC
••• N(4, -3)
变式训练4.已知△ ABC 的三个顶点为 A (1 , 2), B (4, 1), C ( 3, 4). (1) 求AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标；
(2) 在
AB 上取一点P ,使过P 且平行于BC 的直线PQ 把厶ABC 的面积分成4 : 5两部分(三 角形面积：四边形面积)，求点P 的坐标
26
8 7
4、 解：CM
G( — , ) p(3,)
2
3 3
3
1•在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确 定分比■. 2.平移公式反映了平移前的点 P(x 、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量2 = (h , k)三者之间 的关系•它的本质是 PP' = a .平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆.
平面向量章节测试题
、选择题
1.若 A (2, -1), B (-1 , 3),则 AB 的坐标是 ( ) A. ( 1, 2) B. (-3, 4) C. (3, -4) D. 以上都不对
2.与a= (4, 5)垂直的向量是 (
)
A. (-5k,4k )
B. (-10 , 2)
C.
4)
D. (5k, -4k )
3. △ ABC 中,BC =a, AC =b,则AB 等于
( )
A.a+b
B.-(a+b)
C.a-b
D.b-a
2 12 4.化简—(a - b) - - (2a+4b)+
(2a+13b)的结果是
5 3
15
( )
1 1
1 1
1 1
A. — a
b B.0
C. —a+—b
D.
a — b
5
5
5 5
5
5
5•已知|p|=2.. 2 ,|q|=3, p 与q 的夹角为一，则以a=5p+2q,b=p - 3q 为邻边的平行四边形的一条 4 对角线长为 ( ) A.
15
B. ,15
C. 16
D.14
6•已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p // AB ,则k 的值为 (
)
A 9
m 9
19
19
A.
B. C. D.-
10 10 10
1.0 _
7.
已知△ ABC 的三个顶
点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB =AB ，则点P 与厶ABC
的关系是 ( )
8. 已知△ ABC 的三个顶点，A (1,5) , B(-2,4) , C(-6,-4) , M 是BC 边上一点，且△ ABM 的面积 1
是厶ABC 面积的-,则线段AM 的长度是 (
)
4
—
5
85 A.5 B.二• 85
C.
D.-
2 2
9.
设e 1,e 2是
夹角为45°的两个单位向量，且a=s+2e 2,b=2e 1+e 2,则|a+b|的值 (
)
A. 3 . 2
B.9
C.18 9 2
D. 3. 2
. 2
10. 若|a|=1,|b|= 2,(a-b)丄a,则 a 与 b 的夹角
为 (
)
0 0 — ° 0
A.30
B.45
C.60
D.75
11. 把一个函数的图象按向量 a=( - ,-2)平移后，得到的图象对应的函数解
析式为
3
y=sin(x+ )-2,则原函数的解析式为
( )
6
A.y=si nx
B.y=cosx —
C.y=s in x+2
D.y= -cosx
12. 在厶ABC 中，AB =c, BC = a, CA=b,则下列推导中错误的是
( )
A.若a b<0,则厶ABC 为钝角三角形
B.若a b=0,则厶ABC 为直角三角形
C.
