2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)UB

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答
案）
一、解答题
1．判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：
332222
22sin()
,0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩
3333
33
33sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩
(3) 22
22222
22,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩
解：(1)由于3333333322223333
sin()sin()sin()
0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y
++++≤=≤+⋅++++ 又00
lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y u
x y u →→→+==+, 故0
lim 0(0,0)x y z z →→==.
故函数在O (0,0)处连续. (2)000
sin lim lim
1(0,0)0x u y u
z z u
→→→==≠=
故O (0,0)是z 的间断点.
(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则
22
22000
lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则
222
22220000
()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00
lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.
2．指出下列各微分方程的阶数：
(1) 2
()20;x y'yy'x -+=一阶 (2) 2
0;x y''xy'y -+=二阶 (3) 2
20;xy'''y''x y ++=三阶 (4) (76)d ()d 0.x y x x y y -++=一阶
3．把对坐标的曲面积分
()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰
化成对面积的曲面积分，其中：
(1) Σ
是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．
解：(1)平面Σ
：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2
，}，单位向量为n 0={
35，25
}，即方向余弦为3cos 5α=，2
cos 5
β=
，cos γ=．
因此：
()()()(
)d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z s
P Q R s
P Q R ∑∑
∑
αβγ++=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1} 其
方
向
余
弦
：
cos α=
，
cos β=
，
cos γ=
故
()()()(
)d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z s
P Q R s
∑∑
∑
αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
4．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2
d 22s xy x
x z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；
(3)
()d s x y z ∑
++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2
上z ≥h (0<h <a )的部分；
(4)
()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑
为锥面z =
被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部
分； (5)
()2
22d s R
x y ∑--⎰⎰，其中∑
为上半球面z =
解：（1）4
:423
z x y ∑=--
(如图10-69所示)
图10-69
d d d s x y x y ==
故
4d 4d d d d 23331
232
xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛
⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭
=
⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。

图10-70
d d 3d d s x y x y ==
故
()()()()2
233200
3
2
203320d 3d d 22223263d d 223263d (3)(1)(3)632273(3109)d .
4
xy
D x
s x y
xy x
x z xy x x y x y
xy x x y x x x x x x x x x ∑-=--+---+=---+=⎡⎤-+----⎣⎦=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
(3):z ∑=且其在xOy 面上的投影为D xy :x 2+y 2≤a 2-h 2且
d d d .s x y x y == 故
(
()d d xy
D x y z s x y x y ∑
++=++
⎰⎰⎰⎰
)(πd d 22D xy
h a a y x a -=⎰⎰
对称性
.
(4)22:2xy z D x y ax =
+≤
d d d s x y x y == 故
(
)(
)π2cos 22
2π0
2
π
42π2
π4
2554π2
π4
5420
()d d d (d d sin cos (cos sin )1
(2cos )d sin cos cos sin 4d sin cos cos sin cos 42
cos d 53xy
D a xy yz zx s x y
xy x y r r
r r a ∑θθ
θθθθθθ
θθθθθ
θθθθθθθ---⎡++=++⎣=⎡⎤++⎣⎦=⋅+=++==⋅⋅=⎰⎰⎰
⎰⎰
4.
(5)D xy :
x 2+y 2≤R 2
d d d
s x y x y ==
故
23d d ππ
xy
D s R x y R R R ∑
==⋅=⎰⎰⎰⎰
5．利用柱面坐标计算下列三重积分：
(1)
d z v Ω
⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =
22z x y =+所围成的闭区域； (2) 22()d x y v Ω
+⎰⎰⎰
,其中Ω是由曲面222x y z +=及平面z =2所围成的闭区域.
解：(1) 由z =及2
2
z x y =+消去得2
2
1x y +=,因而区域Ω在xOy 面上的投影区域为2
2
1x y +≤,如图10-48所示，在柱面坐标系下：Ω可表示为：
201, 02π, r r z θ≤≤≤≤≤≤故
2
2π1
d d d d r
z v r r z θΩ
=⎰⎰⎰
⎰⎰
1
2401
24601
2π(2)d 2
711ππ.
r 1246r r r r r r =--⎡
⎤==--⎢⎥⎣
⎦⎰
(2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，Ω可表示为
2
02π, 02, 22
r r z θ≤≤≤≤≤≤
故
22()d x y v Ω
+⎰⎰⎰
222π
2
2
30
2
2
3
54620
0d d d d d d 1112π(2)d 2π[]221216π.3
r r r r z r r z
r r r r r θθΩ
===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
6．在直角坐标系下计算三重积分： (1)23
d d d xy z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z = x y 与平面y = x , x =1和z =0所围成的闭区域；
(2)()
3
d d d 1x y z
x y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω为平面x = 0, y = 0, z = 0, x +y +z = 1所围成的四面体；
(3)
2d d d z x y z Ω
⎰⎰⎰，Ω是两个球：x 2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分；
(4)d d d xyz x y z Ω
⎰⎰⎰,其中Ω是由x = a (a >0), y = x , z = y , z = 0所围成； (5)e d d d y x y z Ω
⎰⎰⎰,其中Ω是由x 2+z 2-y 2=1, y =0, y =2所围成；
(6)
sin d d d y x x y z x Ω
⎰⎰⎰,其中Ω
是由π
0,2
y y x z ==+=所围成。

