精编2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于
（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π
2．（2010福建理2）以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．2
2
x +y +2x=0 B ．22
x +y +x=0
C ．22
x +y -x=0
D ．22
x +y -2x=0
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
3．设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
4．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为 ▲
5．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 2
4
＝
1的交点个数为________．
解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．
6．以椭圆 22
221x y a b
+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线
交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．
7．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．
三、解答题
8．已知椭圆2
2
21(01)y x b b
+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过
F 、B 、
C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． (Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； (Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．
9．已知圆O :2
2
2x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,
的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线
PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,
请说明理由． (5分)
10．设顶点为P 的抛物线2
3(0)y ax x c a =-+≠交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正
半轴于C 点，圆D （圆心为D ）过A 、B 、C 三点，恰好与y 轴相切． 求证：
PA DA ⊥．
11．已知圆1F ：16)1(2
2=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

(1）求点M 的轨迹C 的方程；
(2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于B A ,两点，
且1ABF ∆的面积为2
3
，求直线l 的方程。

12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．
(1)求椭圆C 的方程；(4分)
(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆 的方程；(6分)
(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ． 若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →
BQ (6分)
13．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为
3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交
于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N
的最远距离不大于，求椭圆C 的短轴长的取值范围．
14．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将
12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这
样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.
(
Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22
(1x y ±+=，求椭圆段的方程；
(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为
,M N ，若1
120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为
,M N ，
P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN 的取值
范围.
分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论.
P
解答：
(Ⅰ）由题意：214c a ===，则2
2
2
2b a c =-=；
则椭圆段的方程：22
1(42
x y x +=≤；
(Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y ，则0(2e x +=，00x ∴=，
则(0,M ，则直线l 的方程是：(y x =±+； (Ⅲ）2
1
111
11
111
1
1
()()P M P N
P F F M P F F N P F P F
F N
P F
F M
=++
=
+
++（1）
P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆
帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==， 所以：111
11||PM PN FM F N FM =+=-，设00(,)M x y
(1）0[x ∈时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则
10||2[1,3]2
F M x =+
∈ 则1
1||[2,0]PM PN FM =-∈-；
(2）01]x ∈时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分，
则2200(1x y +=，且1||F M =
[3,1=+
则1
1||[2]PM PN FM =-∈--；
综上可知：PM PN 的取值范围是1
1||[PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.
8．已知：“过圆222
:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”
(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程
（不要求证明）；
(Ⅱ）过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，
求过,A B 两点的直线方程；
(Ⅲ）若过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两
点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.
分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：
(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y y
a b
+=；
(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .
由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：1122
1x x y y
a b +=； 过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：
22221x x y y
a b
+=；
因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则1010
2210102
211x x y y a b
x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
则过,A B 两点的直线方程是：
00221x x y y a b
+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y y
a b
+=，
由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02
()
1x c a -=，则20a x c =-
∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.
说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.
15．设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且4x =为它的右准线（1）求椭圆的方程；（2）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任
意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内
16． 已知椭圆x 2+22
b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过
F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；
(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．
17．设分别21,F F 是椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点；
(1）若椭圆C 上的点)2
3,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程； (2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；
(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值． 3．
18．已知椭圆16
242
2y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国文，26）
94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.
由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧==+x
y x y y x R R R R 116
242
2 解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222
2222
232483248y x y x y x x x R R
由点O 、Q 、R 共线，得
x y y P =12,即x
y
y P 12= ③
由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得
22
22222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.
将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程
（x －1）2+3
22
y
=1（x ＞0）
.
所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和3
6
且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.
评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.
19． 如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴AB 长为4
，离心率e =，O 为坐
标原点，过B 的直线l 与
x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H
为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．
20．. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422
2
=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
(1)求椭圆G 的方程 ； (2)求21F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请说明理由.
21．已知点P （4，4），圆C ：2
2
()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>有
一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
(Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； (Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．
22．已知椭圆()22
220y x C a b a b
：+＝1＞＞
，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；
（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若 曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．
23．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A
，0）三点，其中c ＞0．
（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；
（2）已知椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ， ⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
24．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：
2222a b ON OM +为定值．
25．已知,A B 分别是直线3y x =和3
y x =-上的两个动点，线段AB 的长为AB 的中点，点P 的轨迹为.C
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

26．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标
原点，设圆C 是△OAB 的外接圆(点C 为圆心)．
(1)求圆C 的方程；
(2)设圆M 的方程为(x －4－7cos θ)2＋(y －7sin θ)2＝1，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点为E 、F ，求CE ·CF 的最大值和最小值．
27．设A 为椭圆22
1259
x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及最小值．
28．已知椭圆2
2
14y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶
点，离心率为P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（本小题满分14分）
29．如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+b
y a x (0>>b a )相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；
⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交
于点A 、C 与点B 、D(均不重合)。

②
P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2221d d +的最大
值； ②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程。

(本小题满分16分)
30．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点， 2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
. (1)当13
λ=
时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围； (3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－1。