2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题-(教师版)

专题13动态几何题
【母题来源1】（2019•上海中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么△EDF的正切值是．
【答案】由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到△AEB＝△EDF，
进而得到tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．
【解析】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB＝△AEF，
△正方形ABCD中，E是AD的中点，
△AE＝DE＝AD＝AB，
△DE＝FE，
△△EDF＝△EFD，
又△△AEF是△DEF的外角，
△△AEF＝△EDF+△EFD，
△△EDF＝△AEF，
△△AEB＝△EDF，
△tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．
故答案为：2．
【母题来源2】（2017•上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF△AB，那么n的值是．
【答案】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．
【解析】解：△如图1中，EF△AB时，△ACE＝△A＝45°，
△旋转角n＝45时，EF△AB．
△如图2中，EF△AB时，△ACE+△A＝180°，
△△ACE＝135°
△旋转角n＝360﹣135＝225，
△0＜n＜180，
△此种情形不合题意，
故答案为45
【母题来源3】（2016•上海中考真题）如图所示，梯形ABCD中，AB△DC，△B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝
12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且△AGE＝△DAB．（1）求线段CD的长；
（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）作DH△AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝12，CD＝BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；
（2）分类讨论：当EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，则判断G点与D点重合，即ED＝EA，作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，通过证明Rt△AME△Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA＝GE 时，则△AGE＝△AEG，可证明AE＝AD＝15，
（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE＝，再证明△EAG△△EDA，则利用相似比可表示出EG＝，则可表示出DG，然后证明△DGF△△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．
【解析】解：（1）作DH△AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形，
△DH＝BC＝12，CD＝BH，
在Rt△ADH中，AH＝＝＝9，
△BH＝AB﹣AH＝16﹣9＝7，
△CD＝7；
（2）△EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，
△△AGE＝△DAB，
△△GAE＝△DAB，
△G点与D点重合，即ED＝EA，
作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，
△△MAE＝△HAD，
△Rt△AME△Rt△AHD，
△AE：AD＝AM：AH，即AE：15＝：9，解得AE＝；
△GA＝GE时，则△GAE＝△AEG，
△△AGE＝△DAB，
而△AGE＝△ADG+△DAG，△DAB＝△GAE+△DAG，
△△GAE＝△ADG，
△△AEG＝△ADG，
△AE＝AD＝15．
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，
在Rt△HDE中，DE＝＝，
△△AGE＝△DAB，△AEG＝△DEA，
△△EAG△△EDA，
△EG：AE＝AE：ED，即EG：x＝x：，
△EG＝，
△DG＝DE﹣EG＝﹣，
△DF△AE，
△△DGF△△EGA，
△DF：AE＝DG：EG，即y：x＝（﹣）：，△y＝（9＜x＜）．
1、抓住图形运动后角度和长度等性质的特点；
2、寻找几何模型突破点；
3、主要有以下几点思路：
数量关系突破：1、勾股定理（比较初级，实用）；2、锐角三角比；3、相似；
角度关系突破：平行，全等，相似，其他几何性质；
4、分类讨论多种情况（可以以某一种情况切入），记得验证是否均满足题意，有些需要舍去；
5、综合分析法，从已知和结果同时出发往中间靠（也就是寻找第3点的突破点）。

一、填空题
1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：△△EBG=45°；△△DEF△△ABG ；△S △ABG = 1.5 S △FGH ；△AG+DF=FG ；其中正确的是
______________．（填写正确结论的序号）
【答案】△△△
【解析】
根据矩形的性质和折叠的性质，可知45EBF GBH ∠+∠=︒，
DF 的长度．利用勾股定理可求出AG 、GF 、GH 、HF 的长度，结合题意逐个判断即可．△：根据题意可知EBC EBF ∠=∠，GBA GBH ∠=∠，
90EBC EBF GBA GBH ∠+∠+∠+∠=︒，
△45EBF GBH
∠+∠=︒，即45EBG ∠=︒． 故△正确；
△：90EFD AFB ∠+∠=︒，90ABF AFB ∠+∠=︒，
