二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
二次函数求最值动轴定区间动区间定轴二次函数动轴定区间动轴定区间定区10e0间动对称轴函数fx定义在区间动轴动区间轴定区间变轴定区间定偶函数一定与y轴相交plot定义横轴的区间
二次函数在闭区间上的最值问题
练习：已知函数f(x)= x•2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
练习：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
评注：此题属于“轴动区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。
•
பைடு நூலகம்
练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
(3)已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时有最大值 2，
求 a 的值．
(4)已知函数 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在区间[0,1]内有一个最
大值－5，求 a 的值．
思考：如何 求函数y• =x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
8
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)max=6 f(k)=k2-2k-3
6 f(x)min=f(k+2)=k6 2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max=f(k)=k2-2k-38
10
10
x2 –• 2x 8 –
3
8
（1）8 x∈[–2，0]（2）8 x∈[ 2，4 （] 3）x6 ∈[
1, 2
5 2
]（4）x6 ∈[
1 2
,
3] 2
6
6
4
4
4
x=1
2
0
10
-2
2
55
4
2 x=1
10 15
2
5
10
10
4 15
2
2 x=1
1
5
2
2
5
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
10
10
10
意开口方向及端点情况。
•
练习：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
•
练习：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
•
练习：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
•
例2：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
课堂小结
1.闭区间上的二次函 数• 的最值问题求 法
2. 含参数的二次函数最值问题： 轴动区间定 轴定区间动
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
5 f(x)max=10f(k+2)=（1k5 +2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f ( 1) 1 3
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
x=1
2
13
-2
2
2 4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3y = x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
10
例1、已知函数f(x)= 2∙x 3
2∙x 3
y1=0 x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
函数在[-1,1]上是减函数
y的最小值为f(1)
x
=4+a
练习：若x∈
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
f min

f


a 2


3
a2 4
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例1、已知函数f(x)= x2 –• 2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（1）若x∈yy[== xx–22 222∙∙xx，33 0]，求函数•f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2 ]，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
4
4
4 4
6
思考6 ：通过以上几6 题，你发现二次6 函数在区间[m，n]
8
上的8 最值通常在哪8 里取到？
8
10 10
10 10
总结：求二次函数f(x)•=ax2+bx+c在[m，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线x=1
由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时15有最小值f(010)=-3
5
0
5
-2
2
4
6
例（11、）已若知x∈yy函==[xx22数–222∙∙xxf，(33x0)=]，x2求–2函x• –数3f.(x)的最10值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
•
练习求函数y=x2+2x+3 在x[-2,2]时的 最值？
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
•
2.(1)若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则 f(m＋1)的
值( B )
A．正数
B．负数
C．非负数
D．与 m 有关
19
(2)已知 2x2≤3x，则函数 f(x)＝x2＋x＋1 的最大值为___4_____．
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
15
6
（3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
5
x=
2
时有最大值
f (5) 1 3 24
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
[解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2，其对称轴为 x＝1， 所以 f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37. (2)对称轴为 x＝－a，当－a≤－5 或－a≥5 时， f(x)在[－5,5]上单调．所以 a≥5 或 a≤－5. 故满足条件的实数 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
注意数形结合和分类讨论
•
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]，
求y的最大值
2、已知函数 f (x) = x2 - 2ax+ a2 + 2
当 x 1,3 时，求函数的最大值.
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
2
（4）若x∈[
12, 2
3 2 ]，求函数f(x)的最值；
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
练习：已知函数f(x)= x2–•2x –3.
10
（1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值8 ；
10 2
4
当 k ＜1 ＜ k• +2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4
当5 f(k)>f(k+10 2)时， 15
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当f(k) ≤f(k+2)时，
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
考点二 二次函数的图象与性质• (高频考点)
已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8 8
10
6
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5
10
15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
10
82
64
4 6
x=1
2 8
k k+2