若a b=b °则厶ABC 为等腰三角形 D.若c ( a+b+c)=0,
则厶ABC 为等腰三角形 二、填空题
13. 在厶ABC 中，已知 AB 二AC =4,且AB AC =8,则这个三角形的形状是 ____________________
19
A. P 在厶ABC 的内部
C. P 是AB 边上的一个三等分点 B. P 在厶ABC 的外部
D. P 是AC 边上的一个三等分点
14. 一艘船从A点出发以2-3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
2km/h，则船实际航行的速度的大小和方向是.:：打
7. C知闭鮎和&炖火血为皿‘ • |打也b =5. m2 —6门厂____ 15. 若向量a =(3,~2),b =(-2,1),c =(7,-4),现用a、b 表示c,则c= _______________ .
一— 2 2
16•给出下列命题：①若a+b =0,则a=b=O;
② 已知 A (x i , y i ), B (x 2, y 2),贝U 1A B =(x i ? x 2 , y i ? y 2)； ③ 已知a,b,c 是三个非零向量，若a+b=O,则|a c|=|b c \
④ 已知冷■? 0,扎2 ,0,e i ,e 2是—组基底,a=入e i +be 2则a 与e i 不共线,a 与e ?也不共线; ⑤ 若a 与b 共线,则a b=|a| |b|•其中正确命题的序号是 ____________________ . 三、解答题
18•设两个非零向量 e i 、e 2不共线•如果 AB=e i +e 2, BC =2e i +8e 2,CD =3(e i -e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线；
⑵试确定实数 k,使ke 什e 2和e 什ke 2共线• i9•已知△ ABC 中,A(2,4),B(-i,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB 丄AC;⑵求点D 与向 量AD 的坐标.
20. 已知△ ABC 的三个顶点为 A(i,2),B(4,i),C(3,4)・⑴求AB 边上的中线 CM 的长⑵在AB 上 取一点P 使过P 且平行与BC 的直线PQ 把 ABC 的面积分成4:5两部分，求P 点的坐标.
2i.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当 b 与a+入b (仇R)垂直时，a+入b 勺模取得最小值
i
22. 已知二次函数 f(x)对任意 x € R,都有 f (i-x)=f (i+x)成立，设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx,-),
i7.如图,ABCD 是
个梯形，AB//CD,|A 耳=2|CD
AB =a, AD =b ，试用 a 、
b 表示視,BC 和MN.
N 分别是DC, AB 的中点，已知
B
c=(cos2x,1),d=(1,2)。

(1)分别求a b和c d的取值范围；
(2)当x€ [0,冗时，求不等式f(a b)>f(c d)的解集
平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA ; DDADB ; BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600； 15.a—2b ; 16.①③④
1 —1 一- 1 —- 1
三、17. T | AB|=2|CD |A AB =2DC /. DC =—AB =—a,BC = b—— a , MN =— a— b
2 2' 2 ' 4
H —I - . .
18.⑴ T BD =BC CD =5e什5e2= 5AB , • AB // BD 又有公共点B, • A、B、D 共线
⑵设存在实数入使ke1+e2=入(e-ke2) • k=入且k入=1 • k=二
1
19.⑴由AB AC =0可知AB _AC即AB丄AC
⑵设 D (x,y) , ••• AD =(x -2, y —4), BC = (5,5), BD = (x 1,y - 2)
•/ AD _ BC • 5(x-2)+5(y-4)=0
•/ BD // BC • 5(x+1) —5(y+2)=0
7
x =
2
5 r
7 5 - 3 3
• D(?5)AD=(?-2)
20.⑴ M(5,-^ CM =(_1,_5),|CIM |=倍
2 2 2 2 2
⑵设P (x,y)：汪)沁'團_Z
S BPQC 5, AP/7B
S ABC 9 | AB | 3 3 ■ (x -1,y -2) (3,—1) . P(3,4
a b
21.当b与a+入b(€XR)垂直时，b • (a+入b)=0A = 牙b
| a+ 入b 弑b +2AaLb +a? = Q b2(九十^^)2+ a2 _()2
当入二a=b时，| a+入取得最小值.
b2
•••当b与a+入b(廩R)垂直时，a+入b的模取得最小
值.
2 2
22. (1) a b=2sin x+1 - 1 c d=2cos x+1 -1
(2 )T f(1-x)=f(1+x) • f(x)图象关于x=1 对称
当二次项系数m>0时，f(x)在(1,r )内单调递增，
—2 2
由f(a b)>f(c d)二 a b > cd；即2sin x+1>2cos x+1
又••• x€ [0, n ] ••• x€ (二込
4 4
当二次项系数m<0时,f(x)在(1,=)内单调递减，
由f(a b)>f(c d)二 a b > cd；即2sin2x+1<2cos2x+1
3 —
又••• x€ [0, n ] • x€ [0, —)U(，二]、 4 4
故当m>0时不等式的解集为(二艺)；当m<0时不等式的解集为[0,二川(竺，二]、
4 4 4 4
五年咼考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1. （2009年广东卷文）已知平面向量a=（x,1）, b=（— x.x2）,贝U向量a b （）
A平行于x轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D. 平行于第二、四象限的角平分线
答案C
2 2
解析a b =（0,1 x ）,由1 x - 0及向量的性质可知，C正确.
