2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期2月期末数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市高二上册2月期末数学
模拟试题
一、单选题
1．直线220x y -+=在x 轴上的截距是（）A ．1
B ．1
-C ．2
-D ．2
【正确答案】C
【分析】根据直线在坐标轴上的截距的定义，建立方程，可得答案.【详解】将0y =代入直线方程220x y -+=，可得20x +=，解得2x =-.故选：C.
2．双曲线2
2
13
x y -=的一个焦点的坐标为（
）A ．(0,2)B ．(2,0)
C ．
D ．
【正确答案】A
【分析】由双曲线的标准方程结合a ，b ，c 的关系求出c 的值即可得到结论．
【详解】双曲线2
2
13
x y -=的焦点在y 轴上，且2134c =+=，
所以焦点坐标为(0,2)±．故选：A.
3．某汽车集团公司大力发展新能源汽车，已知2021年全年生产新能源汽车4500辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量是前一年的160%，那么2030年全年生产新能源汽车（）
A ．745001.6⨯辆
B ．845001.6⨯辆
C ．945001.6⨯辆
D ．1045001.6⨯辆
【正确答案】C
【分析】依题意知产量符合等比数列，且公比 1.6q =，首项为4500，利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】依题意知产量符合等比数列，且公比 1.6q =，首项为4500，故2030年产量为945001.6⨯．故选：C.
4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,5)-关于z 轴的对称点的坐标为（）
A ．(1,2,5)
-B ．(1,2,5)
---C ．(1,2,5)
-D ．(1,2,5)
--
【正确答案】C
【分析】根据在空间直角坐标系中，点的坐标表示及对称性求解.【详解】点关于z 轴对称时，z 不变，x 与y 变为相反数，所以点(1,2,5)-关于z 轴的对称点的坐标为(1,2,5)-.故选：C.
5．如图，某种探照灯的轴截面是抛物线2y x =（焦点F ），平行于对称轴的一光线，经射入点A 反射过F 到点B ，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A 到反射点B 的光线距离AB 最短时点A 的坐标是（
）
A ．11,42⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．1,22⎛ ⎪
⎝⎭
C ．(1,1)
D ．【正确答案】A
【分析】由AB 过点F ，所以当AB 为通径即AB x ⊥轴时，AB 最小，由此即可求得点A 的坐标.【详解】由AB 过点F ，所以当AB 为通径即AB x ⊥轴时，AB 最小，此时14A x =
，则2
14A y =，所以12A y =，则点A 的坐标是11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
“AB x ⊥轴时，AB 最小”的证明：法一：设AB 倾斜角为α，由22sin p AB α
=，当π
2α=即AB x ⊥轴时，min ||21AB p ==；
法二：设1:4AB l x ty =+
，与2y x =联立得2
1 04
y ty --=，所以14
A B y y =-，所以22
116A B A B x x y y ==，所以116B A x x =，
又1111121622A B A A AB x x x x =++=++≥+=，当且仅当1
4
A x =时取等号．故选：A.
6．若直线23y kx k =+-与圆224570x y y ++-=相交于不同两点A ，B ，
则弦AB 长的最小值为（）
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【正确答案】B
【分析】先求出直线过的定点(3,2)M ，且M 在圆内，然后求出圆心C 和半径，根据圆的性质得，弦AB 过M 且AB CM ⊥时弦长最短，从而可以求解．【详解】由直线23(3)2y kx k k x =+-=-+，令3x =，解得2y =，所以直线过定点(3,2)M ，又223242570++⨯-<，故(3,2)M 在圆内．
由22224570(2)61x y y x y ++-=⇒++=，记圆心为(0,2)C -
，半径r
所以5CM =，
根据圆的性质，当弦AB 过M 且AB CM ⊥
时弦长最短，此时弦长
12AB =.
故选：B.