解：(1)积分区域Ω如图10-42所示。

图10-49
图10-42
Ω可表示为：
0100x y x z xy ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
112323230
41
1256000001120d d d d d d d d d 1d d d d 4411d .28364x xy x xy
xy
x
x xy z x y z x y xy z z x x y y z z
z x x y y x x y y
x x Ω==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(2)积分区域Ω如图10-43所示，Ω可表示为：
010101x y x
z x y ≤≤⎧⎪
≤≤-⎨⎪≤≤--⎩
图10-43
故
1113300011
1200
11200
11
0010d d d 1d d d (1)(1)1d d 2(1)11d d 2(1)811d 2(1)813115d ln 22(1)8828x x y x y
x
x x
x y z x y z
x y z x y z x y
x y z x y x y y x x y x x x Ω--------=++++++⎡⎤=⎢⎥-+++⎣⎦⎡⎤
-=⎢⎥++⎣⎦
⎡
⎤-=⎢
⎥-++⎣⎦⎡⎤⎛⎫
-+==- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)积分区域Ω如图10-44所示。

图10-44
由方程x 2+y 2+z 2=R 及x 2+y 2+z 2=2Rz 得两球的交线为：22
234
2
x y R R
z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,且平面2R z =把积
分区域Ω分为两部分，且积分区域Ω在z 轴上的投影区间为[0,R ],记过0,2R ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上任意一点z
的平行于xOy 面的平面与Ω相交的平面区域为D 1(z ),过,2R R ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上任意一点z 的平行于xOy 面的平面与Ω的相交的平面区域为D 2(z )，则
12122
2220
()
()
22
220()
()
222222202
3422420
2
22
45350d d d d d d d d d d d d d d d π(2)d π()d (2ππ)d (ππ)d ππππ2535R R
R D z D z R
R
R D z D z R R
R R R
R R
z x y z z z x y z z x y z z x y z z x y
z Rz z z z R z z
Rz z z R z z z
R R z z z z Ω=+=+=-+-=-+-⎡⎤⎡⎤
=+--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰52
59π480
R
R R =
⎥
(4)积分区域Ω如图10-45所示。

图10-45
Ω可表示为：000x a y x z y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
故
2
00
3566
00d d d d d d d d d d d 21111d d d .2848
48y
a
x y a x y a x
a
a
x
a z xyz x y z x y xyz z x x y y z z x x y y x x y y x x a x Ω===⋅====⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
(5)积分区域Ω如图10-46所示。

图10-46
Ω在y 轴上的投影区间为[0,2]，故
2
2
2
220()
2
2
2
2
22
20000
2e d d d e d d d e π(1)d π(e e )d πe d πe d πe ππ2πe d e 3π(e 1).
y y y y y D y y
y
y
y
x y z y x z y y y y
x y y y y y Ω==⋅+=+=+=-+-⎡⎤⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
(6) 积分区域Ω如图10-47所示。

