高中三角函数练习题附答案

高中三角函数练习题附答案
一、填空题
1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有零点之和为___________.
2．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11
tan tan A B
-的取值范围为___________. 3．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，2BC a =，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折到△A BE '的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角A DC B '--的平面角为
α，则当α最大时，cos α的值为______．
4．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a 满足12322e e +≤()
120a e e ⋅-≤，则
()
1232a e e a
⋅+的最大值是______.
5．已知函数()()2
1sin sin ,22
b
f x x x a a b R =+
-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则a b +的最大值是___________.
6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为
(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值
,,r r x
x y y
分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot
14
π
=； ②sin csc 1αα⋅=；
③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；
⑤2cot 1
cot22cot ααα
-=.
7．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k
-+，129k ≤≤，k ∈N ，则
12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______
8．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫
⎪⎢⎣⎭；
④()f x 在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为单递增函数.
9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23,3
a A π
==．若mb nc +（0,0m n >>）有最大值，则
n
m
的取值范围是__________． 10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足122
2
PA PC +=
的点P 有__________个.
二、单选题
11．设150a =，112ln sin cos 100
100b ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是
（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<
D ．b a c <<
12．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ
的取值范围是（ ）
A ．[),2ππ
B ．,
2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(),2ππ
D ．
,
2
13．已知,a b Z ∈，满足)
98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
15．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =，22AC =，3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．
927
π
B ．9π
C ．
1847
π
D ．18π
16．已知双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的
A ，
B 两点，设抛物线焦点为F ，若7
cos 9
AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．3或3
C ．5
D ．22
17．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下
0x =，0d =，则（ ）
A ．当x 增大时，θ先增大后减小
B ．当x 增大时，θ先减小后增大
C ．当d 增大时，θ先增大后减小
D ．当d 增大时，θ先减小后增大
18．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为
（ ） A 13B ．2 C 31 D ．319．设函数242,0
()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩
，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，
2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
20．在锐角ABC 中，若
cos cos sin sin 3sin A C B C
a c A
+=3cos 2C C +=，则a b +的取值
范围是（ ）
A ．(
B ．(
0,
C ．(
D ．(
6,
三、解答题
21．已知向量(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12
f x a b =⋅+
的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程2
2cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有
实数解，求实数a 的取值范围.
22．已知函数2()2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)f = （1）求a 的值；
（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围.
23
．将函数()sin 2g x x =向左平移
4
π
个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；
（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；
（3）若26x h t π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式
子表示）.
24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域. 25．已知函数()sin 2cos
cos 2sin
3
3
f x x x ππ=+.
（1）若对任意,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，都有
4f x m π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭成立，求实数m 的取值范围；
（2）设函数()1
226g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()g x 在区间[],3ππ-内的所有零点之和.
26．已知向量 2(2,22()),(
,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数
()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；
（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 27．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛
⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，最小值为
()g t .
（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）求()g t 的表达式； （3）当1
12
t -
≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 28．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的部分图象如图所示，把函数
()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.
（1）当17,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域
（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值
29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的图象如图所示：
（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；
（2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并
求此时12x x +的值.
30．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面
积为
2
3sin AD B
. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；
(2)若6,BC AB AD ==b ．
【参考答案】
一、填空题
1．7
2．⎛ ⎝⎭
3
4 5．1-
6．②④⑤
7．0
8．②③
9．1
,22
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
10．18
二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．A 15．A 16．B 17．C 18．C 19．B 20．D
三、解答题
21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或73
2
a +-. 【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212
f x x π
+
=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于
t 的方程，分离参数后进行求解.
【详解】 （1）因为(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=
-=>，
所以()2111cos 213sin cos 22222
x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6
x π
ω=-.
因为()f x 的最小正周期为π，所以22π
πω
=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212
f x x π
+
=.
因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，
所以22
(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.
令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，
则方程2
2cos 22cos 23301212a f
x x f x x a ππ⎡
⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
可化为()
2
222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.
因为0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛
⎫=-=-∈- ⎪⎝
⎭.
所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，
当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得3
2
t =（舍）；
当0a ≠时，则2
2230at t a +--=可化为2121
32t a t
-=-，
令221
32t y t
-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，
2
212(3)11(3)222u u y u u
⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯
1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，
因为7
u u
+
≥
u = 当1u =时，7
u u
+
取到最大值8，
所以3,1]y ∈
，所以13,1]a ∈，解得1a 或73
2
a +-
. 所以实数a 的取值范围是1a 或73
2
a +- 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.
22．（
1）a =（2）15,36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()
f x 表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】
（
1）2()2sin cos f x x x x a =-+
+
sin 2x x a =+
2sin 23x a π⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭
(0)f =
(0)2sin
3
f a π
∴=+=
即a =
（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，
[0,]x π∈，2,2333π
ππωπω⎡⎤∴+
∈+⎢⎥⎣⎦
，
()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，
223
π
ππωπ∴+
<，15
36
ω∴
<， ω∴的取值范围为
15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()2
12cos 12
t x x -=- 【解析】
（1）将()g x
⇒2y x =；再向左平移
4
π
个单位长度
⇒()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，最后代入()h x ，得答案；
（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以
max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；
（3）表示26x h π⎛⎫
- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以
12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式
和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】
（1）将函数()sin 2g x x =
得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到函数()
y f x =，所以()224f x x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭；
（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦，
所以2sin 22,3x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭
， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，
所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥
所以4b a -≥即b a -的最小值为4；
（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-
所以()()22
2
12221cos 2sin 12sin 1122
t x x x x -=-=-=-；
法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，
则有1202x x π
π＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =
②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，
则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =
③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，
所以()2
121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.
