精选 3 余弦定理、正弦定理的应用完整教学课件PPT
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【训练 3】 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
45 km后，看见灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离是( )
A.15 3 km
B.30 km
C.15 km
解析 设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C
D.15 2 km
处，如下图.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
题型探究
题型三 【例 3】
角度问题
明确方向角及方位角的概念，准确作出图形是解决此类问题的关键 某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)
海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某
一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1)小时后开始影响
＝（30
52）×23＋0 （5×2020101）02－502＝6
6 000 000
＝ 2
22，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 45°
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
情景引入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英 尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年 测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一顶峰，位 于东经86.9°，北纬27.9°. 问题 8 848.13米——这个珠峰原“身高〞是如何测定的？ 提示 对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议， 简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
题型探究
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，那么AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
题型探究
规律方法 求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角 形的边长问题，根本方法是： (1)分清仰角和俯角，根据和所求，正确作出图形； (2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
题型探究
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
6＋ 2
2 .
在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
∴AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°
＝5＋ 3－(3 2＋ 6)(cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°)＝5，
∴AB＝ 5.故两目标 A，B 间的距离为 5千米.
知识梳理
2.相关术语 特别注意方位角、方向角、仰角、俯角等有关概念的实质 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线___上__方__时叫仰角，目标视线在水平视线 __下__方___时叫俯角，如下图. (2)方位角 指从__正__北__方__向___顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为α(如图1所示).
知识梳理
(3)方位角的其他表示——方向角 ①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正 南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向. ②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
知识梳理
3.解三角形应用题 (1)解题思路
知识梳理
(2)根本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的根本步骤如下： ①分析：理解题意，弄清与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； ②建模：根据条件与求解目标，把量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立 一个解三角形的数学模型. ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
题型探究
解 在△ACD 中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝ 3.
在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，
在△CBD中，由正弦定理得
BC＝
s3isnin607°5°＝2sin(30°＋45°)＝2sin 30°cos 45°＋2cos 30°sin 45°＝
答案 D
检测反响
2.海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A
岛成75°的视角，那么B，C间的距离是( )
A.10 3 n mile
10 6 B. 3 n mile
C.5 2 n mile
D.5 6 n mile
解析 依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10， 那么C＝180°－A－B＝45°， 由正弦定理得，BC＝ABsi·nsiCn A＝10s×insi4n5°60°＝5 6. 答案 D
检测反响
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
50 m，BD为水平面，那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD
的张角为________. 解析 依题意可得 AD＝20 10，AC＝30 5，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得 cos ∠CAD＝AC2＋2AACD·C2－DCD2
基地持续 2 小时，求台风移动的方向. 解 如下图，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心
为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，那么B，C，D在同一
直线上，且AD＝20(海里)，AC＝20(海里). 由题意 AB＝20( 3＋1)(海里)，DC＝20 2(海里)， BC＝( 3＋1)·10 2＝10( 6＋ 2)(海里).
2
PART ONE
题型探究
题型探究
题型一 距离问题
【例 1】 如图所示，隔河看两目标 A，B，但不能到达，在岸边选 取相距 3千米的 C，D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D 在同一平面内)，求两
目标A，B之间的距离. 在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解
题型探究
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC
中，由余弦定理得
cos
∠BAC＝AC2＋2AACB·A2－B BC2＝
3 2.
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
题型探究
规律方法 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的 边长问题，根本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的和未知的边和角，利用正、余弦 定理求解.
题型探究
【训练1】 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行
3
PART ONE
检测反响
检测反响
1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m，A＝30°，那么其跨度AB的长为( )
A.12 m
B.8 m
C.2 3 m
D.4 3 m
解析 在△ABC中，可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.
所以由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝42＋42－2×4×4×－12＝48， ∴AB＝4 3(m).
题型探究
【训练2】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的 仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝ 60°，山高BC＝100 m，那么山高MN＝________. 解析 由题意可知 AB＝BC＝100 m，所以 AC＝100 2 m，在△ACM 中，由正弦 定理得 AM＝sinAC45°·sin 60°＝100 3 m，所以 MN＝AMsin 60°＝100 3× 23＝150 m. 答案 150 m
在△ABC 中，由正弦定理，可得 AC＝BCsisnin∠∠BAACBC＝453×12＝15 3. 2
即船与灯塔的距离是 15 3 km.故选 A.
答案 A
题型探究
题型二 高度问题 【例2】 如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测
得塔顶A的俯角为45°，塔高AB＝20 m，求山高CD.
所以台风移动的方向为北偏西45°.
题型探究
规律方法 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问 题，根本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析与所求，画出正确的示意图； (3)将图形中的量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余 弦定理求解.
题型探究
检测反响
3.如下图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，
C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，那么A点离地面的高
AB等于( )
A.10 m
B.5 3 m
C.5( 3－1) m
D.5( 3＋1) m
解析 在△ADC 中，由正弦定理得 AD＝10ssiinn1153°5°＝10( 3＋1)， 在 Rt△ABD 中，AB＝ADsin 30°＝5( 3＋1)(m). 答案 D
内
知识梳理
容 索
题型探究
引
检测反响
1
PART ONE
知识梳理
知识梳理
1.基线的概念与选择原那么 (1)基线的定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. (2)选择基线的原那么 在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取适宜的基线长 度，一般来说，基线__越__长___，测量的精确度越高.
∠ABC＝ACB·sCin
A＝2sin
120°＝ 6
22，
∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵ sin
∠BDBCD＝sin
∠CDCBD，
∴sin ∠BCD＝BD·sinCD∠CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12，∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
45 km后，看见灯塔在正西方向，那么这时船与灯塔的距离是( )
A.15 3 km
B.30 km
C.15 km
解析 设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C
D.15 2 km
处，如下图.