图10-47
Ω
可表示为：π020π02
x y z x ⎧≤≤⎪⎪
≤≤⎨⎪
⎪≤≤-⎩
故
πππ
22200000π
ππ222000
sin sin sin πd d d d d d d d 2π1π1πsin d sin d sin d .424242x y x x x x y z x y y z x y y x x x x x x x x x x x x Ω
-⎫==-⎪⎝⎭
⎛⎫
==-=-- ⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
7．设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得
484,281
281
z x z z y x z x y z x ∂--∂-==∂+-∂+- 令
0,0,z z x y ∂∂==∂∂解得0,2
x y z ==-, 将它们代入原方程，解得16
2,7
x x =-=. 从而得驻点16(2,0),,07⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 2222
2222
(281)(48)4828(281)428,(281)
4(281)8
.
(281)
z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z
y
y
z x ∂∂⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭=
∂+-∂⎛⎫+ ⎪∂∂⎝⎭=∂∂++∂-+--∂∂=∂+-
在点（-2，0）处，44
1,,0,,1515
Z A B C ====B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在点16,07⎛⎫
⎪⎝⎭
处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-
==-B 2-AC <0，函数有极大值87z =-.
8．研究下列函数的极值： (1) z = x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2) z = e 2x (x +y 2+2y ); (3) z = (6x －x 2)(4y －y 2); (4) z = (x 2+y 2)22()
e
x y -+;
(5) z = xy (a －x －y ),a ≠0.
解：（1）解方程组2
2
360360
x
y z x x z y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6
在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0.
在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.
在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.
(2)解方程组22
2e (2241)02e (1)0
x x
x
y z x y y z y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩
得驻点为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x
yy z x y y z y z =+++=+=
在点1
,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
.
(3) 解方程组2
2
(62)(4)0
(6)(42)0
x y z x y y z x x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩ 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y ) Z yy =－2(6x －x 2)
在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.
在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组2
2
22()22()22
2e
(1)02e
(1)0x y x y x x y y x y -+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩
得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，
在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0， 故函数z 在点P 0处取得极小值z =0. 再讨论函数z =u e -
u
由
d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z
u
=得u =1, 当u >1时，
d 0d z u <；当u <1时，d 0d z
u
>, 由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有
22
22()1()e e x y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -
1
(5)解方程组(2)0
(2)0x y
z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩
得驻点为 12(0,0),,33a a P P ⎛⎫
⎪⎝⎭
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为 222222y
a x y H a x y x ---⎡
⎤
=⎢
⎥---⎣⎦ 于是 122033(),().0233a
a a H P H P a a a ⎡⎤--
⎢⎥⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-
-
⎢⎥⎣
⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，
H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3
,2733a
a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,
H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3
,27
33a
a a z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
9．求函数22221x y z a b ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的
方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为
2222220,x y b x
y y a b a y
''+==-
所以在点处切线斜率为
2.b y a a '
==-
法线斜率为cos a b
ϕ=.
于是tan sin ϕϕ==
∵
2222,,z z x y x a y b
∂∂=-=-∂∂
∴
2222z l
a b ⎛∂=-
-=
∂⎝
10．解：平面∏与曲面2
2
z x y =+在(1,2,5)-的切平面的法向量为
}{}{002,2,12,4,1n x y =-=--
从而平面∏的方程为：2450x y z ---=
又l 的方向向量为110(1)11
i j k
s i j a k a ==-++--
由0n s ⋅=求得5a =-
在l 上取一点，不妨取01x =求得00(1).53y b z b =-+=+ 由于000(,,)x y z 在平面∏上，代入平面方程中可求得2b =-.
11．指出曲面z = xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。

