DSP第三章4-习题

例9. 已知 x(n)是N点的有限长序列，X (k ) DFT [ x(n)] ， 现将 x(n)的每两点之间补进 r 1个零值点，得到 一个rN点的有限长序列 y (n) x (n r ), n ir, i 0,1,..., N 1 y (n) 其他n 0, 试求rN点 DFT [ y (n)] 与 X (k ) 的关系。
0 k rN 1
X (k ) x(n)WNnk
n 0
ik Y (k ) x(i )WN i 0 N 1
N 1
0 k N 1
0 k rN 1
故 Y (k ) X ((k )) N RrN (k ) 离散时域每两点间插 入 r -1个零值点，相 当于频域以N为周期 延拓r次，即Y(k)周期 为rN。
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
解：
的单位园上10个等间隔采样，限长序列的 N点 DFT （闭合形式）：
(3) x ( n ) a n RN ( n )
nk 解：X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
ane
n 0
N 1
j
2 nk N
e (e e ) R (k ) 1 2 N 1 2 1 2 j ( k 0 ) j ( k 0 ) j ( k 0 ) e 2 N (e 2 N e 2 N )
j j j
0 N 2
0 N 2
0 N 2
0 N 0 N sin( ) N 1 sin( ) N 1 j k j 0 j k j 0 1 2 2 N 2 N 2 a e e RN ( k ) 1 2 sin( k 1 ) sin( k 0 ) 0 N 2 N 2
RN (k )
RN ( k )
n
ae n 0
N 1
2 j k N

1 aN 1 ae
2 j k N
RN ( k )
(4) x (n ) a cos(0n ) RN (n )
nk 解：X ( k ) x ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
1 1 e j0 N 1 e j0 N RN ( k ) a 2 2 j ( k 0 ) j ( k 0 ) 2 N 1 e N 1 e
N N N j 0 j 0 j 0 1 e 2 (e 2 e 2 ) a j 1 ( 2N k 0 ) j 1 ( 2N k 0 ) j 1 ( 2N k 0 ) 2 (e 2 e 2 ) e 2
故第二个序列满足这个条件
（2）要使 X (k ) 为虚数，根据DFT的性质:
xe ( n ) 0 x ( n ) xo (n ) Re[ X ( k )] 0 j Im[ X (k )]
x(n)为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚 部偶对称（以 n 0 为轴）。 又由图知，x(n) 为实序列，虚部为零，故 x(n)应 满足奇对称： x(n) x( n)
nk 解：由 X (k ) DFT [ x(n)] x( n)WN ,0 k N 1 n 0 N 1
得
Y (k ) DFT [ y ( n)] x (ir r )W
i 0 N 1 irk rN
rN 1 n 0
nk y ( n)WrN
ik x (i )WN i 0 N 1
当 k 2, 4, 6,... 时， 3 ( k ) 0 X 综上所得，第一个和第三个序列满足 X (k ) 0 k 2, 4,...
1 ( 1) k 1 e
j k 4

X 例8.已知 x(n) 是N点有限长序列， (k ) DFT x (n) 。 现将长度变成rN点的有限长序列 y (n)
j
2 nk 8

1 e j k 1 e
j k 4


1 (1) k 1 e
j k 4

当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0
序列2:

X 2 (k ) e
n 0
2
j nk 4

1 e
3 j k 4 j k 4
1 N 1 a
nk a nWN n 0 N 1
aW
n 0
N 1
k n N
1 IDFT [ X (k )] a n RN ( n ) 1 aN
对X ( z )在单位圆上N 点等间隔抽样，得周期序列： X (k ) X ( z )
X (k )的IDFS：
N 1 n 0
得
Y ( k ) DFT [ y (n )]
x ( n )e
n 0 N 1 j 2 nk rN
rN 1