【点睛】
本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；
（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】
（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==， 所以333cos
cos sin sin cos()cos 2222222
x a x x b x x x
x -=+==⋅， ()222
2212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，
2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）()2
cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，
又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 25．（1）1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦；（2）2π
【解析】
（1）首先根据两角和的正弦公式得到()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，从而得到
4f x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的解析式，
根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围； （2）首先求出()g x 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答. 【详解】
解：（1）因为()sin 2cos
cos 2sin
3
3
f x x x π
π
=+
()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭， 所以
sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 故1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即
min 142f x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
1
2
m
， 所以实数m 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
（2）由（1）得(
)1
122sin 22sin 26263g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
令()0g x =
，得sin x =
sin x =[],3ππ-上有4个零点 这4个零点从小到大不妨设为1x ，2x ，3x ，4x ，则由对称性得
1222
x x π
+=-，34322
x x π
+=， 从而所有零点和为12342x x x x π+++=. 【点睛】
本题考查两角和的正弦公式的应用，三角函数的性质的应用，属于基础题. 26．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4
π
=
，再由函数f （x ）的图象过点
B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin
2
x π
，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝
2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；
（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12
sin x m π
=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数
y ＝sin
2
x π
的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．
【详解】
（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =
∴f （x ）222a b =⋅=⨯
（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴
242πω=，得ω4
π
=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，即sin2φ＝1．
∵0＜φ2
π
＜
，∴φ4
π
=
． ∴f （x ）＝1﹣cos2（4
4
x π
π
+
）＝1+sin
2
x π
，
由3222
2
2
k x k π
π
π
ππ+
≤
≤+
，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin
2
x π
，
∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，
∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12
sin x m π
=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，
即为函数y ＝sin
2
x π
的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．
在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：
①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．
【点睛】
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
27．（1）4-（2）22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫
=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩（3）
--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】
（1）直接代入计算得解；（2）先求出1
sin(2)[,1]42
x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合
二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】
（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛
⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以
48f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （2）因为[
,]242x ∈ππ
，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1
sin(2)[,1]42
x π-∈- 2()[sin(2)]614
f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ
）
当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2
min 5[()]54
f x t t =-+
当112t -
≤≤时，则当sin(2)4
x t π
-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14
x π-=时，2
min [()]82f x t t =-+
故22515421()61
1282(1)
t t t g t t t t t t ⎧⎛
⎫-+<- ⎪
⎪⎝⎭⎪⎪
⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪-+>⎪⎩
（3）当1
12
t -
≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2
()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()0
2(1)0h h ⎧
-≥⎪⎨
⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.
所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】
本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 28．（1
）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）26
5- 【解析】 【分析】
（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫
- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由
此求得17,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令
()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组
求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】
（1）根据图象可知171,4123A T ππ
==
- 2,2,()sin(2)T f x x T
π
πωϕ∴=∴=
==+ 代入7,112π⎛⎫-
⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫
+=-=+∈ ⎪⎝⎭
， ||,0,2
3
k π
π
ϕϕ<
∴==
()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
把函数()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
设26t x π
=-
，则5,34t ππ⎡⎤∈
⎢⎥⎣⎦
， 此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛
⎫=+∈- ⎪⎝
⎭
()()3[4,2]F x f x =-∈--
对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立 令()[4,2]t F x =∈--，
2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上
则max ()0h t ≤恒成立
而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值
则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)20
16(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-
⎪⎩
所以265m ≤-，则m 的最大值为26
5
-. 【点睛】
本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
29．（1）()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.
【解析】 【分析】
（1）根据图像得A=2,利用
412562T πππω=-=，求ω值，再利用6
x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】
（1）由图知，2,A =415624
2=T ππππ
ω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π
=
时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，
2,3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，解得2,6k k Z π
ϕπ=+
∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6
π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令26
2
x k π
π
π+
=
+则()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 所以()f x 的对称轴方程为()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤
⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，
所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，
()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<
5
22
a ∴≤<
, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()12f x f x =，有122266x x ππ
π+++=，
故123
x x π
+=.
【点睛】
本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．
30．（1）1
3
； （2
【解析】 【分析】
(1)先由ABC ∆的面积为2
3sin AD B 且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公
式和正弦定理即可求出结果；
(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】
(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为
2
6sin AD B
, 由三角形的面积公式可知:2
1sin 26sin AD AB BD B B ⋅⋅=
, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1
sin sin 3
BAD BDA ∠⋅∠=,
(2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =, 在ABD ∆中由正弦定理可得
sin sin BD AB
BAD BDA
=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠
由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1
sin ,sin 13
BDA BAD ∠=∠=,
()0,BAD π∠∈ ∴ ,
2
BAD π
∠=
在直角ABD ∆中1
3
AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==.
BC 2BD =,BC 6∴=
在ABC ∆中用余弦定理，可得222
12cos 13621633,3
b a
c ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.。