△EFD ABF ∠=∠，
△
ABF DFE ， △AB AF DF DE
=，
△8AF ===， △8463
DE AF DF AB ===． 设AG =x ，则GH =x ，GF =8-x ，HF =BF -BH =10-6=4．
又△在Rt GHF 中，222GH HF GF +=，
△2224(8)x x +=-
解得x =3，即AG =3， △623
AB AG ==． △
AB DE AG DF ≠ 故DEF 和△ABG 不相似．
故△错误；
△：由△得GH =3，
1163922
ABG S AB AG ==⨯⨯=，1134622GFH S GH HF ==⨯⨯=． △:9:6 1.5ABG GFH S S ==．
故△正确．
△：DF =10-8=2，由△可知AG +DF =3+2=5，GF =8-3=5．
△AG +DF =GF ．
故△正确．
故答案为△△△． 【点睛】
本题考查折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质结合勾股定理来解题．本题利用勾股定理计算出AG 的长度是解题的关键．
2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在
ABC 中，点D E 、分别在边AB 、 AC 上，//DE BC ，将ADE 沿直线DE 翻折后与 FDE 重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果 8DE =，23AD AB =，那么MN 的长是 _____ ．
【答案】4
设3AB a =，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得FM a =，最后根据三角形的中位线定理即可得．设3AB a =，则
2,BD D a A a A AB D =-==，
//DE BC ，
,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，
由翻折的性质得：,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，
B BMD ∴∠=∠，
DM BD a ∴==，
FM DF DM a DM ∴=-==，即点M 是DF 的中点，
又//DE BC ，
MN ∴是FDE 的中位线，
118422
MN DE ∴==⨯=， 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．
由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得
Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCD Rt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．解：△四边形ABCD 是矩形，△BED 是由△BCD 翻折得到，
△Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，
△4AD BC ==，AB CD ED ==，
△四边形ABCD 是矩形，
△AD=BC ，AB=CD ，
又BD=DB
△Rt DAB Rt BCD ∆≅∆
△Rt DAB Rt BED ∆≅∆
△AB ED =，ABD EDB ∠=∠
△四边形ABDE 是等腰梯形，
△CE BD ⊥，//AE BD
△CE AE ⊥，△EAD ADB DBC =∠=∠
△△90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=
△△DBC FCD =∠
△Rt BCD
Rt CDF ∆∆ △FD CD CD BC =，即14
CD CD = △2CD =或-2（舍去）
在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠=
==， △△EAD DBC =∠ △1tan 2
EAD ∠= 在Rt AEF ∆中，12EF AE =
由勾股定理得，222AE AF EF =-
即2221()()2
AE AD FD AE =-- △2221(41)4
AE AE =--
解得：AE =．
． 【点睛】
本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．（2021·上海九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．
【答案】3+3
【解析】
过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，可证四边形ADCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD 的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ△△DQC ，则由相似三角形的性质可得AQ DC AB DQ
=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ 的方程，求解后即可求出AQ 的长．解：如图，过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，
△在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，
△四边形ADCE 是平行四边形，
△AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．
△60B ∠=︒，
△△ABE 是等边三角形．
△BE ＝AE ＝AB ＝2．
△AD ＝BC －BE ＝6．
△点Q 是边AD 上的“强相似点”，
△△ABQ△△DQC ． △AQ DC AB DQ
=． 设AQ ＝x ，则DQ ＝6－x ， 即226x x
=-． 解得135x ，235x ．
故答案为：3+3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．
5．（2021·上海九年级专题练习）如图，在
ABCD 中，
