甘肃省白银市会宁四中2025届高三数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

甘肃省白银市会宁四中2025届高三数学第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）
A ．{}a A ⊆
B ．a A ⊆
C ．{}a A ∈
D ．a A ∉
2．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
3．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）
A ．3
2cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
B ．2cos 4x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
C ．2cos 24x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．3
2cos 2
4x π⎛⎫-
⎪⎝⎭
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
5．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．
的是
A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段
B ．平面DMN ⊥平面11BC
C B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值
D ．DMN ∆可能为直角三角形
6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A ．
2550100,,777
B ．
252550,,1477
C ．
100200400,,777 D ．50100200
,,777
7．数列{}n a 满足：3111
,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．
10
21
B ．2021
C ．919
D ．1819
8．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）∪（1，e ）
B ．10e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C ．11e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
D ．（0，1）
9．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．
72
B ．
5319
C ．2319
-
D ．12
-
10．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222
111()324
f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫π
⎪⎝⎭
11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )
A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =
B ．直线1A E 与直线1
C F 共面，且2
3m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =
D ．直线1A
E 与直线1C
F 共面，且3m = 12．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）
A ．甲的数据分析素养高于乙
B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．乙的六大素养中逻辑推理最差
D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若存在实数k b ，使得不等式()()f x kx b g x ≤+≤在某区间上恒成立，则称()f x 与()g x 为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）
①0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，()sin f x x =，()tan g x x =； ②[1,)x ∈+∞，()21f x x =
-()21g x x =+
③R x ∈，()22f x x =+，()x x
g x e e -=+；
④(0,)x ∈+∞，()1
f x x x
=-
，()2ln g x x x =. 14．棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为______.
15．已知复数(
)
2
2(1)z m m i =-+-对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为______. 16．（5分）已知x 为实数，向量(2,1)a =-，(1,)b x =，且a b ⊥，则|2|a b +=____________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)(a≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 11
1,2,1,AC BC AB BC BC ====⊥平面ABC .
（1）证明：平面11A ACC ⊥平面11BCC B （2）求二面角1A B B C --的余弦值.
19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，//MD 平面PAC ，平面PAB ⊥平面PMC ，CPM ∆为锐角三角形，求证：
（1）D 是PB 的中点； （2）平面ABC ⊥平面PMC . 20．（12分）已知函数31()sin 3cos 2f x b x a b x ⎫⎛⎫
=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，且π(0)1,13f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式；
（2）已知2()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，
求m 的取值范围.
21．（12分）已知函数()sin ln 1f x x x =+-．
（Ⅰ）求()f x 在点,22f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； （Ⅱ）求证：()f x 在(0,)π上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数()f x 在(0,2)π上的零点个数．
22．（10分）已知0a >，函数()()2
ln 12
x x f x x a x =+--.
（Ⅰ）若()f x 在区间,2a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，求a 的值； （Ⅱ）若()Z,0a f x ∈>恒成立，求a 的最大值.（参考数据：1
2 1.6e ≈）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解
【详解】
由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆
故选：D 【点睛】
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2、B 【解析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 3、D 【解析】
由图象求出A 以及函数()y f x =的最小正周期T 的值，利用周期公式可求得ω的值，然后将点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式. 【详解】
由图象可得2A =，函数()y f x =的最小正周期为542663T πππ
⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭
，232T πω∴==. 将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数
()y f x =的解析式得32cos 2626f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 14πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，34
4
4π
π
πϕ∴-
<+
<
，则04πϕ+=，4
π
ϕ∴=-， 因此，()32cos 24x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4、A 【解析】
由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的
四棱锥的体积
由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈
立方尺．
故选A ．
【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 5、D 【解析】
A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；
B 项利用线面垂直的判定定理；
C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】
A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；
B 项，如图：
当M 、
N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；
C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；
D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题. 6、D 【解析】
设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】
设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则
1(1a q +)
250q +=,故1250501227a =
=++,21
10027
