二项式模型

两状态方法的推广
首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票都只有两个可能的价值。

这里我们假定股价将增长10%或者将下降5%，股票的初始价格为每股100美元，在一年中价格可能的路径为：
中间价为104.50美元，可通过两条路径获得：先增加10%，再降低5%；或者先降低5%再增加10%。

现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。

使用类似前面采用的方法，我们可以从C++与C+-得到C+，然后从C-+与C--得到C-，最后再从C+与C-得到C。

而且也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来可以把一年分成四个3个月，或者12个1个月，或者365天，每一个时间段都假定是一个两状态过程。

虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。

当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。

这可以从对一段时间内有三个间隔的股票事件树的分析中看出：
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。

其次，注意最后事件，像S+++或者S---是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。

中间范围的，像S++-能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S++-。

因此，中等范围的价
值的可能性会更大一些。

用二项式分布可以将每个结果都描述出来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial model）。

例如，初始股票价格为100美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股票价格可能增加5%而减少3%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。

三时期内股票价格的变动有八种组合：+++，++-，+-+，-++，+--，-+-，--+，---。

每个都有1/8的可能性。

因此，股价在最后期末的概率分布为：
中间价值发生的可能性是两端价值发生可能性的3倍。

下图a)是这个例子的频率分布。

该图接近于钟形曲线。

实际上，当时间间隔数量增加时，如下图b)所示，频率分布更接近于对数正态分布，而非标准正态分布。

图概率分布
注：a)三个时期后股票价格可能的结果及其概率。

初始股票价格为100美元，在每个时期，股票价格或上涨5%，或下跌3%；b)每个时期又分为两个间隔。

在六个时期内，股票价格或上涨2.5%，或下跌1.5%。

随着期间数的增加，股票价格分布接近钟型分布。

假定我们将股票价格上下变动的时间间隔继续分小，最后事件树的每个节点对应着无限小的时间间隔，那么在这些时间间隔内股票价格的变动也相应地非常小。

随着时间间隔的增加，
最后的股票价格将越来越接近对数正态分布。

那么两状态模型过于简单化的缺点就可以通过时间间隔的进一步细分来克服。

在任何一个节点，都可以建立一个资产组合来对下一个时间间隔的风险进行套期保值。

接着，在下一个时间间隔末，在到达下一个节点上，又可以重新计算套期保值率，对资产组合的构成进行更新。

通过不断改变套期保值头寸，资产组合可以总保持在风险对冲的状态，在每个间隔都获得无风险收益。

这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。

动态套期保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。