2. （2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力F1, F2, F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态•已知F1, F2成60°角，且F1 , F2的大小分别为2和4,则F3的大小为（）
A. 6
B. 2
C. 2、5
D. 2 .7
答案D
解析F32=F j F22 -2F1F2COS（1800 - 60°）=28，所以F3=2.7，选D.
3. （2009浙江卷理）设向量a , b满足：|a |=3 , |b|=4 , ab 二0 •以a , b , a-b 的
模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）
A. 3
B. 4 C • 5 D. 6
答案C
解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现. 4. （2009 浙江卷文）已知向量a 二（1,2）, b 二（2, -3）•若向量c 满足（c a）// b ,c_ （a b）,
则c -()
A 7 77 77 777
A（：，）B•（二，二）C•（工）D•(,-
9 3 3 9 3 993
答案D
取 a= 1,0 , b= 0,1，若 k =1，则 c = a b=1,1 , d = a~b 二 1, -1 , 显然，a 与b 不平行，排除A B.
若 k = -1，则 c=-a b 二-1,1 , d=-a b- - -1,1 , 即c //d 且c 与d 反向，排除C,故选D.
解析 不妨设 C = （m, n ），则 a • c = 1 m,2 • n , a • b = （3, -1），对于 c a // b ,
7
7 则有 _3（1 ■ m ） = 2（2 ■ n ）;又 c _ a b ，则有 3m - n = 0，则有 m , n =
9
3
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算， 通过平面向量的平行和垂直关系的考查， 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.
5. （2009北京卷文）已知向量 a = (1,0),b = (0,1), c = ka b(k R),d = a-b ，如果 c//d 那么
A . k =1且c 与d 同向 C . k =-1且c 与d 同向 答案 D
.w 解析 本题主要考查向量的共线
）
• k =1且c 与d 反向 .k - -1且c 与d 反向
（平行）、向量的加减法•属于基础知识、基本运算考查•
T
a - 1,0 ,
b = 0,1，若 k=1，则
c = a ，b = 1,1 , d=a-b= 1, -1 ,
显然，a 与b 不平行，排除A B.
若 k = -1，则 c=_a ，b= -1,1 , d=-a ，b=--1,1 ,
即c //d 且c 与d 反向，排除C,故选D.
6. （ 2009北京卷文）设D 是正.甲卩2巳及其内部的点构成的集合，点
P 0
是・洱卩2卩3的中
若集合S 二｛P|P ・D,| PP 。

国PR |,i =1,2,3｝，则集合S 表示的平面区域是 （） A.三角形区域 B
•四边形区域 C.五边形区域 D .六边形区域
答案 D
解析本题主要考查集合与平面几何基础知识 .本题主要考查
阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力 ，考查学生分析问
题和解决问题的能力.属于创新题型.如图，A B C 、D E 、 F 为各边三
等分点，答案是集合
S 为六边形ABCDEF 其中，
P ）A = RA _ PA i =1,3 即点P 可以是点A.
7. （ 2009北京卷理）已知向量 a 、b 不共线，
c = ka b （k R ）,
d = a-b ,如果 c //d ,那么（）
A . k =1且c 与d 同向 C . k =T 且c 与d 同向 D
k =1且c 与d 反向
k - -1且c 与d 反向
答案 D
解析本题主要考查向量的共线（平行）
、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查
8.（2009山东卷理）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BCBA 二 2BP ，则（ )
答案B 解析：因为BC
= 2BP ，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选
【命题立意】：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答 9. ( 2009 全国卷 n 文)已知向量 a = (2,1) , a • b = 10 , I a + b I = 5. 2，则 I b I =
A. ,5
B.
•帀
C.5
D.25
答案 C
解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由 a 七=5・、2知(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab=50,
得|b|=5 选 C.