7．已知数列{}n a 满足：()112,11n n n a a a a +==-+，给出两个结论：①202312320221a a a a a =+ ；②
1232023
11111a a a a +++> ，则（）
A ．①成立，②成立
B ．①成立，②不成立
C ．①不成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
【正确答案】B
【分析】由累乘法可得112111
11
n n n a a a a a a ++-⋅⋅⋯⋅=
=--，令2022n =即可验证①成立；由累加法可得12111111111111n n n n a a a a a a ++++⋯+=-=----，所以121111n
a a a ++⋯+<，可判断②不成立.【详解】解：由()()2
2
11112110n n n n n n
n n a a a a a a a a ++=-+⇒-=-+=-≥，故112n n a a a +≥≥≥= ，又12a =，所以112n n a a a +>>=，又()111n n n a a a +-=-，则
111n n n a a a +-=-，累乘得：112111
11
n n n a a a a a a ++-⋅⋅⋯⋅==--，所以20231220221a a a a =+⋅ ，①正确；由()()111111111
11n n n n n n n n a a a a a a a a ++-=-⇒=
=----，则1111
11
n n n a a a +=---，
累加得：12111111111
1111
n n n a a a a a a ++++⋯+=-=----，由111110n a a +->-=>，故
121111n
a a a ++⋯+<，故②错误．
故选：B
8．已知圆22:(2)1M x y +-=，抛物线2:2P x y =，过点(2,2)A 作圆M 的两条切线AB ，AC ，点B ，C 在抛物线P 上，过B ，C 分别作x 轴的平行线交P 于F ，E 两点，则四边形BCEF 的周长为（）
A ．
43
+
B ．4+
C ．83
+
D ．8+【正确答案】C
【分析】设过(2,2)A 的直线为(2)2y k x =-+，由直线和圆相切求得k ，直线与抛物线的方程联立，运用韦达定理求得B 、C 的横坐标，得到BC ，进而可得解．
【详解】
设过(2,2)A 的直线为：(2)2y k x =-+，
由直线与圆相切，则
1d k =
=⇒=，点(2,2)A 在抛物线2:2P x y =上，
联立()22
22
24402y k x x kx k x y ⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩
，由题意，点(2,2)A 的横坐标2A x =为方程的一根，另一根设为0x ，由韦达定理得044A x x k ⋅=-，则022
x k =-
又3
k =，可得B 、C 的横坐标分别为：2,2B C x x ==-，
则3
BC =，
故四边形BCEF 的周长为：2228B C BC x x ++=+故选：C.二、多选题
9．在正方体1111ACBD A B C D -中，设1,,AB a AD b AA c ===
，则（
）
A ．()0
a b c +⋅= B ．π,3
a b b c <++>=
C ．22211
2AC AC a b c a b ⋅=++-⋅
D ．1BD b c a
=+- 【正确答案】ABD
【分析】结合图象，利用1,,AB a AD b AA c === 去表示4个选项中所涉及到的向量，且,,a b c
两
两垂直，借助数量积的运算法则得到答案.
【详解】
A 项：1
11()()0a b c AB AD AA AB AA AD AA +⋅=+⋅=⋅+⋅=
，正确；B 项：1,a b AC b c AD +=+=
，连1CD ，则11AC AD CD ==，故1π,3
AC AD <>= ，正确；
C 项：2222211()()()2AC A C a b c a b c a b c a b c a b ⋅=++⋅+-=+-=+-+⋅
，错误；
D 项：11
BD BA AD AA a b c =++=-++ ，正确．故选：ABD
10．已知曲线2
2:cos 1(0π)sin x M y θθθ
+=<<，则（
）
A ．M 既不可能是抛物线，也不可能是圆
B ．当π
02
θ<<
时，M 是一个焦点在x 轴上的椭圆C ．M 不可能是焦点在y 轴上的双曲线D ．M 可能是两条平行的直线【正确答案】ACD
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.【详解】A 项：若M 是圆，则
1
cos 0sin 22sin θθθ
=>⇒=，无解，由于无一次项，故不可能是抛物线，正确；
B 项：若M 是焦点在x 轴上的椭圆，则1
sin 0sin 22cos θθθ
>
>⇒>无解，错误；C 项：由(0,π),sin 0θθ∈>，为双曲线时cos 0θ<，此时焦点只能在x 轴上，正确；D 项：当cos 0θ=即π
2
θ=时，21,1x x ==±为两条平行直线，正确．故选：ACD.
