《一元二次方程》单元综合测精彩试题(卷)含问题详解

第一章一元二次方程单元综合测试题
一、填空题(每题2分，共20分)
1方程(x —3) =5 (x —3)的根是
2
2•下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________ .
2 2 1
(1) 2y+y—仁0; (2) x (2x—1) =2x ; (3) £ —2x=1;
x
2 1 2
(4) ax+bx+c=0; (5) - x =0.
2
3. 把方程(1 —2x) (1+2x) =2x2—1化为一元二次方程的一般形式为 ______
4. 如果丄—-—8=0,则3的值是 ______________ .
x x x
5. 关于x的方程(m—1) x2+ (m- 1) x+2m-仁0是一元二次方程的条件是
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
16•三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2—6x+8=0的解，？则这个三角形的周长是().
A . 8
B . 8 或10
C . 10
D . 8 和10
三、用适当的方法解方程(每小题4分，共16分)
2 6
12. 若分式冷匚-6的值为0,则x的值为().
6. 关于x的一元二次方程x2—x —3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取
值围是定 ______________ .
7. x2—5 | x | +4=0的所有实数根的和是______ .
8. 方程x4—5X2+6=0,设y=x2,则原方程变形___________
原方程的根为_________ .
9. __________________________________________ 以一1为一根的一元二次方程可为_______________________________________ (写一个即可).
10. 代数式1x2+8x+5的最小值是
2
二、选择题(每题3分，共18分)
11. 若方程(a—b) x2+ (b —c) x+ (c—a) =0是关于x的一元二次方程，则必有().
A. a=b=c B .一根为1 C .一根为—1 D .以上都不对
17. (1) 2 (x+2) 2—8=0; (2) x (x —3) =x;
(4) (x+3) 2+3 (x+3)—4=0.
(3) . 3x2=6x—3 ；
四、解答题(18, 19, 20, 21题每题7分，22, 23题各9分，共46分)
18 .如果x2—10x+y2—16y+89=0,求-的值.
y
19 .阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4—5X2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y,那么x4=y2，于是原方程可变为y2—5y+4=0①，解得y1=1, y2=4 .
当y=1 时，x =1 ,.•• x=± 1;
当y=4 时，X2=4,「. x=± 2;
二原方程有四个根：X1=1, X2=—1, X3=2, X4= — 2 .
(1) ____________________________________________ 在由原方程得到方程①的过程中，利用____________________________________ 达到__________ 的目的，？体现了数学的转化思想.
(2)解方程(x2+x) 2— 4 (x2+x)—12=0.
20. 如图，是市统计局公布的2000〜2003年全社会用电量的折线统计图.
(1)填写统计表：
2000〜2003年市全社会用电量统计表：
(2
)根据市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率(保留两个有效数字).
21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元.为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件.
(1)若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多.
22. 设a，b，c是厶ABC的三条边，关于x的方程丄x2+-_bx+c—- a=0有两个
2 2
相等的实数根，？方程3cx+2b=2a的根为x=0.
(1)试判断△ ABC的形状.
(2)若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值.
24、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，A 吐16cm, BC= 6cm 动点P 、Q 分 别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止； 点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?
25、如图，在△ ABC 中，/ B = 90°, BO 12cm A 吐6cm,点P 从点A 开始沿
AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动(不与B 点重合)，动直线QD 从AB 开始以2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC AC 交于Q D 点，连结DP 设动点P 与动 直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，
(1)试判断四边形BPDQ1什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以1cm/s ，
则四边形BPDQS 会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？
(2)求t 为何值时，四边形BPDQ 勺面积最大，最大面积是多少?
答案： 1. X 1=3， X 2=10 2.
(5) 点拨：准确掌握一元二次方程的定义： 即含一个未知数，
未知数的最高次数是 2,
整式方程.
2
3. 6x — 2=0
1
4. 4 — 2点拨：把丄看做一个整体.
X
C
5. mr^± 1
1
6. m>—点拨：理解定义是关键.
12
7. 0点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想.
& y2—5y+6=0 x 1=、. 2 , X2=—、、2 , X3= , X4=—. 3
9. x2—x=0 (答案不唯一)
10. —27
11. D点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0.
12. A点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键.
13. B点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的
属性.
14. C点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键.
15. D点拨：本题的关键是整体思想的运用.
16. C点拨：？本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用.
17. ( 1)整理得(x+2) 2=4,即(x+2) =± 2, ••• X1=0, X2= —4
(2)x (x—3)—x=0, x (x—3—1) =0, x (x —4) =0, • X1=0, X2=4.
(3)得,3 x2+ . 3 —6x=0, x2—2 3 x+1=0,由求根公式得X1=・._3 + ・..2 , X2=、3 —、、2 .
2
(4 )设x+3=y，原式可变为y+3y —4=0,解得y1=—4, y2=1,
即x+3= —4, x=—7.由x+3=1，得x= —2.「.原方程的解为X1=—7, X2= —2.
_ 2 2 2 2
18 .由已知x —10x+y —16y+89=0，得(x —5) + ( y—8) =0, • x=5 , y=8,
19. ( 1)换元降次
(2)设x2+x=y，原方程可化为y2—4y —12=0，解得y1=6, y2=—2.
由x2+x=6，得X1= —3, X2=2.由x2+x= —2,得方程x2+x+2=0,
b 2—4ac=1 — 4 X 2=—7<0，此时方程无解. 所以原方程的解为X1=—3, X2=2.
20. (1)
(2)设2001年至2003年平均每年增长率为x，贝U 2001年用电量为14.73亿kW・h,
2
2002 年为14.73 (1+x)亿kW- h, 2003 年为14.73 (1+x) 亿kW- h.
则可列方程：14.73 ( 1+x) =21.92 , 1+x= ± 1.22 , /• X1 =0.22=22%, X2=— 2.22 (舍去).
则2001〜2003年年平均增长率的百分率为22%
21. ( 1)设每件应降价x元，由题意可列方程为(40 —x) - ( 30+2x) =1200,
解得X1=0, X2=25,当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件. 根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意. 故每件衬衫应降价25元.
(2)设商场每天盈利为W元.
2 2 2
W= (40—x) ( 30+2x) =—2x +50x+1200=—2 (x —25x) +1200= —2 (x —12.5 ) +1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元.
1 2 L 1
22. T — x +'、b x+c —a=0有两个相等的实数根，
2 2
判别式= (•.?b ) 2—4x —(c —— a) =0,
2 2
整理得a+b—2c=0 ①，又T 3cx+2b=2a 的根为x=0,. a=b ②.
把②代入①得a=c,. a=b=c,.A ABC为等边三角形.
(2) a, b是方程x2+mx— 3m=0的两个根，
2 2
所以m—4x(—3m) =0, 即卩m+12m=Q . m=0, m>= —12.
当m=0时，原方程的解为x=0 (不符合题意，舍去)，
.m=12
x 3x 2
A . 3 或—2
B . 3
C . —2
D . —3 或2
13 .已知(x2+y2+1) (x2+y2+3) =8,则x2+y2的值为().
A . —5或1
B .1
C .5
D . 5 或—1
14 .已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和—3,则x2—px+q可分解为().
A . (x+2) (x+3)
B . (x —2) (x —3)
C . (x—2) (x+3)
D . (x+2) (x—3)
15 已知a,B 是方程x +2006x+1=0 的两个根，则(1+2008 a +a ) (1+2008 P +
B 2)的值为().。