解：z x =y , z y =x .
曲面法向量为{}1,,1n y x =-. 已知平面法向量为{}21,2,1n =-. 且1n ∥2n ，故有
112
y x ==-- 解得x =2,y =-1,此时，z =-2.
即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为
212
121
x y z -++==
--. 切平面方程为
-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0
即 x -2y +z -2=0.
12．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
(1)22222
,2320,
z x y x y z ⎧=+⎪
⎨++=⎪⎩ 求：d d ,;d d y z x x (2)1,0,xu yv yu xv +=⎧⎨
-=⎩
求：,,,;u v u v x x y y ∂∂∂∂∂∂∂∂ (3)2
(,),
(,),
u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨
=-⎩ 其中f ,g 具有连续偏导数函数，求
,;u v x x
∂∂∂∂ (4)e sin ,
e cos ,
u
u
x u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求,,,.u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：(1)原方程组变为
22
222
2320y z x
y z x
⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得
d d 22d d d d 23d d y z y x x x
y z y z x x
x ⎧-=-⎪⎪⎨
⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z
-=
=+≠
21d 16(61)
,3d 622(31)22d 12.2d 6231
x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++
(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-
,,,,,,,,
x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-
22u v u
v
F F x y
J x y G G y x
==
=---
故 2
2
x
v
x v F F u y
G G v x u
ux yv x J J x y
--∂-+=-=-=∂+ 22
2222
,,.u
x
u x y
v
y v u y
u y F F x
u
G G y v v
vx uy x J J x y F F v
y
G G u x u vx uy y J J x y F F x v
G G y u v xu vy y J J x y -∂--=-=-=∂+-∂--=-=-=∂+∂-=-=-=∂+ (3)设(,,,)(,),F u v x y f ux v y u =+-
2(,,,)(,),G u v x y g u x v y v =--
则 121221121(1)(21),21u v u
v
F F xf f J xf yvg f g
G G g vyg ''-''''=
==---''- 故 121212211221
21(21),(1)(21)x
v x
v
uf f F F G G g yvg uf yvg f g u
x
J J xf yvg f g ''
'
'''''
-----∂=-=-
=∂''''---
111111112211(1)
.(1)(21)u x u
x
xf uf F F G G g g g xf uf v x
J
J
xf yvg f g ''-'
'
'''-+-∂=-=-
=
∂''''
---
(4)(,),(,)u u x y v v x y ==是已知函数的反函数，方程组两边对x 求导，得
1e sin cos ,0e cos (sin ),
u u u u v v u v x x x
u u v v u v x x x ∂∂∂⎧=++⎪⎪∂∂∂⎨
∂∂∂⎪=---⎪∂∂∂⎩
整理得 (e sin )cos 1,(e cos )sin 0,
u
u u v v u v x x
u v v u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩
解得
sin e (sin cos )1
u u v
x v v ∂=∂-+ cos e [e (sin cos )1]
u
u
v v x u v v ∂-=∂-+ 方程组两边对y 求导得
0e sin cos 1e cos sin u u u u v v u v y y y u u v v u v y y y ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪
⎨
∂∂∂⎪=-+⎪∂∂∂⎩
整理得 (e sin )cos 0(e cos )sin 1u
u u v v u v y y u v v u v y y ∂∂⎧++=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩
解得
cos sin ,.e (sin cos )[e (sin cos )1]
u u u u v v v e y v v y u v v ∂-∂+==∂-∂-+
13．设11,0F y z x y ⎛⎫
+
+= ⎪⎝⎭
确定了函数z = z (x ,y ),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.
解：12
122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--
⎪⎝⎭
1221221212221222
21222011111z y x z y z F F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F z
y
y F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫
''-=⋅+⋅ ⎪
⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''
-
''-∂=-=-=
∂''
14．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：
ππ(1)sin 20,1,1x x y y x y y =='''++===;
解：特征方程为 210r += 得 1,2r i =±
对应齐次方程通解为 12cos sin y c x c x =+ 令*
cos 2sin 2y A x B x =+代入原方程并整理得
3cos23sin 2sin 2A x B x x --=-
得 1
0,3A B ==
故通解为 121
cos sin sin 23
y c x c x x =++.
将初始条件代入上式得 11221121133c c c c -==-⎧⎧⎪⎪
⇒⎨⎨-+==-⎪⎪⎩⎩
故所求特解为 11cos sin sin 233
y x x x =--+.
200633
(2)109e ,,77
x x x y y y y y ==''''-+===.
解： 21090r r -+=
121,9r r ==
对应齐次方程通解为 912e e x x
y c c =+
令*2e x
y A =,代入原方程求得 17
A =- 则原方程通解为 29121e e e 7
x
x x y c c =-
++ 由初始条件可求得 1211,22
c c =
=
故所求特解为 9211(e e )e 27
x x x y =
+-.
15．求下列函数的全微分： (1)22
e
x y z +=;
(2)z =
;
(3)z
y u x =; (4)y
z u x =.
解：(1)∵
2222e 2,e 2x y x y z z
x y x y
++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴2
2
2222
d 2
e d 2e d 2e (d d )x y x y x y z x x y y x x y y +++=+=+
(2)
∵
22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛
⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭
2
2
23/2
()
z
x y
x y ∂==∂+ ∴ 223/2
d (d d ).()x
z y x x y x y =--+
(3)∵
11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y