10. （2009全国卷I 理）设 a 、b 、c 是单位向量，且 a - b = 0,贝U a-c ・b-c 的最 小值为 （）
A. -2
B. ,2-2
C. -1
D. 1 - . 2
11.(2009湖北卷理)已知
P ={a|a =(1,0) m(0,1),m
R}, Q ={b |b =(1,1) n(-1,1),n
R}是两个向量集合，贝U
A.〔 1 , 1〕
B. 〔-1 , 1〕
C. 〔 1, 0〕
D. 〔 0, 1〕 答案A
解析 因为a =(1,m) b (1-n,1 • n)代入选项可得 P Q =k.1,1匚故选A . 已知向量 a 二 2,1 ,a b =10,|a b^^ 2，则 |b|二
A. 5
B. 、、10
C. 5
D. 25
答案C
解析 T50 =|： +【|冷?|2 +2：诂+|【|2=5+20 + |1|2二|；|=5 故选 C.
5 13. (2009辽宁卷理)平面向量a 与b 的夹角为60°, a = (2,0) , b=1则a+2b=()
A. PA PB =0
B. 需局=0 D. PA 局任二
B 。

答案D
解析* 胡-|a
a,b,c 是单位向量
Jr c
-
IJr dr- c
T 』T —2
aLb - (a + b)_c + c
bflcb x. 2cos a b,c - 1 -、一 2 .
12. (2009全国卷n 理)
A. ,3
B. 2 3
C. 4
D.2
答案B
_
2
2 2
解析 由已知 |a| = 2,|a + 2b| = a + 4a • b + 4b = 4 + 4 x 2X 1 x cos60 ° + 4= 12
a 2
b =^,3
14. （2009宁夏海南卷理）已知 O, N, P 在 ABC 所在平面内，且
OA = OB = OC ,NA + NB + NC = 0 ,且 PA • PB = PB ・PC = PC • PA ，则点 O, N,
P 依次是 ABC 的 A.重心夕卜心垂心 B.重心夕卜心内心 C.外心重心垂心 D. 外心重心内心
答案C
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 知,O 为 ABC 的外心；由NA NB N^ 0
知，O 为.ABC 的重心
:PA ・PB 二 PB ・PC, PA —PC ・PB =0, CA ・PB=0, CA_PB, 同
理，AP_BC,. P 为厶ABC 勺垂心，选C.
15. (2009 湖北卷文)若向量 a= (1, 1), b= (-1,1 ) , c= (4, 2),则 c= ()
A.3a+b
B. 3a-b
C.-a+3b
D. a+3b 答案B 解析
由计算可得Z = (4, 2) = 3^ - b 故选B
17. (2009辽宁卷文)平面向量 a 与b 的夹角为60°, a = (2,0), | b |
= 1,则| a + 2b |
等于 (
)
A.B.2 3
C.4
D.12
答案B
解析叫O A - |OB - |OC
16. （2009湖南卷文）如图 A.
AD BE
rBD
TDF
4.0
一一
AD CE-CF.0
1 , D , E , F 分别是A ABC 的边AB, BC CA 的中点，贝U () A
D F
解析：AD =DB, AD
AD BE
£忌启，得
TD BE CF=0
AD BE CF = AD DF CF
二 AF CF
C.
解析 由已知 |a| = 2,|a + 2b|2 = a 2 + 4a • b + 4b 2= 4 + 4 x 2X 1 x cos60 ° + 4= 12 ••• a+2b| =2药
18. （2009全国卷 i 文）设非零向量 a 、b 、c 满足 |a |=|b|=|c|,a • b 二 c ,则：:：a,b =（） A. 150 ° B.120
°
C.60
°
D.30
°
答案B
解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解 由向量加法的平行四边形法则，知 a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且
a 、
b 为起点处
的对角线长等于菱形的边长，故选择
B o
19. （2009陕西卷文）在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1点P 在AM 上且满足学 P^^2PM 则科网PA （PB PC ）等于
（）
20. （2009宁夏海南卷文）已知 a - -3,2 ,b - -1,0，向量■ a - b 与a-2b 垂直，则实 21. （2009湖南卷理）对于非0向时a,b, “a//b ”的正确是 A.充分不必
要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.
