人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.1 第2课时 正弦定理的应用

自主预习 新知导学
正弦定理的应用
1.正弦定理:



=
=
= 2 .(R 为△ABC 外接圆的半径)
sin sin sin
2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型?
提示:(1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其中一边的对角解三角
形.
3.在△ABC中,已知B=30°,c=4,b=2,解此三角形.
(4)a=9,b=10,A=60°,无解.
解:(1)a=bsin A,有一解,故原说法错误.
(2)A>90°,a>b,有一解,说法正确.
(3)a<bsin A,无解,故原说法错误.
(4)b>a>bsin A,有两解,故原说法错误.
探究二
利用正弦定理证明恒等式
【例 2】 在△ABC
2 - 2
中,求证:
第九章
9.1.1 第2课时 正弦定理的应用
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题.
4.提升逻辑推理和数学运算素养.
cos2
− 2
=
1
2
−
1
.
2
探究三
正弦定理与三角函数的综合问题
【例 3】 在△ABC 中,已知 asin 2B= 3bsin A.
(1)求 B;
(2)若 cos
1
A= ,求
3
sin C 的值.
分析:(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为B的三角函数式求解;(2)
利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式求sin C的值.


解:(1)在△ABC 中,由sin = sin,
可得 asin B=bsin A.
又由 asin 2B= 3bsin A,
得 2asin Bcos B= 3bsin A= 3asin B,
3
所以 cos B= .
2
π
又因为 B∈(0,π),所以 B= .
6
1
2 2
(2)由 cos A= ,可得 sin A=
【变式训练 2】 在△ABC
cos2
中,求证: 2


证明:∵ sin = sin,
sin sin sin2 sin2
∴
=
,∴ 2 = 2 ,




1-cos2 1-cos2
∴
=
,
2
2


cos2 cos2
1
1
∴ 2 − 2 = 2 − 2 ,即原式得证.




cos +cos
+
2 - 2
cos +cos
+
2 - 2
=0.
cos +cos
分析:观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将
a2,b2,c2转化为sin2A,sin2B,sin2C.



证明:由sin = sin = sin=2R(R 为△ABC 外接圆半径),
(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
2
5
解:(1)由 cos A=3,得 sin A= 3 .
5
2
又因为 5cos C=sin B=sin(A+C)= cos C+ sin C,所以 tan C= 5.
3
3
π
(2)由 tan C= 5及 0<C<π,知 0<C< ,
2
30
6
再由 sin C+cos C=1,得 sin C=
的情况如下:
分类
A为锐角
A为钝角或直角
图形
①a=bsin A
关系式
②a≥b
解的情况 一解
bsin A<
a<b
两解
a<
a>b
bsin A
无解 一解
a≤b
无解
【变式训练1】 不解三角形,判断下列说法是否正确.
(1)a=7,b=14,A=30°,有两解;
(2)a=30,b=25,A=150°,有一解;
(3)a=6,b=9,A=45°,有两解;
则BC=3AD,DC=2AD,
所以 AC= 2 + 2 = 5AD.在△ABC 中,


5
3
由
=
,得
=
,
sin sin∠
sin∠
2
2
3 10
解得 sin∠BAC= 10 .
3.在△ABC 中,若 B=2A,a∶b=1∶ 3,则 A=
答案:30°
解析:由正弦定理得,a∶b=sin A∶sin B,
4
4
4
π π
π
∴B+4 = 2 ,∴B=4.


由正弦定理知sin = sin,
2
π
2×
2sin
sin
1
2
4
∴sin A= = 2 = 2 = 2,
π
又 a<b,∴A<B,∴A=6.
.
2
5.在△ABC 中,已知 cos A= ,sin B= 5cos C.
3
(1)求 tan C 的值;
D.无法确定
6 ,A=45°,则满足条件的三角形有
(
(2)在△ABC中,a=4,b= 4 2 ,A=45°,则三角形的解的个数是(
A.0 (2)B
)
)
2
解析:(1)∵bsin A= 6 ×
=
2
∴满足条件的三角形有 2 个.
2
(2)∵bsin A=4 2 × 2 =4=a,


解:在△ABC 中,由正弦定理知sin = sin,
sin
∴sin C=
=1,

∴C=90°,∴A=180°-90°-30°=60°,
∴a= 2 - 2 =
42 -22 =2 3.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“ ”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则a>b.(
因为 sin C<sin B,所以 C<B,可知 C 为锐角,
5 3
所以 cos C= 9 .
6 5 3
3
6 2 2
因此 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= 3 × 9 + 3 × 9 = 3 .