点E 在边BC 上，将ABE △沿直线AE 翻折得到AFE △，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果:3:2BE EC =，那么:AF FG 的值等于__________．
【答案】
214
【解析】 由轴对称的性质可得：BEA FEA ∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，结合平行四边形的性质，结合:3:2BE EC =，设3,BE k =则2EC k =，证明5BC AD DE k ===，再证明ADG DFG ∽△△，可得：5522AD DG AG k DF FG DG k ====，求解：25,52
FG DG AG DG ==，从而可得答案．解： ≌ABE AFE BEA FEA ∴∠=∠，BE FE =，ABE AFE ∠=∠，
ABCD
//AD BC ∴，AD BC =，B ADC ∠=∠，
BEA DAE FEA ∴∠=∠=∠
AD DE ∴=
:3:2BE EC =
∴ 设3,BE k =则2EC k =，
5BC AD DE k ∴===，
2DF k ∴=，
DFG AFE ∠=∠，
DFG ADG ∴∠=∠，
DGF AGD ∠=∠，
ADG DFG △∽△，
5522
AD DG AG k DF FG DG k ∴====， 25,52
FG DG AG DG ∴==，
254AG FG ∴
=， 2544AG FG FG --∴
=， 214
AF FG ∴=， 故答案为：21.4
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2021·上海九年级专题练习）在ABC 中，AB =45B ∠=︒，60C ∠=°．点D 为线段AB 的中
点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将ADE 折叠得到'A DE ．连接'AA ，当'A E AC ⊥时，则线段'AA 的长为________．
【答案】【解析】
求出AC 的长,证明△ADE△△ACB,推出AE AD AB AC
=，由此求出AE 即可解决问题．解：过点A 作AM△BC,在
Rt△ABM 中，AM=AB ⨯sin45°==42
AC= AM ÷ △'A E AC ⊥，
△AEA´=90°,
△△ADE△△A´DE
△△AED=△A´ED=45°,
△△AED=△B,
△△DAE=△CAB,
△△ADE△△ACB,
AE AD AB AC
=，
=
AE=
AA´==
【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
7．（2021·上海杨浦区·九年级一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10
AB=，12
BC=，5
CD=，
3
tan
4
B=，那么边AD的长为______．
【答案】9
【解析】
连接AC，作AE BC
⊥交BC于E点，由
3
tan
4
B=，10
AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD
⊥
交AD于F点，可证B DCF
∠=∠，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．解：如图，连接AC，作AE BC
⊥
交BC于E点，
3
tan
4
B=，10
AB=，
∴
3
tan
4
AE
B
BE
==，设AE=3x，BE=4x，
∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，
解得x=2，则AE=6，BE=8， 又12BC =，∴CE=BC -BE=4，
∴
AC ==
作CF AD ⊥交AD 于F 点，
90B D ∠+∠=︒，90D DCF ∠+∠=︒，
∴B DCF ∠=∠，3tan 4B =
=tan DCF ∠=DF CF ， 又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，
∴6AF ==，
∴AD=AF+DF=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．
8．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．
11．
【解析】
分两种情形：△当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．解：△如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．
△CE ＝EA ，CF ＝FB ，
△EF △AB ，
△AC ＝AB ，△ACB ＝90°
△△CEF ＝△CAB ＝45°，
△PD ＝P A ，△APD ＝90°
△△P AD ＝△PDA ＝45°，
△△HDC ＝△PDA ＝45°，
△点E 是边CA 的中点，
△EA ＝EP ＝EC
△△EPC ＝△CEP ，
△△HDC ＝△DCA+△DAC ＝45°，
△CEF ＝△DCA+△EPC ＝45°，
△△DAC ＝△EPC ＝△ECP ，
△DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC ==,
△)
1PC a =
△)1
tan 1a PC CAP PA a ∠===
△如图3中，当点P 在线段CD 上时，
由△可知，EF △AB ，△CAB ＝△PDA ＝45°，
△△CAD ＝180°-△ACD -45°，
△COA ＝180°-△ACO -45°
△△CAD ＝△COA ，
△EF △AB ，
△△CPE ＝△COA ，
△△CPE ＝△CAD ，
△点E 是边CA 的中点，
△EA ＝EP ＝EC
△△ECP ＝△CPE ，
△△ECP ＝△CAD ，
△DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,
△)
1PC a =
△)1
tan 1a PC CAP PA a ∠===
综上所述，tan CAP ∠11．