既不充分也不必要条件
答案A
解析 由a • b = 0，可得a 二-b ,即得a//b ，但a//b ，不一定有a 二-b ，所以“ a ^0 是“ a//b 的充分不必要条件。

—f
c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满
T
T
T T
I a I =I c I ,则I b ?c l 的值一定等于
T —f
A 以a , b 为邻边的平行四边形的面积 T T
B .以b , c 为两边的三角形面积
由 AP =2PM 知,
p 为 ABC 的重心,根据向量的加法
,PB 芯2PM 则
(PB PC)=2APPM=
PM
cos0=2 2 1 仁4
3 3 9
数-的值为 1 A.
7
答案A
解析 向量九a +b = （— 3九—1, 2Z ）, a -2b = （— 1,2 ）,因为两个向量垂直， 1
，故选.A.
B.
C.
1 D.
6
故有（—
3 ■ — 1 , 2 )X(— 1,2 )= 0,即卩 3 ■ + 1 +
4 - = 0，解得:
T —f
22. (2009福建卷文)设 a , b , T T
T T
足a 与b 不共线，a _ c
解析
C. a , b 为两边的三角形面积
D •以b , c 为邻边的平行四边形的面积 答案A 解析 假设a 与b 的夹角为v,l b ? c I = I b 丨•丨c
I •I cos< b , c > I
=I b 「I a' I ? I cos(90 0 _ 旳 I = I b 「I a' I?si nr ,即为以 a , b 为邻边的平 行四边形的面积.
解法 1 因为 a=(1,1),b=(2,x)，所以 a+b=(3,x+1),4b —2a=(6,4x —2), 由于 a b 与 4b -2a 平行，得 6(x • 1) - 3(4x -2) = 0，解得 x = 2。

解法2因为a b 与4b-2a 平行，则存在常数■，使a b V (4b -2a)，即
(2 •，1)a =(4 ■ -1)b ，根据向量共线的条件知，向量
a 与
b 共线，故x =2
25.(2009湖北卷理)函数y 二cos(2x • —)-2的图象F 按向量a 平移到F ', F '的函数解析
6
式为y = f(x),当y = f (x)为奇函数时，向量 a 可以等于
()
JE
31
JE
31
A.
^-,-2)
B.(-;,2)
C.(;,-2) D-r ,2)
6
6
6
6
答案B
解析 直接用代入法检验比较简单.或者设a =(x ；y )，根据定义
y - y 、cos[2(x-X ) ]-2，根据y 是奇函数，对应求出
x , y
6
23. (2009重庆卷理) 已知 =1, b = 6,a[(b — a ) = 2,则向量a 与向量b 的夹角是(
)
JT A. 6
答案C
B.
JT
JT
C.
3
D.
2
解析因为由条件得
-a =2,所以 a b = 2 a =3 二 a bcos 「-1 6 cos ： ,
1
所以cos ：，所以:
24. (2009重庆卷文)已知向量 a 二(1,1),b 二(2,x),若a+b 与4b-2a 平行，则实数x 的值
是 A. -2 答案D
B. 0
C. 1
( )
D. 2
2
26.（2009湖北卷文）函数y =cos （2x '）—2的图像F 按向量a 平移到 6 当y=f （x ）为奇函数时，向量 a 可以等于
]-2 = -sin2x 为奇函数，故选 D. f(x)二 cos[2(x )
6 6
F /, F /的解析式y=f(x).
十） 答案
B.
亍）
C.
（
一）
D.
解析 由平面向量平行规律可知，仅当
仁,2）时,
JI JI
26.( 2009广东卷理）若
产面向量a ，b 满足a+b=1，a+b 平行于x 轴，b=（2,—1），
答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1) 解析
a b =(1,0)或(-1,0)，则 a =(1,0) -(2,-1) =(-1,1)
或 a =(-1,0) -(2,-1)十3,1).
27.（2009江苏卷）已知向量a 和向量b 的夹角为30° , |a|=2,|b| 3,则向量a 和向量b 的 数量积a
b =
.
答案3
解析 考查数量积的运算。

28. （2009安徽卷理）给定两个长度为
1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°.