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：n
9
0n a S =>则（）
A ．13
a =B ．23
a >C ．()
*
1n n a a n +<∈N D ．1
n n
a q a +=（q 为非零常数，*n ∈N ）【正确答案】AC 【分析】借助n
9
0n a S =
>给n 赋值可计算12,a a ，利用递推式判断()*1,n n a a n +∈N 的关系.【详解】A 项：令1n =，则2
19a =，又0n a >，所以13a =，A 正确；
B 项：令2n =，则2
2122222
99390S a a a a a a =⇒+=⇒+-=，
所以23a =
<，B 错误；C 项：由1199
,n n n n S S a a ++==
，所以11111
9990n n n n n n n n n a a S S a a a a a +++++-==--=>，所以1n n a a +<，C 正确；D 项：由C 知11
99n n n a a a ++=-，所以211119n n n a a a ++=-≠常数，D 错误．
故选择：AC.
12．已知椭圆22
:194
x y Q +=，O 是坐标原点，P 是椭圆Q 上的动点，12,F F 是Q 的两个焦点（
）
A ．若12PF F △的面积为S ，则S 的最大值为9
B ．若P
的坐标为1,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则过P 的Q
的切线方程为90
x +-=C ．若过O 的直线l 交Q 于不同两点A ，B ，设PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则124
9
k k =-
D ．若A ，B 是Q 的长轴上的两端点，P 不与,A B 重合，且0,0AR AP BR BP ⋅=⋅=
，则R 点的轨迹
方程为229481x y +=【正确答案】BCD
【分析】对A ：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；对B ：设切线方程，与椭圆方程联立，结合Δ0=运算求解；对C ：利用点差法分析运算；对D ：法一：利用点差法的结论分析可
得9
4
AR BR k k ⋅=-，运算求解；法二：利用相关点法，根据题意用点R 的坐标求点P 的坐标，运算
求解.
【详解】由椭圆22
:194
x y Q +=
可得3,2,a b c ===，
设点()00,P x y ，A
项：12001
2
S F F y =
⋅=≤P 为短轴上的顶点时等号成立，A 错误；B 项：显然过P 处切线的斜率存在，设为k ，则切线方程为(
)13
y k x =-+
，联立方程(
)22131
9
4y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得(
)
2
22
9418936033k x k k x k ⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
则(
)22
2
184949360
33k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥∆=--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
，
整理得()
2
10-=
，解得6
k =故过P
处切线方程为：(
)163
y x =
-+
，即90x +-=，B 正确；C 项：设()11
,A x y ，则()0101
110121
10,,,y y y y B x y x k x x x k ==-+---+，则22
00
22
111941
94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222
20101094x x y y --+=，则010*******
01100149y y y y x x x x y y x x ---+=⋅=--+，即124
9
k k =-，C 正确；D 项：法一：当R 不与,A B 重合时，
由C 知：49
AP BP k k ⋅=-，
∵1AR AP k k ⋅=-，1BR BP k k ⋅=-，所以1AR BR AP BP k k k k ⋅⋅⋅=，
所以9
4
AR BR k k ⋅=-，
设(,)R x y ，则(3,0),(3,0)A B -，,3
3AR BR y k k y x x +=-=
，
可得
934
3y x y x -⋅=-+，整理得()2294813x y x +=≠±；当R 与,A B 重合时，满足题意，符合上式；综上所述：R 的方程为229481x y +=，D 正确.法二：设(,)R x y ，则(3,0),(3,0)A B -，
可得()()()()00003,,3,,3,,3,AR x y AP x y BR x y BP x y =+=+=-=-uu u r uu u r uu r uu r ，∵()()()()0000330330AR AP x x y y BR BP x x y y ⎧⋅=+++=⎪
⎨⋅=--+=⎪⎩
，解得02
09x x yy x =-⎧⎨=-⎩，由点()00,P x y 在椭圆Q 上，可得22
00194
x y +=，则()222
20
0936y x yy y +=，即()
2
222249936y x x y +-=，整理得224981y x +=，D 正确.
故选：BCD.
