精编2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题模拟考试题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2
解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则
(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2 sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4 因此当sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.
2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )5
13 (B )
5
17 (C )
292
1
(D )
1295
1
3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为9
8
，则λ等于( ) (A )2 (B )－2
(C )－2或
55
2 (D )2或55
2
-
4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若
c b a ===1,,，则下列式子中与B 1相等的是( )
(A )c b a ++-21
21 (B )
c b a -+21
21 (C )c b a -+-2
1
21
(D )c b a +--2
1
21
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
5．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件
．
6．在空间直角坐标系中，已知点()1,0,2A ，()1,3,1B -，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ▲ ；
7．（理科做）在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面
1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60︒，则向量AM 的长
=|| ．
8．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，
，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于
9．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 10．已知空间向量(1,,1)a λλλ=---，(,1,1)b λλλ=---的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_____________
11．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为
12．线段AB 在平面α 外，A ，B 两点到平面α 的距离分别为1和3，则线段AB 的中点C 到平面α 的距离为______．
13．已知点A (1，2，0)，B (－2，1，3)，若点P (x ，y ，z )为直线AB 上任意一点，则直线AB 的向量参数方程为(x ，y ，z )＝______，若BP AP 2=时，点P 的坐标为______.
14．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______．
15．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______
16．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．
三、解答题
17．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．
18．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2
．
（1）求PC 的长；
（2）求钝二面角1A A B P --的大小．
19．如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，,2==PA AD
,22=CD F E ,分别是
AB 、PD 的中点．
（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ）求证：平面⊥PCE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角D EC F --的大小．
20．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：B1E ⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B1AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角A-B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长. 【2012高考真题福建理18】
21．如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．
P
A B C
D 1A
1B
1C
1D
（第22题图）
D
A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M
E
. ·
M D
B
C
A
O
(第22题图)
【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）
第19题图
22．如图5，在椎体P ABCD -中，
ABCD 是边长为1的棱形，且
060DAB ∠=,PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，
（1） 证明：AD DEF ⊥平面
（2）求二面角P AD B --的余弦值。

(2011年高考广东卷理科18)
23．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．
24．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，
2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

A
B
C
D
E
F
H
(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ； (Ⅲ)求二面角B DE C --的大小。

25．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F,
(1)求证：A1C⊥平面EBD；
(2)求点A到平面A1B1C的距离：
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．
26．三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝B C．
(1)求AC与平面SBC所成角的大小．
(2)求二面角A－SC－B的大小．
27．
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AB中点，求二面角A1－EC－B的余弦值．
28．已知向量a＝(－2，1，－2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c与向量a，b共面，求实数x的值．
29．
2．已知向量a＝2i＋j＋3k,b＝－i－j＋2k，c＝5i＋3j＋4k，求证向量a，b，c共面．
30．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，M，N分另是A1D1，D1D，BC，BB1的中点．
求证：平面EFC1∥平面AMN．。