如图所示，点C 在以o 为圆心的圆弧AB 上变动. 若 OC 二 xOA yOB,其中 x, y R ,则 x y 的最大值是 _________ . 答案2
解析设.AOC =：：
oc*O^=x oA ,oA yoB-oA,，即 OC 2B 二 xOA *oB yoB 2B,
cos (1200
-：)=
x y=2[cos ：
cos(120°「；；)]= cos ： -3sin ： = 2sin(： *)'2
29. (2009安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中, E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或
AC
+” AF ，其中 R ,卩 E R ，则 2 + H = _______________ .
4/3 设 BC =b 、BA
」
则 AF =」b_a , AE 二b 」a ,
2 2
2 4 代入条件得’=u
u =
3
3
4
4
■一 ^4 4
30. ( 2009 江西卷文)已知向量 a =(3,1)，b=(1,3)， c = (k,2)，若(a - c) _ b 则 k= _________ . 答案 0
解析因为a -c =(3 -k, -1),所以k =0.
4 4 4 4 4 4
31. (2009 江西卷理)已知向量 a =(3,1), b =(1,3), c =(k,7)，若(a-c) // b ，则 k= _________ . 答案 5 解析
§= k =5
1
3
T T T
32.
(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
若AD 二xAB yAC ,
J3 答案 x =1
-, y 2
解析 作 DF _ AB ,设 AB =AC =1= BC = DE =扌2 ,
答案 解析
AC 二
b - a
T DEB =60：
,BD 亠
2
由• DBF = 45 解得 DF = BF
畤严号故x=1吕y 冷
33. (2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB// DC,AD// BC,已知点A( —2, 0), B (6, 8), C(8,6),则D点的坐标为______________ .
答案(0,—2)
解析平行四边形ABCD中, OB O^ =OA - OC
••• OD =OA OC _OB = ( —2,0) + (8,6) —(6,8) = (0, —2)
即D点坐标为(0, —2)
■JT 34. (2009年广东卷文)(已知向量a =(sin }_2)与b =(1,cosr)互相垂直，其中〔三(0,㊁)
(1)求si nr 和COST的值
(2)若5cos(— )二3.5 cos「，0 ：：：：匚,求cos ：的值
2
v v v v
解(1) Q a _ b ,. ago = sin v - 2cos - 0 ,即sin v - 2cos
2 2 2 2 1 2 4
又T sin v cos)-1, • 4cos cos -1,即cos , • sin 二
5 5
又二(0, —) sin v - , cos 5
2 5 5
(2) ■/ 5cos( v - J 二5(cos v cos仃亠sin v sin「) = ., 5 cos「亠2、、5 sin 二3、、5 cos
1
.cos =sin ' , . cos2二sin2=1 - cos2 :,即cos2
2
又0 , • cos —
2 2
35. (2009 江苏卷)设向量a = (4cos ：,sin ：), b 二(sin :, 4cos ：), c 二(cos 1, -4sin ：) (1 )若a与b -2c垂直，求tan(二亠卩)的值；
4 4
(2)求| b c|的最大值；
(3)若tan tan ： =16，求证：a // b .
解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

(1) 由a^b-lc垂直，it Ic) = a b - Id c = 0
即4sdn(«+ /?)-8cos((z+ 0) = 0, tan(a+ 0) = 2；
(2) = (sin/? + cos/?,4cos/7
| &+r|2=sin2/> + 2sin/?cos/? + cos2/? + 1 cos2/? -32cos p sin p +16sill2p =1■-30sii］卩20 = r -15 sin 2/? f最大值沖32,所以| b十c|的最大值芮」JI・
⑶由tail«tan /J = 16 得^dn a si n p =16 cost/ cos ,即
4coji：a' -lcos/?-sdii6fsiiiX7 = Op 所歆Mb
36. ( 2009广东卷理)已知向量a=(si n\-2)与b = (1,cosR互相垂直，其中八(0,—).
2
(1 )求si和COST的值；
(2)若sin(v - ) 10,0 ，求cos'的值.
10 2
解 (1)v a 与 b 互相垂直，则 a b 二 si n^ -2cos^ -0,即 sinv - 2 COST ,
••• sin —仝，COS —三
5 5
(2厂 0—7 OH 。

,
37. (2009 湖南卷文)已知向量 a =(si nr,cosv-2si nr), b=(1,2).