由
=
,
sin sin
2 2
sin
可得 a= sin = 3 =2 3c,
)
(2)在△ABC中,有sin A=cos(B+C).( × )
(3)在△ABC中,必有absin C=acsin B.(
)
2
(4)存在△ABC,使 A=30°,a= ,c=2.( × )
2
合作探究 释疑解惑
探究一
三角形解的个数
【例1】 (1)在△ABC中,已知a=2,b=
A.1个
B.2个
C.0个
sin
π
π
∵ 4 ≤B≤ 3,∴1≤tan B≤ 3,
∴2≤c≤ 3+1,即 c 的取值范围为[2, 3+1].
反思感悟
在解三角形时,常用正弦定理“化边为角”或“化角为边”,从而发现三角形中
各元素之间的关系,因此要理解并领悟转化与化归的数学思想,以便应用于
要解决的问题中.
【变式训练】 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为
,∴b= .
3
2
1
3
∵cos B+ 3sin B=2,即2cos B+ 2 sin B=1,
cos
a,b,c,若

.
+
π
∴sin + =1,
6
π
∴B= .设△ABC 外接圆的半径为 R,
3

则 2R=
=1,
sin
2π
3
3
∴a+c=2R(sin A+sin C)=1×[sin A+sin
- ]= sin A+ cos A
cos

=
2 3sin
,cos
3sin
B+ 3sin B=2,则 a+c 的取值范围是
3
答案: , 3
2
cos cos 2 3sin
解析:∵ + = 3sin ,
2 3sin 2 3
∴ccos B+bcos C=
=
,
3sin
3
2 3sin
3
∴sin(B+C)=
sin
1
3
所以
= ,则 cos A= ,所以 A=30°.
sin2
2
3
.
4.在△ABC 中,若 a= 2,b=2,sin B+cos B= 2,则 A=
π
答案:6
π
解析:∵sin B+cos B= 2sin + 4 = 2,
π
∴sin + =1,
4
π
π 5π
又 0<B<π,∴ <B+ < ,
3
2
2
π
= 3sin + 6 .
π
∵△ABC 为锐角三角形,B=3,
π
π π
π 2π
∴ 6<A<2,∴ 3<A+6 < 3 ,
3
π
3
∴ 2 < 3sin + 6 ≤ 3,∴ 2<a+c≤ 3.
随堂练习
1.已知△ABC中,b=30,c=15,C=26°,则此三角形解的情况是(
A.有一解
B.有两解
【变式训练3】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
3
6
cos B= ,sin(A+B)= ,ac=2 3,求 sin A 和 c 的值.
3
9
3
解:在△ABC 中,由 cos B= ,
3
6
得 sin B= 3 ,因为 A+B+C=π,
6
所以 sin C=sin(A+B)= 9 .
6
9
已知 ac=2 3,所以 c=1.
【思想方法】
【典例】在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 asin C= 3ccos A.
(1)求角 A;
(2)若
π
b=2,且
4
≤B≤
π
,求
3
c 的取值范围.
分析:(1) 由正弦定理,将边化为角,代入整理可得tan A,进而求得A的大小;(2)
由于已知b与B的范围,结合(1)将c用tan B表示,再求c的取值范围.


sin
sin
解:(1)由题意得,
=
⇔
=
=1,∴tan A= 3.
sin
sin
3cos
3cos
π
∵0<A<π,∴A= .
3
π
(2)∵b=2,A=3,
2π-
2sin
2sin
3cos
3
3
∴c= sin =
= sin +1=tan+1,
.
3
3
π
3
1
2 6+1
则 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin + 6 = 2 sin A+2cos A= 6 .
反思感悟
正弦定理与三角函数相结合的综合问题主要涉及正弦定理与三角恒等变
换的综合,先利用正弦定理求得相关角(或其正弦值),再利用同角三角函数
的基本关系式与和、差、倍、半角等公式求解其他问题.
,cos C= ,
6
6
2
2
30
由已知得 sin B= 5cos C= 6 .
sin
由正弦定理,得 c=
=
sin
2× 30
6 =
5
3
1
1
所以△ABC 的面积 S=2acsin B=2 ×
3.
2×
30
5
3× 6 = 2.
本 课 结 束
C.无解
D.无法确定
答案:B
解析:∵b=30,c=15,C=26°,∴c>bsin C,
又c<b,
∴此三角形有两解.
)
π
1
2.在△ABC 中,B=4,BC 边上的高等于3BC,则 sin∠BAC=(
3 10
A. 10
10
B. 10
10
C.- 10
3 10
D.- 10
答案:A
)
解析:如图,设BC边上的高线为AD,
2
2
-
42 sin2 -42 sin2
得cos+cos =
cos+cos
42 [(1-cos2 )-(1-cos2 )]
=
cos+cos
42 (cos2 -cos2 )
= cos+cos =4R2(cos B-cos A).
2
-2
同理,cos+cos=4R2(cos C-cos B),
2 -2
=4R2(cos A-cos C).
cos+cos
所以,原式左边=4R2(cos B-cos A+cos C-cos B+cos A-cos C)=0=右边.所以
等式成立.
反思感悟
利用正弦定理证明恒等式,既要用到三角形中特有的恒等变形公式,又要用
到任意角的三角函数恒等变形公式,两者结合起来,灵活运用.
∴三角形解的个数为 1.
3,∴bsin A<a<b.
延伸探究
本例(2)变为:在△ABC中,a=x,b= 4 2 ,A=45°,若三角形有两解,求x的取值
范围.
2
解:∵bsin A=4 2 × =4,
2
∴当 4<a<4 2时,三角形有两解,即 x∈(4,4 2).
反思感悟
已知三角形两边和其中一边的对角,求三角形解的个数.若已知a,b及角A,解