a a ==,2
3120027a a ==. 故选:D. 【点睛】
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 7、A 【解析】
分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知
111
2n n a a +-=，进而可知121
n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴
111
2n n
a a +-=， 又∵3
1
a =5，
∴
()311
2n 32n 1n a a =+-=-，即121
n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫
=
-=- ⎪-+⎝⎭
，
∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111
111110112335
192122121
⎛⎫⎛⎫-+-++
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝
⎭；
（2）
1
k
=
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣
⎦
；此外，需注意裂项
之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 8
、D 【解析】
原问题转化为221x
x a a -=有四个不同的实根，换元处理令
t =，对g （t ）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点
个数讨论. 【详解】
由题意，a ＞2，令
t =
， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
⇔22
1x x a a =
⇔2
21t =
⇔210lnt t t ⎫
--=⎪⎭
． 记g （t
）21lnt t t ⎫=-⎪⎭
．
当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t
）t 1t
-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则2
10lnt t t ⎫-=⎪⎭
2
21tlnt t =-， 记h （t ）2
21
tlnt
t =
-（t ＞2且t ≠2）， 则h ′（t ）()()
(
)
22
2222222
12122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫
-+- ⎪+--+⎝⎭==
--．
令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()
22222222
21211(1)(1)(1)
t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）221
1
t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h ′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222
112
t t tlnt lnt lim
lim t →→+==-
1，即a ＜2．
∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题. 9、D 【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ131819d
d
-=
+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d
19d
-=+，
∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -=
=-+215
19d
++是减函数，
∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181
192
-=
=-+． 故选D ． 【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10、C 【解析】
求出导函数()f x '
，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结
论． 【详解】
()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221
()4
f x x bx a c ac '∴=+++-.
若()f x 存在极值，则()
222
1404
b a
c ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<
又2221
cos ,cos 22
a c
b B B a
c +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π．
故选：C ． 【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 11、B 【解析】
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC ，
再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用
余弦定理求解. 【详解】 如图所示：
连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC ，
所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得1
1AB C D ，
所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.
设12AA =，则AB =122AA =，则5DF =13C F 16C D = 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236
=⨯⨯故选：B 【点睛】
本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题. 12、D 【解析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】
对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.
对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②④ 【解析】
由题意可知，若要存在+kx b 使得()()f x kx b g x ≤+≤成立，我们可考虑两函数()(),f x g x 是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特
x > 【详解】 ①0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，令()0sin f x x x =-，则()01cos 0f x x '=-≥，()0f x 单调递增， ()()00f x f x ≥=，即sin x x ≥.令()0tan g x x x =-，则()021
cos g x x x
'
=-
，()0g x 单调递减，()()00g x g x ≤=，即tan x x ≤，因此sin tan x x x ≤≤，满足题意.
②[1,)x ∈+∞x >.
③注意到()()002f g ==，因此如果存在直线y kx b =+，只有可能是()f x （或()g x ）在0x =处的切线，
()()
200f x x f '==，，因此切线为2y =，易知()2g x ≥，()2f x ≥，因此不存在直线y kx b =+满足题意. ④(0,)x ∈+∞时，注意到()()110f g ==，因此如果存在直线y kx b =+，只有可能是()g x （或()f x ）在1x =处的切线，()()2ln 212g x x g ''=+=，，因此切线为22y x =-. 令()()0122f x x x x =-
--，则()021
1f x x
'=-，易知()0f x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()()0010f x f ≤=，即1
22x x x
-≤-.
令()()02ln 22g x x x x =--，则()02ln g x x '=，易知()0g x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()0010g x g ≥=，即2ln 22x x x ≥-. 因此1
222ln x x x x x
-
≤-≤，满足题意. 故答案为：①②④ 【点睛】
本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题
14、
12
a
【解析】
由棱长为a 的正四面体ABCD 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥E BCD -的高及侧棱长，可得正三棱锥
E BCD -的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积13
V S R =⋅'表面积，求出内
切圆的半径． 【详解】 由题意可知：
多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球 作AE ⊥面BCD 交于F ，连接CF ，如图
则233
323
CF a =
=，且AE 为外接球的直径，可得 222236(
)33
AF AC CF a a a =-=-=，
设三角形BCD 的外接圆的半径为r ，则
2sin 603
BC r =
=
︒，解得3
r = 设外接球的半径为R ，则222
()R r AF R =+-可得222AF R r AF =+， 即22
662
339
a a a R =+
，解得6R =， 设正三棱锥E BCD -的高为h ， 因为62AE R ==
，所以666
2h EF R AF a ==-==， 所以22112
632
BE CE DE EF CF a a a ===+=
+=， 而BD BC CD a ===，
所以正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两相互垂直，
所以2221
()332]E BCD BCD BDE S S S a -∆∆=+=+⋅⋅=⋅表面积， 设内切球的半径为R '，11
()33
E BDC BCD E BCD V S E
F S R -∆-=⋅=⋅⋅'表面积，
即
2213613334634a a a R +'=解得：R '=．
.