(1)因为 a/ /b ，所以 2sin v - COST - 2sin v,
1
4sin v - COST ，故 tan
4
由 | a |=| b | 知，sin 2 v (cos v -2sin v)2 = 5,
2
所以 1 —2sin 2二 4S in - 5.
从而—2sin 2)2(1 -cos2v) =4，即 sin2v cos2二 于是sin(2「-) 一迈.又由0—：二知—2
4 2 4
兀
5兀
兀
7兀
所以2
，或2二
4 4 4 4
38.(2009 湖南卷理) 在 ABC ，已知 2 A B AC =J 3AB ・AC =3BC 2，求角
的大小.
解设 BC =a, AC 二b, AB =c
由 2A B A^ /：3'A B A C 得 2bccosA = ,3bc ，所以 COS A 二于
代入
sin 2 v COS % -1 得sin v -二
5
口，COS —上，又才(0 1),
- 5 2
则 cos(v - J = .：1 -sin 2
(v -:
)
3 10 10 ，
(1) 若a//b ，求ta nr 的值;
(2) 若 |a|=|b|,0「:：:二，求二的值。

(2) A , B, C
即(ab)2 -3ab -4 =0 ■ ab =4(舍去 ab =「1)
1 1 兀
S
absinC 4 sin 2 2
3
2005— 2008年高考题
、选择题
t T
r T T
1. (2008 全国 I )在厶 ABC 中，AB = c , AC = b •若点 D 满足 BD =2DC ，则 AD =(
)
又A （0,二）,因此A 二丄
6
是 sinC sinB = i3sin 2A
3
4
所以 sinCsin(
C)=—3 , sinC (丄cosC 3
sinC) 3 ,
6 4 2
2
4
因此
2sin C cosC 23 sin 2 C = ■, 3,sin 2C -、3 cos 2C = 0，既 sin(2C
) = 0
3
, “ 5 4 二
由A =—知0 ：：： C ，所以 ，2C
，从而
6 6 3 3 3 二 二 二 2 JI
2C 0,或2C ,，既C ,或C ,故 3
3 6 3
兀 2兀 兀 兀 兀 2兀 A , B , C ,或 A , B , C
6 3 6 6 6 3
39. （2009上海卷文）
已知△ ABC 的角A B 、C 所对的边分别是 a 、b 、C,设向量m = （a, b ）,
p =(b-2,a-2). (1) 若 m 〃 n ,
(2) ■4 ■
若m 丄p
，边长c = 2，角C =…，求△ ABC 的面积.
3
——uv v
(1) Qm 〃 n,. a si nA=bsi n B,
a ,
b b 2R 2R
形
其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a =b ABC 为等腰三角
解（2）由题意可知 uv uv
m 〃 p =0,即a(b -2) b(a -2) =0
a b = ab
由余弦定理可知,
4 二 a 2 b 2 -ab = (a b)2 -3ab
由
= 3BC 2 得 be =、3a 2
,
n 二(sin B,sin A), 证明: 求证：△ ABC 为等腰三角形;
D E 、F 分别是△ ABC 的三边BC CA AB
上的点，且
T T CF 与 BC
(a — c)，(b —c) = 0,贝U c 的最大值是
答案C
7. (2007北京)已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且
2OA OB OC = 0 ,那么
A. AO =OD
B. AO 二 2OD
C. AO =3OD
答案 A
1 3
8. (2007海南、宁夏)已知平面向量
a = (1,1),
b = (1, -1)，则向量丄a b=(
)
2 1
A. — b -c
3
3
答案A
B. -c--b
3 3
C. - b--c
3 3
D. - b - c
3
2. ( 2008安徽)在平行四边形 ABCD 中,
AC 为一条对角线，若"AB = (2, 4),
7C =(1,3),
A. (— 2,— 4) 答案B
B •(— 3, - 5) C. ( 3, 5) D. (2, 4)
3. ( 2008 湖北)
a =(1,-2),
b = (—3,4),
c =(3,2)则(a 2b) c 二
A. (-15,12)
B. 0
C.