--∂∂==⋅⋅∂∂ 2
ln ln y z u x x y y z
∂=⋅⋅⋅∂ ∴2
1
1d d ln d ln ln d .z z z
y y z y z u y x
x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅
(4)∵
1y
z u y x x z
-∂=∂ 1ln y
z u x x y z ∂=⋅⋅∂ ln y z u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭
∴121d d ln d ln d .y y y
z z
z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭
16．验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
17．判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x , y )|x ≠0}; (2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x , y )|y <x 2};
(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}.
解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x , y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}， 边界：{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x , y )|y ≤x 2}， 边界：{(x , y )| y =x 2}.
(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身， 边界：{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}.
18．试定出下列各题中直线与平面间的位置关系： （1）34273x y z
++==--和4x -2y -2z =3; （2）327
x y z ==-和3x -2y +7z =8; （3）
223
314
x y z -+-==
-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3} 平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以
(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n
于是直线与平面平行.
又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.
19．确定下列方程中的l 和m :
(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}
12232,18613
l m l m ⇒
==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}
12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n
20．设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.
解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为
122x y z
b b b
++= 又(1,2,-1)在平面上，则有
121122b b b
-++= 得b =2.
故所求平面方程为
1424
x y z ++=
21．求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n 故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=0
22．求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)
故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.
23．求直线2340
35210x y z x y z +--=⎧⎨
-++=⎩的标准式方程和参数方程.
解：所给直线的方向向量为
1231122
3
7195
2
2
3
35
--=⨯=
++
=----s n n i j k i j k
另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:
717
1719
x y z --==
-- 且直线的参数方程为：
771719x t y t z t =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
24．一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )
0{1,1,1}M M x y z =---
因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=. 即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0
整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.
25．已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC = 显然2AC AB =
则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 故A ，B ，C 三点共线.
26．解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则
13
BCD
V S
h =⋅⋅，
而11948222
BCD
S
BC BD i j k =
⨯=--+= 又
BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+= 则43
h ==
故1942323
V =
⋅⋅=
27．已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是
236
,,777
，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222
||(12)49PA x y z =++-=
得222
9524x y z z ++=-+
126570
cos 6, 749
z z γ=
=
⇒==
又122190
cos 2, 749
x x α=
=
⇒==
123285
cos 3, 749
y y β=
=
⇒==
故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （
190285570
,,
494949
）.
28．三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.
解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
||==R
cos cos cos αβγ=
==
29．设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：
232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c
30．设(),,()y
z xy xF u u F u x
=+=
为可导函数，证明： .z z x
y z xy x y
∂∂+=+∂∂ 证明:
2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫
''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭
1
()().z x xF u x F u y x
∂''=+⋅=+∂ 故
[]()()()()()()().
z z F u y x
y x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡
⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣
⎦''=+-++=++=+
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题
1．无
2．无
3．无
4．无
5．无
6．无
7．无
8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。