【点睛】
本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.
15、 【解析】
由复数2(2)(1)z m m i =-+-对应的点2(2m -，1m -)在第二象限，得220m -<，且10m ->，从而求出实数m 的范围． 【详解】
解：∵复数(
)
2
2(1)z m m i =-+-对应的点(
)
2
2,1m m --位于第二象限，∴220m -<，且10m ->，
∴1m <<
，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式220m -<，且10m -> 是解题的关键，属于基础题． 16、5 【解析】
由(2,1)a =-，(1,)b x =，且a b ⊥，得20⋅=-=x a b ，解得2x =，则22(2,1)(1,2)(5,0)+=-+=a b ，则
|2|5+==a b ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、
1
2≤x≤52
【解析】
由题知，|x －1|＋|x －2|≤
a b a b
a
－＋＋恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于
a b a b
a
－＋＋的最小值．
∵|a ＋b|＋|a －b|≥|a ＋b ＋a －b|＝2|a|，当且仅当(a ＋b)·(a －b)≥0时取等号， ∴
a b a b
a
－＋＋的最小值等于2.
∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得
1
2≤x≤52
. 18、（1）证明见解析 （2）3
3
【解析】
（1）证明AC ⊥平面11BCC B 即平面11A ACC ⊥平面11BCC B 得证；（2）分别以1,,CA CB B C 所在直线为x 轴，y 轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，再利用向量方法求二面角1A B B C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C AC ⊥ 因为1,2AC BC AB ===.所以222AC BC AB +=.即AC BC ⊥
又1BC
B C C =.所以AC ⊥平面11BCC B
因为AC ⊂平面11A ACC .所以平面11A ACC ⊥平面11BCC B
（2）解：由题可得1,,B C CA CB 两两垂直，所以分别以1,,CA CB B C 所在直线为x 轴，y 轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则1(1,0,0),(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B B ，所以1(0,1,1),(1,1,0)BB AB =-=- 设平面1ABB 的一个法向量为(,,)m x y z =，
由10,0m BB m AB ⋅=⋅=.得0
0y z x y -+=⎧⎨
-+=⎩
令1x =，得(1,1,1)m =
又CA ⊥平面1CBB ，所以平面1CBB 的一个法向量为CA (1,0,0)=.
cos ,
m CA 〈〉=
=
所以二面角1A B B C --【点睛】
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19、（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】
（1）推导出//MD PA ，由M 是AB 的中点，能证明D 是BP 有中点．
（2）作CN PM ⊥于点N ，推导出CN ⊥平面PAB ，从而CN AB ⊥，由AB PC ⊥，能证明AB ⊥平面PMC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PMC ． 【详解】
证明：（1）在三棱锥P ABC -中，
//MD 平面PAC ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，
MD ⊂平面PAB ，
//MD PA ∴，
在PAB ∆中，M 是AB 的中点，D ∴是BP 有中点．
（2）在三棱锥P ABC -中，CPM ∆是锐角三角形，
∴在CPM ∆中，可作CN PM ⊥于点N ，
平面PAB ⊥平面PMC ，平面PAB ⋂平面PMC PM =，
CN ⊂平面PMC ，CN ∴⊥平面PAB ，
AB ⊂平面PAB ，CN AB ∴⊥，
AB PC ⊥，CN
PC C =，
AB ∴⊥平面PMC ，
AB ⊂平面CAB ，∴平面ABC ⊥平面PMC ．
【点睛】
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 20、（1）π()2sin 6f x x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
；（2）(]1,3 【解析】
（1）由π(0)1,13f f ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
,可求出,a b 的值,进而可求得()f x 的解析式; （2）分别求得()f x 和()g x 的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出m 的取值范围. 【详解】
（1）因为π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以1(0)312π331131322f a b f b a b ⎧
==-⎪⎪
⎨
⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩, 解得3
1,a b ==
故3313()sin cos 22f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭⎝⎭
π3cos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）因为[0,π]x ∈,所以ππ5π,666x ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin ,162x ⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-, 2()23g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.