-3
D.
-11
答案C 4. ( 2008 湖南)
—> T ■.
DC =2BD , CE =2EA, AF =2FB,贝U AD BE
A.反向平行
C.互相垂直 答案A
5. (2008 广东) B.同向平行
D.既不平行也不垂直
的延长线与
在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,
CD 交于点 F .若 a , "BD= b ，则 AF
E 是线段 OD 的中点，AE
1 1 A — a —b
4 2
答案B
6. (2008 浙江)
B , a 1 b C. 1 a 1 b
3
3 2 4
已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量
c 满足
A.1
B.2
C.
、2
D.
A. (-2, _1) c.(_i,o )
答案 D
5 f2
9. (2007湖北)设a = (4,3), a 在b 上的投影为 —,b 在x 轴上的投影为2，且| b | <4
,
2
则b 为 ( )
10. (2007湖南)设a , b 是非零向量，若函数f(x)=(x a • b )[J(a - x b )的图象是一条直线, 则必有
答案A
答案 A
B. (-2,1) D. (1,2)
A (2,14) 答案 B
c
2
c f c 2)
B . 2, —1
C. 1 2,—
I 7 V 7丿
D . (2,8)
A. a 丄 b
B.
a // b
11. (2007天津) 设两个向量a
，其中
A. m, 为实数•若a 二2b ,
—的取值范围是
m
[-6 , 1]
B. [4,8]
C. (-6 , 1]
D. [-1 , 6]
12. (2007 山东) 已知向量a = (1,
n), b -( -1, n)，若 2a -b 与 b 垂直，则 a -(
A. 1 D. 4
答案 c
13. (2006四川) 如图，已知正六边形 RP 2P 3F 4P 5F 6下列向量的数量积中最大的是(
A.
PP 2
,
R
P
3
B.
R P 2, RP 4
C PP 2 , P |P 5
D.
RP 2, RP 6
答案 A
14. (2005 重庆) A . (1, 1) 答案B 二、填空题
15. (2008 陕西) 设向量 a = (— 1, B . (— 4,—
2), 关于平面向量
a , b, b= (2,— 1),则(a •
b ) (a +b )等于 14.( C . — 4
D. (— 2, — 2)
c .有下列三个命题:
①若 a b= a c ，则 b=c .②若 a = (1, k), b = (-2,6) , a // b ，则 k - -3 . ③非零向量a 和b 满足|a |=| b |=|a _b |，则a 与a b 的夹角为60 . 其中真命题的序号为 _________ .（写出所有真命题的序号） 答案②
44
4 4 jr 4 4
16. （2008上海）若向量a , b 满足a =1, b'=2且a 与b 的夹角为［，贝U a + b = _________
答案、、7
17. （2008全国II ）设向量a= （1,2）, b= （2,3），若向量 a b 与向量c 二（-4, 一 7）共线, 则•二 _____ 答案2
18. （2008北京）已知向量a 与b 的夹角为120，且a = b= 4，那么 幽2 a+b ）的值为 答案0
19. （2008 天津）已知平面向量 a =（2,4） , b =（—1,2）.若 c ^^（a b ）b ，贝U
|C 卜 ______________ .
答案 82
I
I
20. (2008江苏)a , b 的夹角为120 ,
答案7 r T T
21. (2007安徽)在四面体 O - ABC 中，OA = a,OB = b,OC = c, D 为BC 的中点，E 为
1 1 1 a b c 答案244
22. （2007北京）已知向量a = （2,4,） b= （1,1 ）.若向量b 丄（a + hb ），则实数九的值是— 答案-3
23. （2007广东）若向量a 、b 满足a |b =1,a 与b 的夹角为120。

，则a -b a -b =
1
答案丄
2
24.（2005上海）直角坐标平面xoy 中，若定点 A （1,2）与动点P （x, y ）满足OP OA =4，则 点P 的轨迹方程是 ____________ . 答案 x +2y -4=0
・ 4
a =1 ,
b 』3则 5a _b
AD 的中点，贝U OE - _____ （用a , b, c 表示）.。