【点睛】 本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是ABC ∆的角平分线，将Rt ABC ∆绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，连接ED ，那么AED ∠的正切值为_______________________．
【答案】
37
【解析】 如图，过点D 作DG△AC 于G ，可得DG//BC ，即可证明△AGD△△ACB ，可得34
AG AC DG BC ==，由CD 是角平分线可得△ACD=45°，可得CG=DG ，进而可求出AG 的长，根据勾股定理即可求出AD 的长，根据旋转的性质可得AC′=AC ，AE=AB ，根据等腰三角形的性质可得△CC′A=45°，可得△CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得△DAE=90°，利用勾股定理可求出AB 的长，根据正切的定义即可得答案．如图，过点D 作DG△AC 于G ， △△ACB=90°，
△DG//BC ，
△△AGD△△ACB ，可得
34AG AC DG BC ==， △CD 是角平分线，
△△ACD=45°，
△CG=DG ，
△AC=3，AC=AG+CG ， △34DG +CG=3，即74
DG =3， 解得：DG=
127，
△AG=9
7
，
15
7
，
△将Rt ABC
∆绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，△AC′=AC，AE=AB，
△△CC′A=△ACD=45°，
△△CAC′=90°，
△旋转角为90°，
△△DAE=90°，
△AC=3，BC=4，
△AB=5，
tan
AD AD AED
AE AB
∠===
3
7
．
故答案为：3 7
【点睛】
本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．
10．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
【解析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C -CD=2，由△ECD△△A'CB'，对应边成比例即可求出DE 的长，再由△A'DF△△CDE 求出DF 的长，最后在Rt△DFC 中由勾股定理即可求出DF.
解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
△由勾股定理可知：， △A'D= A'C -CD=2，
又△ADC=△B'=90°，且△ECD=△A'CB'，
△△ECD△△A'CB'， △'''=D C C E A B B D ，代入数据：343
DE =， △9=4
DE ， 又A'F△CE ，
△△CED=△A'FD ，且△EDC=△FDA'，
△△A'DF△△CDE ，
'=D E FD C A D D ，代入数据：9432
=DF ， △3=2DF ，
在Rt△DFC 中由勾股定理可知：
==CF
. 【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.
11．（2020·上海浦东新区·九年级月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，△ABC =70°，BD 平分△ABC ，那么△ADC =____________度
【答案】145
【解析】
先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知△ABD=△CBD ，所以需另一组对应角相等，若△A=△C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有△A=△BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.解：根据题意画出示意图，已知△ABD=△CBD ，
△ABD 与△DBC 相似，但不全等，
△△A=△BDC ，△ADB=△C.
又△A+△ABC+△C+△ADC=360°，
△2△ADB+2△BDC+△ABC=360°，
△△ADB+△BDC=145°，
即△ADC=145°.
【点睛】
对于新定义问题，读懂题意是关键.
12．（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC ∆中，90,2,4C AC BC ∠=︒== ，点D E 、分别是边BC 、AB 的中点，将BDE ∆绕着点B 旋转，点D E 、旋转后的对应点分别为点''D E 、，当直线''D E 经过点A 时，线
段'
CD的长为____________
【答案】
【解析】
当直线''
D E经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´△△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解.解：在Rt△ACB中，90,2,4
C AC BC
∠=︒==，
由勾股定理得，AB===
△D E
、分别是边BC、AB的中点,
△DE是△ACB的中位线，BD=2，BE=,
△DE△AC，DE=1
1 2
AC=
△△EDB=90°,
由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=△BD´E´=90°,第一种情况，如图1，
△点A，D´，E´三点共线,
△△AD´B=90°,
由勾股定理得
2
222
224
´5
BD，
△AE´=AD´+D´E´=5△△ABC=△D´BE´,
△△CBD´=△ABE´, △´´5
BC
BD AB BE , △△CBD´△△ABE´, △´´5
CD AE , △
5´5CD ,
△CD´=
第一种情况，如图2，
△点A ，D´，E´三点共线, △△AD´B=90°,
由勾股定理得2222224´5BD ，
△AE´=AD´-D´E´=3 △△ABC=△D´BE´,
△△CBD´=△ABE´, △´´5BC
BD AB BE , △△CBD´△△ABE´,
△´´5
CD AE , △5´3CD ,
△CD´长为
故答案为： 【点睛】
本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，能正确画出图形很关键.