方法定睛：求点的轨迹常用方法：
1.直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；
2.定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；
3.相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；
4.参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程.三、填空题
13．若三条直线310,30x y x y -+=++=与20kx y -+=能围成一个直角三角形，则
k =__________．
【正确答案】1
3
-或1
【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为1-，求解即可.【详解】显然，3x -y +1=0，x +y +3=0有交点，
若310x y -+=与20kx y -+=垂直，则1
313
k k =-⇒=-；
若30x y ++=与20kx y -+=垂直，则11k k -=-⇒=．所以1
3
k =-或1．
故13
-或1
四、双空题
14．如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度30m AB =，拱高5m OP =，建造
时每间隔6m 需要用一根支柱支撑，则支柱11A P 的高度等于__________m （精确到0.01m ）．若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，则圆拱所在圆的标准方程是__________．
22.91=====．
）
【正确答案】 3.32
222
(20)25x y ++=【分析】设拱形所在圆的圆心为H ，半径为r ，由题意圆心H 在y 轴上，由2
2
2
HA HO AO =+可求得25,20r HO ==，圆心(0,9)H -，可得圆的方程；由题意设1(9,),0y P y ->，代入圆的方程可求支柱11A P 的高度．
【详解】设拱形所在圆的圆心为H ，半径为r ，由题意圆心H 在y
轴上，如图，
则222
222(5)1525,20HA HO AO r r r HO =⇒==++-⇒=，则圆的标准方程为：222(20)25x y ++=．
由题意设1(9,),0y P y ->，代入圆的方程得222(9)(20)25y -++=，
解得2023.3220 3.32y -=-=，即1(9,3.32)P -，则11 3.32A P =.故3.32；222(20)25x y ++=.五、填空题
15．已知数列{}n a 满足：11a =，且数列{}1n n a a +-是等比数列，数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，试写出数
列{}n a 的一个．．
通项公式：__________．【正确答案】1
2n n a -=（答案不唯一）.
【分析】因为数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，
取1n n a a +为非零常数列，所以令(1n n a c c a +=为非0常数且1c ≠），即可求出{}n a 是通项公式，再验证数列{}1n n a a +-是等比数列即可.【详解】解：因为数列1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列，取1n n a a +为非零常数列，
令(1
n n
a c c a +=为非0常数且1c ≠），则{}n a 是以11a =为首项，c 为公比的等比数列，
所以1
n n a c -=，此时()1111n n n n n a a c c c c --+-=-=-是等比数列，符合题意，
事实上，取1
(1)n n a c c -=≠皆符合．
例如
1
2n n
a a +=，则12n n a -=，此时112n n n a a -+-=，为等比，符合题意，故1
2n n a -=（答案不唯一）.
16．已知双曲线22
22
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>
，其离心率e ，直线():1l y kx k =≠±的，若l 与C 交
于A ，B 两点，过A 点作C 的其中一条渐近线的垂线，其垂足为M ，连接MB ，则MAB △的面积为__________．（可用a ，b ，k 表示）
【正确答案】22a （或22
b 或2222a b a b +）
【分析】根据对称性2MAB AOM S S = ，直线和双曲线联立，表示出,OA OM ，利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】
由e =a b =，所以222x y a -=，不妨考虑直线l 和双曲线的交点在一三象限，
且第一象限交点是A ，根据对称性可知OA OB =.如图，设,0AOx k θ∠=>，则
221tan ,cos 21k k k θθ-==+，()
222
2221y kx k x a x y a =⎧⇒-=⎨-=⎩
，则A ⎛⎫⎪⎭
，则||OA =πcos 4OM OA θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21πππ22||||sin cos sin 2444MAB AOM S S OA OM OA θθθ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△222
2222
11111cos 222112
k k OA a a k k θ+-==⋅⋅=-+，由于a b =，也可写成212b 或222
2a b a b +．故22a （或22
b 或22
22a b a b +）六、解答题
17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，(1)求双曲线C 的离心率e
(2)若直线2y x =+与C 相交于不同的两点A ，B
，且||AB =C 的方程．【正确答案】
(2)2241
x y -=【分析】（1）由双曲线C 的渐近线方程结合222c a b =+即可求出双曲线C 的离心率e ；（2）联立直线与双曲线C 的方程，由弦长公式代入求解即可.
【详解】（1）可设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为b y x a
=±，
所以
2,2,b
b a
c a
====，
所以离心率c
e a
=
=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则由22
222,1
4y x x y a a =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩得2234440x x a ---=，所以2
1212444,33
a x x x x ++==-，
因为
12||AB x =-=
3
=
，得1,12a b ==，故双曲线C 的方程为2241x y -=．
18．已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，过D 作C 的两条切线，切
点分别为A ，B ．
(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．
【正确答案】(1)C 的焦点为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为12y =-；
(2)2210x y -+=(3)证明见解析
【分析】（1）由点P 代入得1
2
a =
，即可求出抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）法一：设()()1122,,,A x y B x y ，因为y x '
=，所以切线DA 的斜率1DA
k x =，再由11
11
21
y x x +
=-，
即可求出直线DA ，同理求出DB 的直线方程，即可取出直线AB 的方程；法二：设其中一条切线的斜率为k （显然存在），则切线方程为1
(1)2
y k x +
=-，联立直线与抛物线的方程由Δ0=求出k ，即可求出A 、B 两点的坐标，即可求出直线AB 的方程；
（3）由（2）知：11
11
2y x x t
+
=-，所以112210tx y -+=，令10x =，即可求出直线AB 过的定点.