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
题型探究
题型三 【例 3】
角度问题
明确方向角及方位角的概念，准确作出图形是解决此类问题的关键 某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)
海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2海里的速度沿某
一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1)小时后开始影响
＝（30
52）×23＋0 （5×2020101）02－502＝6
6 000 000
＝ 2
22，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
答案 45°
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
情景引入
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英 尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1975年 测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一顶峰，位 于东经86.9°，北纬27.9°. 问题 8 848.13米——这个珠峰原“身高〞是如何测定的？ 提示 对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议， 简单来说，那就是数字的测量与解三角形的应用.
题型探究
解 如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，那么AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
题型探究
规律方法 求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角 形的边长问题，根本方法是： (1)分清仰角和俯角，根据和所求，正确作出图形； (2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
题型探究
解 设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船， 则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
6＋ 2
2 .
在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
∴AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°
＝5＋ 3－(3 2＋ 6)(cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°)＝5，
∴AB＝ 5.故两目标 A，B 间的距离为 5千米.
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2.相关术语 特别注意方位角、方向角、仰角、俯角等有关概念的实质 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线___上__方__时叫仰角，目标视线在水平视线 __下__方___时叫俯角，如下图. (2)方位角 指从__正__北__方__向___顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为α(如图1所示).
知识梳理
(3)方位角的其他表示——方向角 ①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正 南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向. ②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
知识梳理
3.解三角形应用题 (1)解题思路
知识梳理
(2)根本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的根本步骤如下： ①分析：理解题意，弄清与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； ②建模：根据条件与求解目标，把量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立 一个解三角形的数学模型. ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
题型探究
解 在△ACD 中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝ 3.
在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，
在△CBD中，由正弦定理得
BC＝
s3isnin607°5°＝2sin(30°＋45°)＝2sin 30°cos 45°＋2cos 30°sin 45°＝
答案 D
检测反响
2.海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A
岛成75°的视角，那么B，C间的距离是( )
A.10 3 n mile
10 6 B. 3 n mile
C.5 2 n mile
D.5 6 n mile
解析 依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10， 那么C＝180°－A－B＝45°， 由正弦定理得，BC＝ABsi·nsiCn A＝10s×insi4n5°60°＝5 6. 答案 D
检测反响
4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
50 m，BD为水平面，那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD
的张角为________. 解析 依题意可得 AD＝20 10，AC＝30 5，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得 cos ∠CAD＝AC2＋2AACD·C2－DCD2
基地持续 2 小时，求台风移动的方向. 解 如下图，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心
为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，那么B，C，D在同一
直线上，且AD＝20(海里)，AC＝20(海里). 由题意 AB＝20( 3＋1)(海里)，DC＝20 2(海里)， BC＝( 3＋1)·10 2＝10( 6＋ 2)(海里).
2
PART ONE
题型探究
题型探究
题型一 距离问题
【例 1】 如图所示，隔河看两目标 A，B，但不能到达，在岸边选 取相距 3千米的 C，D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D 在同一平面内)，求两
目标A，B之间的距离. 在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解
题型探究
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC
中，由余弦定理得
cos
∠BAC＝AC2＋2AACB·A2－B BC2＝
3 2.
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，
题型探究
规律方法 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的 边长问题，根本方法是： (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的和未知的边和角，利用正、余弦 定理求解.
题型探究
【训练1】 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行
3
PART ONE
检测反响
检测反响
1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m，A＝30°，那么其跨度AB的长为( )
A.12 m
B.8 m
C.2 3 m
D.4 3 m
解析 在△ABC中，可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°.
所以由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝42＋42－2×4×4×－12＝48， ∴AB＝4 3(m).
题型探究
【训练2】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的 仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝ 60°，山高BC＝100 m，那么山高MN＝________. 解析 由题意可知 AB＝BC＝100 m，所以 AC＝100 2 m，在△ACM 中，由正弦 定理得 AM＝sinAC45°·sin 60°＝100 3 m，所以 MN＝AMsin 60°＝100 3× 23＝150 m. 答案 150 m
在△ABC 中，由正弦定理，可得 AC＝BCsisnin∠∠BAACBC＝453×12＝15 3. 2
即船与灯塔的距离是 15 3 km.故选 A.
答案 A
题型探究
题型二 高度问题 【例2】 如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测
得塔顶A的俯角为45°，塔高AB＝20 m，求山高CD.
所以台风移动的方向为北偏西45°.
题型探究
规律方法 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问 题，根本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析与所求，画出正确的示意图； (3)将图形中的量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余 弦定理求解.
题型探究
检测反响
3.如下图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，
C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，那么A点离地面的高
AB等于( )
A.10 m
B.5 3 m
C.5( 3－1) m
D.5( 3＋1) m
解析 在△ADC 中，由正弦定理得 AD＝10ssiinn1153°5°＝10( 3＋1)， 在 Rt△ABD 中，AB＝ADsin 30°＝5( 3＋1)(m). 答案 D
内
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题型探究
引
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1.基线的概念与选择原那么 (1)基线的定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. (2)选择基线的原那么 在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取适宜的基线长 度，一般来说，基线__越__长___，测量的精确度越高.
∠ABC＝ACB·sCin
A＝2sin
120°＝ 6
22，
∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵ sin
∠BDBCD＝sin
∠CDCBD，
∴sin ∠BCD＝BD·sinCD∠CBD＝10t1s0in 132t 0°＝12，∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.