13．（2017·上海徐汇区·九年级二模）如图，在△ABC 中，△ACB ＝α（90°＜α＜180°），将△ABC 绕着点A 逆时针旋转2β（0°＜β＜90°）后得△AED ，其中点E 、D 分别和点B 、C 对应，联结CD ，如果CD △ED ，请写出一个关于α与β的等量关系的式子_____．
【答案】α+β＝180°
【解析】
本题考查的是旋转与等腰三角形，做辅助线AF△CD ，由旋转可得△ADE=△ACB=α，再用含有字母αβ，的式子表示出△ADC 与△DAF ，利用三角形内角和即可倒出αβ，的关系如图，过A 作AF△CD ，
由旋转可得，△ADE ＝△ACB ＝α，
△CD△DE ，
△△ADC ＝α﹣90°，
由旋转可得，AC ＝AD ，△CAD ＝2β，
△△DAF ＝β，
△Rt△ADF 中，△DAF+△ADF ＝90°，即β+α﹣90°＝90°，
△α+β＝180°．
故答案为：α+β＝180°．
【点睛】
本题的关键是做辅助线，用含有字母αβ，的式子表示出△ADC 与△DAF
14．（2018·上海奉贤区·九年级二模）如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()090
a α︒︒<<得到AB '，边AC 绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）．
【答案】
214
a . 【解析】 首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B 'C '是顶角为150°的等腰三角形，其中AB '=AC '=a ．过C '作C 'D △AB '于D ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出C 'D 12=AC '12=a ，然后根据S △AB 'C '12
=AB '•C 'D 即
可求解．△等边△ABC的边长为a，△AB=AC=a，△BAC=60°．
△将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB'，△AB'=AB=a，△B'AB=α．
△边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC'，△AC'=AC=a，△CAC'=β，
△△B'AC'=△B'AB+△BAC+△CAC'=α+60°+β=60°+90°=150°．
如图，过C'作C'D△AB'于D，则△D=90°，△DAC'=30°，△C'D
1
2
=AC'
1
2
=a，△S△AB'C'
1
2
=AB'•C'D
1
2
=a•
1
2
a
1
4
=
a2．
故答案为：1
4
a2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积．
15．（2019·上海徐汇区·中考模拟）在梯形ABCD中，AB△DC，△B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝3
4
．点E为
BC上一点，过点E作EF△AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为_____．
【答案】65 12
.
【解析】
【解析】
根据平行线的性质得到△A＝△EFB，△GFE＝△AMF，根据轴对称的性质得到△GFE＝△BFE，求得△A＝△AMF，得到AF＝FM，作DQ△AB于点Q，求得△AQD＝△DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，
求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF
＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣15
2
，求得DE＝
15
2
﹣3x，根据勾股定理列
方程即可得到结论．如图，
△EF△AD，
△△A＝△EFB，△GFE＝△AMF，△△GFE与△BFE关于EF对称，△△GFE△△BFE，
△△GFE＝△BFE，
△△A＝△AMF，
△△AMF是等腰三角形，
△AF＝FM，
作DQ△AB于点Q，
△△AQD＝△DQB＝90°．
△AB△DC，
△△CDQ＝90°．
△△B＝90°，
△四边形CDQB是矩形，
△CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，△AQ＝10﹣2＝8，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD10，
△tan A＝3
4
，
△tan△EFB＝BE
BF
＝
3
4
，
设EB＝3x，
△FB＝4x，CE＝6﹣3x，
△AF＝MF＝10﹣4x，
△GM＝8x﹣10，
△△G＝△B＝△DQA＝90°，△GMD＝△A，△△DGM△△DQA，
△DG GM DQ AQ
，
△GD＝6x﹣15 2
，
△DE＝15
2
﹣3x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（15
2
﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，
解得：3x＝65 12
，
△当EG过点D时BE＝65 12
．
故答案为：65 12
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（2018·上海青浦区·中考模拟）已知，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=9，BC=12，点D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是△ABC 的平分线，此时线段CD的长是________.