【详解】（1）由点P 代入得12a =
，所以C 的焦点为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为12y =-；
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，此时11,2D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，则22
11222,2x y x y ==，
因为y x '
=，所以切线DA 的斜率1DA
k x =，即121111
1112,12
y x x x y x +
=-=+-，
所以112210x y -+=（1）同理可得222210x y -+=（2）
所以由（1）、（2）可得直线AB 的方程为2210x y -+=；
法二：设其中一条切线的斜率为k （显然存在），则切线方程为1
(1)2
y k x +=-，由()
21122y k x x y ⎧
+=-⎪⎨⎪=⎩
得22210x kx k -++=，所以由Δ0=
得2210,1k k k --==，
不妨设11
:(11),:(11)22DA y x DB y x +=-+=-，
可解得331122A B ⎛⎛-++ ⎝⎝，所以AB 的斜率1AB k =，
得直线AB
的方程为3(12y x ⎛-=- ⎝即2210
x y -+=（3）由（2）知：11
11
2y x x t
+
=-，所以112210tx y -+=，
同理可得222210tx y -+=，显然直线AB 经过定点10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
．
19．记*
1231231
1
,,n
n
i n i n i i x x x x x x x x x x n ===++++=⨯⨯⨯⨯∈∑∏N ，已知数列{}n a 和{}n b
分别满足：
2
21
1
,n
n
n
n
i
i i i a
n b +====∑∏．
(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)求1n
i i i a b =∑．
【正确答案】(1)21n a n =-；3
n
n b =(2)1
1
3(1)3n
n i i i a b n +==+-⨯∑【分析】(1)根据题意可知数列{}n a 的前n 项和1
n
n i i S x ==∑，
进而可求解{}n a 的通项公式；而1
n
n n T b T -=即可求解；
(2)由（1）知(21)3n
n n a b n =-⨯，结合错位相减法求解即可.
【详解】（1）设1
1
,n
n
n i n i i i S x T x ====∑∏，则
当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，22
1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．
经检验，当1n =时，满足21n a n =-，所以21n a n =-；
当1n =时，113b T ==；当2n ≥
时，2
213n n
n n n n n T b T +-===，当1n =时，满足3n n b =，所以3n
n b =．
（2）由（1）知(21)3n
n n a b n =-⨯，则2
31
1333
53(21)3n
n
i i i a b n ==⨯+⨯+⨯++-⨯∑ ，①
23411
3133353(23)3(21)3n n n i i i a b n n +==⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯∑ ，②
由①-②相减得：()2311
12323333(21)3
n
n n i i i a b n +=-=+++++--⨯∑ 111
9332(21)36(22)3
13
n n n n n +++-=+⨯--⨯=---⨯-故1
13(1)3n
n i i i a b n +==+-⨯∑20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,2BC AD BC AB AD BC ⊥=∥，，侧棱SA ⊥平面SCD ，AS AB BC ==，E 是AD
的中点．
(1)求证：BE ⊥平面SAC ；
(2)求直线AB 与平面SBD 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析
(2)11
【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；
（2）法一：建立空间直角坐标系，分别求出直线AB 的方向向量与平面SBD 的法向量，再由线面角的向量公式代入即可得出答案；
法二：由等体积A SBD S ABD V V --=求出A 点到平面SBD 的距离，再由sin h
AB
θ=
，即可得出答案.【详解】（1）因为E 是AD 的中点，所以AE BC ∥且AE BC ∥，ED BC ∥且ED BC ∥，所以由条件可知ABCE 是正方形，BCDE 是平行四边形，
所以BE AC ⊥，
因为SA ⊥平面SCD ，所以SA CD SA BE ⊥⊥，，
因为SA AC A ⋂=，SA AC ⊂、平面SAC ，所以BE ⊥平面SAC ；（2）设AC BE O =I ，则（1）得BE SO ⊥，在直角梯形ABCD