n 0
nk nk y (n )WrN x ( n )WrN
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 k n N r
k X r
（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 X (k ) 成为实数？ （2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 （除 X (0) 外）成为虚数？ X (k ) k （3）哪些序列能做到 X (k ) 0 ， 2, 4, 6,...
解: （1）要使 X (k ) 为实数，根据DFT的性质: x(n ) x (n ) Re[ X (k )]
k lr, l 0,1,..., N 1
X ( k ) x ( n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
0 k N 1
k Y (k ) X r
k lr, l 0,1,..., N 1
相当于频域插值 在一个周期内，Y (k)的抽 样点数是X (k)的r倍( Y (k) 的周期为Nr)，相当于在 X (k)的每两个值之间插 入r-1个其他值（不一定 为零），而当k为r的整数 l倍时，Y (k)与X (k / r)相 等。
即最小记录长度为0.1s。
1 T0 s 10
1 1 （2）因为 f s 103 10kHz ，而 f s 2 f h T 0.1 1 f h f s 5kHz 2 即允许处理的信号的最高频率为 5kHz 。 T0 0.1 （3） N 103 1000 T 0.1 又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的 最少点数为 N 210 1024
直接计算较难
两边取DFT
X ( K ) X ( K )WNK N N ( K )
N [ ( K ) 1] X (K ) K 1 WN N X (K ) K 1 WN
例7. 如图画出了几个周期序列 x(n) ，这些序列可 以表示成傅里叶级数 1 N 1 x ( n) X ( k )e j ( 2 / N ) nk N k 0
x(n), 0 n N 1 y ( n) N n rN 1 0, 试求rN点 DFT y (n) 与 X (k ) 的关系。
解：由 X (k ) DFT [ x(n)] x(n)e
n 0 N 1 j 2 nk N
,0 k N 1
1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0

序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
a n rN u ( n rN )RN ( n ) a n rN RN ( n )
r 0 n


a
a
N r 0

r
1 a n RN ( n ) RN ( n ) 1 aN
例5、令：
表示
的傅氏变换
y(n)表示长度为10的一个有限长序列，Y(K)=DFT[y(n)] 相当于
b)N为奇数
2）
N为偶数，X(N/2)成立
而
x n a n u n ,0 a 1, 现对于x(n) 例4. 已知序列 的 z 变换在单位圆上 N 等分抽样，抽样值为
X k X z
z WN k e
j
2 k N
试求有限长序列的N点 IDFT X k
解：由x (n ) a n u(n ), 0 a 1
得X ( z ) x ( n ) z
n 0 n
1 1 1 az 1 k 1 aWN
X (k ) X ( z )
z WN k
1 1 az 1
z WN k
1 1 a NWNNk 1 N k N 1 a 1 aWN 1 a
xN (n)
N点

z WN k

n


nk x ( n )WN
r
x(n rN )
X ( k ) X ( k ) RN ( k )
x '(n) IDFT [ X (k )]
xN (n ) RN ( n )
N越大， x`(n)越逼 近x(n)

r
例1、如果 为周期为N的周期序列，那么它 也是周期为2N的序列，
令： 为 周期为N的DFS
为
由
解：
周期为2N的DFS
P119-5
确定
令：
K为偶数
K=0,1,2,3……2N-1
0
K为奇数
例2、有限长序列的DFT为序列在单位园上ZT的取样， 若有一个10点序列x(n)的DFT，我们希望找出半径为 1/2的围线上X(Z)等间隔取样，即：
证明：如何修改x(n),以获得一个新序列x1(n),使 x1(n)的DFT对应所希望的X(Z)取样。
解：
对于右图，
例3、令X(K)为N点序列x(n)的N点DFT
1)证明:若x(n)=-x(N-1-n),则X(0)=0 2)当N为偶数时，若x(n)=x(N-1-n),则X(N/2)=0
证：1) 当K=0时 a)N为偶数
例10.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施， 要求频率分辨力 10Hz，如果采用的抽样时间间 隔为0.1ms， 试确定：（1）最小记录长度； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数。
1 解: （1）因为T0 ，而F0 10 Hz ，所以 F0
a cos(0n )e
n 0
N 1
j
2 nk N
RN (k )
2 j nk N 1 j0n 1 a (e e j0n )e N RN (k ) 2 n 0 2 2 1 N 1 j ( N k 0 ) n N 1 j ( N k 0 ) n a e e RN ( k ) 2 n 0 n 0
e
xo (n ) 0
j Im[ X ( k )] 0
x(n)为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部 奇对称（以 n 0 为轴）。 又由图知，x(n) 为实序列，虚部为零，故 x(n)应 满足偶对称： x(n) x(n) 即 x(n) 是以 n 0 为对称轴的偶对称