【答案】6
【解析】
分析：设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x，依据△EBF=△EFB，可得EF=BE=12﹣4x，由旋转可得DF=CD=3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，即可得到（3x）2+（4x）2=（3x+12﹣4x）2，进而得出CD=6．
详解：如图所示，设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x．△CD CA
CE CB
=
3
4
，△DCE=△ACB=90°，△△ACB△△DCE，
△△DEC=△ABC，△AB△DE，△△ABF=△BFE．又△BF平分△ABC，△△ABF=△CBF，△△EBF=△EFB，△EF=BE=12﹣4x，由旋转可得DF=CD=3x．在Rt△DCE中，△CD2+CE2=DE2，△（3x）2+（4x）2=（3x+12﹣4x）2，解得x1=2，x2=﹣3（舍去），△CD=2×3=6．故答案为6．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
17．（2018·上海徐汇区·中考模拟）在△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为_____．
【答案】75 7
【解析】
如图，△△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），△AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，△ADF=△C=90°，
△BD=DE=4，
设DF=x，AF=y，△△AFD=△BFC，△△FDA△△FCB，
△
3 34
4 x y
y x
==
++，
△4y=3x+12，4x=3y+9，
△4y=
39
312
4
y+
⨯+，
△
75
7
y=，
即线段AF的长为75 7
．
故答案为75 7
．
18．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．
【解析】
作辅助线，首先求出△D′AB 的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决. 如图，分别连接OA 、OB 、OD′、OC 、OC′；
△OA=OB=AB ，
△△OAB 是等边三角形，
△△OAB=60°；
同理可证：△OAD′=60°，
△△D′AB=120°；
△△D′AB′=90°，
△△BAB′=120°-90°=30°，
由旋转变换的性质可知△C′AC=△B′AB=30°；
△四边形ABCD 为正方形，且边长为2，
△△ABC=90°
，=，
△当点D 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为：301803
π⨯=．
故填：3
点睛：本题主要考查了旋转的性质及其应用问题，解题的关键是作辅助线准确求出旋转角，判定滚动一周回到原位置时，点C 运动的路径的轨迹.二、解答题
19．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，△B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF△AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．
（1）如图1，当△B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值； （2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；
（3）如图3，联结AF ，当△AFE=△B 且CF=2时，求菱形的边长．
【答案】（1）
94；（2）15
；（3）17. 【解析】 （1）先证明：,BEA CFE ∽可得：
BE AB CF CE
=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．
（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，
先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用
22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；
（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：
cos ,6
EF y coc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．解：（1）
四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，
90B C ∴∠=∠=︒，
90BAE BEA ∴∠+∠=︒，
,EF AE ⊥
90BEA CEF ∴∠+∠=︒，
,BAE CEF ∴∠=∠
,BEA CFE ∴∽
BE AB CF CE ∴
=， ,BE CF AB CE
∴= 3,EC CF =
3,AB BE ∴=
设,,CF a BE b ==
3,CE a ∴=
3,AB BC b a ∴==+
而33,AB BE b ==
33,b a b ∴+=
3,2
b a ∴= 9,2
AB a ∴= 22992.34ABE CEF a S
AB S CE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH
AD ⊥于,H 连接AF ，
菱形ABCD ，
//,AB CD ∴
,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，
,BE CE ∴=
,AEB CEG ∠=∠
()ABE GCE AAS ∴≌,
,,AB CG AE GE ∴==
,AE EF ⊥
,AF FG ∴=
设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，
75,FG AF a DF a ∴===，
设,DH x =
22222,AF AH FH DF DH ∴-==-
()()()222
2765,a a x a x ∴--=-
,x a ∴=
,DH a ∴= 1cos ,55
DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠
1cos .5
B ∴= （3）如图，过E 作EG D
C ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =
,,EC EH H ECH ∴=∠=∠
23,CF CE CF ==，
6CE EH ∴==，
设,DF x = ,HG GC y ==
则2,DC AD x ==+
,6
HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ，
,//,B D AB CD ∴∠=∠
,B ECH ∴∠=∠
,AFE B ∠=∠
,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠
cos ,6
EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠
,EFH DAF ∴∠=∠
,FEH AFD ∴∽
,EH HF EF DF AD AF
∴== 622,26
y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩
， 解得：15,2.4x y =⎧⎨
=⎩ 经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩
是原方程组的解， 217,CD x ∴=+=
即菱形ABCD 的边长为：17.