因为14,2m x m <≤-≤≤,所以min max ()(1)4,()(2)5g x g m g x g m ==-=-=+,
则144152m m m <≤⎧⎪
-≤-⎨⎪+≥⎩
,解得13m <≤,故m 的取值范围是(]1,3. 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 21、（Ⅰ）2
ln
12
y x π
π
=+-；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点．
【解析】
（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；
（Ⅱ）二次求导，判断()f x '
单调递减，结合零点存在性定理，判断即可； （Ⅲ）ln 1sin x x =-，数形结合得出结论． 【详解】
解：（Ⅰ）1()cos f x x x '=+，()1ln 1ln 222f πππ=+-=，2
()2f ππ
'=， 故()f x 在点(
2π，())2f π处的切线方程为2ln ()22
y x ππ
π-=-， 即2ln 12
y x π
π=+-；
（Ⅱ）证明：1
()cos f x x x
'=+，(0,)x π∈，
21
()sin 0f x x x
''=--<，故()f x '在(0,)π递减，
又2()02f ππ'=>，1
()10f ππ
'=-+<，
由零点存在性定理，存在唯一一个零点(
,)2
m π
π∈，1
()cos 0f m m m
'=+
=， 当(0,)x m ∈时，()f x 递增；当(,)x m π∈时，()f x 递减， 故()f x 在(0,)π只有唯一的一个极大值； （Ⅲ）函数()f x 在(0,2)π有3个零点． 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题． 22、（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）3. 【解析】
（Ⅰ）先求导，得()ln 1f x x x a '=++-，已知导函数单调递增，又()f x 在区间,2a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，故
ln 10222a a a f ⎛⎫
'=-+≥ ⎪⎝⎭
，令()ln 122a a g a =-+，求得()22a g a a -'=，讨论得()()20g a g ≤=，而()0g a ≥，故()0g a =，
进而得解；
（Ⅱ）可通过必要性探路，当2x =时，由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max 3a =，当()()2
3ln 312
x a f x x x x ==+--，，()ln 2f x x x '=+-，结合零点存在定理可判断必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，
得00ln 2x x =-，()()()200000min ln 312x f x f x x x x ==+--，化简得()20
0min 32
x f x x =--，再由二次函数性质即可求证；
【详解】
（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,ln 1f x x x a '+∞=++-，.
易知()f x '单调递增，由题意有ln 10222a a a f ⎛⎫
'=-+≥ ⎪⎝⎭
.
令()ln
122a a g a =-+，则()22a
g a a
-'=. 令()0g a '=得2a =.
所以当02a <<时，()()0g a g a '>，单调递增；当2a >时，()()0g a g a '<，单调递减. 所以()()20g a g ≤=，而又有()0g a ≥，因此()0g a =，所以2a =. （Ⅱ）由()22ln 220f a =+->知2ln224a <+<，又由于Z a ∈，则max 3a =. 下面证明3a =符合条件.
若()()2
3ln 312
x a f x x x x ==+--，.所以()ln 2f x x x '=+-.
易知()f x '单调递增，而()110f '=-<，()1.60.5 1.620.10f '≈+-=>， 因此必存在()01,1.6x ∈使得()00f x '=，即00ln 2x x =-. 且当()00,x x ∈时，()()0f x f x '<，单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 则()()()20
0000min
ln 312
x f x f x x x x ==+--
()()222
000000 1.623133 1.60.120222
x x x x x x =-+--=-->--=>.
综上，a 的最大值为3. 【点睛】
本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题。