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中
点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =
，联结PQ 、QD 、DP ．
（1）求证：PQ AB ⊥；
（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；
（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值
范围．
【答案】（1）见解析；（26
；（3BP << 【解析】
（1）证明△BPQ△△BAC 即可；
（2）由△PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan
3
AC B BC ===，求出△B=30，
30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒
===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE△AC 交AC 于E ，则△QED=△PDQ=90C ∠=︒，证明△EQD△△CDP ，得到QE ED CD CP =，
设BP t =，过点Q 作QF△BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出134
4t QE F t t C +===，1CD =，
CP t =，14
DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：△当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出
'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；△另
外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 60CD =
︒BP =（1）在
ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =
△4AB ==，
△42BC AB ==，
△BQ BP =，
△BQ BP = △BQ
BC
BP AB =，
△QBP CBA ∠=∠，
BPQ BAC ∴，
△90BQP BCA ∠=∠=︒，
PQ AB ∴⊥；
（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，
当90DPQ ∠=︒时，如图1，
在Rt△ABC 中，tan
3
AC B BC ===， △△B=30，
△9060QPB B ∠=︒-∠=︒，
30DPC ∴∠=︒，
△2AC =，点D 为边AC 的中点，
△CD=1，
△tan 30CD CP ︒
===，
BP BC CP ∴=-=
当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE△AC 交AC 于E ，则△QED=△PDQ=90C ∠=︒， △△EQD+△EDQ=△EDQ+△CDP=90︒，
EQD CDP ∴，
QE ED CD CP
∴=， 设BP t =，过点Q 作QF△BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，
△△B=30，△BQP=90︒，
△PQ=12
t ， △60QPB ∠=︒， △cos 6014PF PQ t =⋅︒=
，sin 60QF PQ =⋅︒=，
△1344t QE F t t C +===，1CD =
，CP t =
，1DE CE CD =-=-，
134t -∴=
t ∴=
或t =（舍去）， 综上，BP
的长为
6；
（3）只需考虑BP 的极限情况：
△当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，
'DD PQ ⊥，
'30DD C B ∴∠=∠=︒，
'CD ∴=30CDP ∠=︒，
又'DP D P =，
()
'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=
m ∴=； △另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，
△60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，
△PC=tan 603
CD =︒，
△BP =
BP <<． ．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．
21．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．
（1）求证：ADP EDQ △△；
（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【解析】
（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△． （2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD
===，求出34
EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥ △A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，
△ADP EDQ △△．
（2）ADP EDQ △△，
△
EQ ED AP AD = 又点D 为斜边AB 的中点，
△AD BD = ，
EQ ED ED AP AD BD
== 又
ED AB ⊥ 在Rt BDE 中
tan =ED ED EQ B BD AD AP
==， 又6tan =
8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10 D 为AB 中点，
△BD =5， DE =
154，由勾股定理得：BE =254 AP x =，
可得34
EQ x =， BQ BE EQ =-，
253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭
． （3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD
∠=
===， △FPD B ∠=∠， 又△PDF BDQ ∠=∠，
△PDF BDQ △△， △PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．
若DQ BQ =，
12cos BD B BQ
=， 5
42253544
x =-， 解得256
x ． 若BD BQ =，
253544
x -=， 解得53
x =． △若DQ BD =，
2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．
【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．
22．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图1，在梯形ABCD 中，AD△BC ，△ABC ＝90°，cosC ＝
35
，DC ＝5，BC ＝6，以点B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边CD 、BC 于点E 、F ．
（1）求sin△BDC 的值；
（2）联结BE ，设点G 为射线DB 上一动点，如果△ADG 相似于△BEC ，求DG 的长；
（3）如图2，点P 、Q 分别为边AD 、BC 上动点，将扇形DBF 沿着直线PQ 折叠，折叠后的弧D'F'经过点B 与AB 上的一点H （点D 、F 分别对应点D'，F'），设BH ＝x ，BQ ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写定义域）．
【答案】（1）2425；（2）9011；（3）y ＝ 【解析】
（1）如图1中，连接BE ，过点D 作DK△BC 于K ，过点B 作BJ△CD 于J ．想办法求出BJ ，BD 即可解决问题． （2）分两种情形分别求解：△当△ADG△△BCE 时．△当△ADG△△ECB 时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
（3）如图3中，过点B 作BJ△PQ 交DF 于J ，连接BJ ，JH ，JQ ，过点J 作JG△BH 于G ，过点Q 作QK△JH 于K ．由题意BQ ＝QJ ＝y ，求出QK ，KJ ，在Rt△QKJ 中，利用勾股定理即可解决问题．（1）如图1中，连接BE ，过点D 作DK△BC 于K ，过点B 作BJ△CD 于J ．
在Rt△CDK 中，△△DKC ＝90°，CD ＝5，cos△C ＝
CK CD ＝35
， △CK ＝3，
△BC＝6，
△BK＝CK＝3，
△AD△BC，△ABC＝90°，
△△A＝90°
△DK△BC，
△△A＝△ABC＝△DKB＝90°，
△四边形ABKD是矩形，
△AD＝BK＝3，
△DB＝DC＝5，DK4，
△S△DCB＝1
2
•BC•DK＝
1
2
•CD•BJ，
△BJ＝24
5
，
△DJ＝7
5
，
△BD＝BE，BJ△DE，
△DJ＝JE＝7
5
，
△EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣14
5
＝
11
5
，
△sin△BDC＝BJ
BD
＝
24
5
＝
24
25
．
（2）如图2中，
△AD△BC，
△△ADG＝△DBC，
△DB＝DC，
△△DBC＝△C，
△△ADG＝△C，
△△ADG相似△BEC，
△有两种情形：当△ADG△△BCE时，
△AD
BC
＝
DG
EC
，
△3
6
＝
DG
11
5
，
△DG＝11 10
，
当△ADG△△ECB时，
AD EC ＝
DG
BC
，
3
11 5＝
DG
6
，
△DG＝90 11
．
（3）如图3中，过点B 作BJ△PQ 交DF 于J ，连接BJ ，JH ，JQ ，过点J 作JG△BH 于G ，过点Q 作QK△JH 于K ．
由题意：QB ＝QJ ＝y ，BJ ＝BD ＝5，
△JB ＝JH ，JG△BH ，
△BG ＝GH ＝12
x ，
△JG △△GBQ ＝△BGK ＝△QKG ＝90°，
△四边形BGKQ 是矩形，
△BQ ＝GK ＝y ，QK ＝GB ＝
12
x ， 在Rt△QKJ 中，
△JQ 2＝QK 2+KJ 2，
△y 2＝14x 2+﹣y ）2，
△y ＝ 【点睛】
本题属于圆综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考
常考题型．
23．（2020·上海浦东新区·九年级三模）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =．D 是边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点E 作//EF AB ，交边BC 于点F ．联结DE 、DF ，设CE x =．
（1）当1x =时，求DEF ∆的面积；
（2）如果点D 关于EF 的对称点为D ，点D 恰好落在边AC 上时，求x 的值；
（3）以点A 为圆心，AE 长为半径的圆与以点F 为圆心，EF 长为半径的圆相交，另一个交点H 恰好落在线段DE 上，求x 的值．
【答案】（1）98；（2）3916
；（3）6441 【解析】
（1）根据题意过E 作EM△AB 于M ，根据勾股定理和三角函数定义以及由平行线分线段成比例定理可得EF 的长，根据三角形面积公式即可得出结论；
（2）根据题意过E 作EN△AB 于N ，连接DD'，交EF 于Q ，由对称进行分析并根据三角函数计算以及证明四边形ENDQ 是矩形，进而得出则1516
EN QD ==，最后利用三角函数即可得出结论； （3）根据题意设AF 与DE 相交于点G ，并计算AF 的长，根据平行线分线段成比例定理可得AG 的长，证明AGE ACF ∆∆∽，得AG AE AC AF
=，列方程解出即可．解：（1）过点E 作EM AB ⊥，垂足为点M ．。