中，AC =，又因为SA ⊥平面SCD ，得SA SC ⊥，所以ASC 为等腰直角三角形，因为O 为斜边的中点，所以SO AC ⊥，所以SO ⊥平面ABCD ，
法一：建立如图直角坐标系，
不妨设1OB =，
则(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,0)A B S D --，(1,1,0),(0,1,1),(1,3,0)AB BS BD =--==-
，设(,,)n x y z =
是平面SBD 的一个法向量，则由
0,0n BS n BD ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩ 得0,30
y z x y +=⎧⎨-+=⎩，则可取(3,1,1)n =- ，
所以||sin |cos ,|||||
AB n AB n AB n θ⋅=〈〉==⋅∣
法二：因为A SBD S ABD V V --=，所以11
33
SBD ABD S h S SO ⨯=⨯△△，
也不妨设1BO =
，所以
2,1,2
ABD SBD AB AD S SO SB BD SD S ========
△△，
所以11h h AB θ=
==．
21．为了促销，某大型电器商场，对某种型号的进口电视机销售进行分期付款，规定：现场购买时先付款
14
，其余的3
4在2年（24个月，不得提前）内每月（首付日后的第30天）固定支付等
额数量的钱（设A 元），以一月为一期计算复利，已知此电视机每台售价为24000元，月息0.45%．[温馨提示：分期付款公平交易原则：余款和分期付款的已付款均有利息收入．]
(1)若有本金18000元，月息0.45%，复利计，求经过24个月后的本息和；（精确到1元）(2)求A 的值．（精确到1元）
（可用参考数据：22232425
1.0045 1.104,1.0045 1.109,1.0045 1.114,1.0045
1.119====）【正确答案】(1)20052(2)792
【分析】（1）根据复利计算本息和的规则，结合等比数列的通项公式求解即可；（2）利用等比数列的求和公式建立方程关系即可得到结论．
【详解】（1）经过1个月后本息和为：180********.45%18000(10.45%)+⨯=+，经过2个月后本息和为：18000(10.45%)18000(10.45%)0.45%+++⨯218000(10.45%)=+……
经过24个月后本息和为：2418000(10.45%)+24180001.004520052=⨯≈；（2）设每月付款金额A ，月息0.45%，则经过1个月后本息和为：A ，
经过2个月后本息和为：(0.45%)(10.45%)A A A A A ++⨯=++，经过3个月后本息和为：
[(10.45%)][(10.45%)]0.45%A A A A A ++++++⨯[(10.45%)](10.45%)A A A =++++2
(10.45%)(10.45%)A A A =++++……
经过24个月后本息和为：
223
(10.45%)(10.45%)(10.45%)
A A A A +++++++ ()2424
1.004511(10.45%)1(10.45%)
0.0045
A A ⎡⎤--+⎣⎦
=
=
-+，
所以()2424
1.00451180001.00450.0045
A -⨯=
，得180001.1140.0045
7921.1141
A ⨯=
≈-⨯．
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为
2
，且四个顶点构成的四边形面积等于(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左焦点为F ，若直线l 过定点(0,1)且与椭圆C 相交于A ，B 两点，求||||FA FB +的最大值．【正确答案】(1)2
2
1
8
4
x y +
=
(2)1
+【分析】（1）根据离心率，四边形的面积列方程组求出,,a b c 即可；
（2）先讨论斜率不存在和斜率为零时候||||FA FB +的取值，当斜率存在且不等于零时，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理求解.
【详解】（1
）由条件可得：2142
c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩
，解得2a b ==，于是椭圆的标准方程为：2
2
1
8
4
x y +
=（2）可知(2,0)F -，
①当直线的斜率不存在时，l 为0x =，所以不妨可取(0,2),(0,2)A B -
，所以||||FA FB +=；②当直线l 的斜率0k =时，l 为1y =，由221
184y x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩
，不妨取(A B
，
||||FA FB +=③当直线l 的斜率存在且0k ≠时，可设l 为1y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，
则22221,
+184
x k x y ⎧=+⎪⎨=⎪
⎩得()22
21460k x kx ++-=，所以122421k x x k +=-+，
不妨取
)11442FA =
+=+
，同理可得)242
FB x =
+
，所以()1282FA FB x x +=++，
所以1
212FA FB k k ⎛
⎫⎪
+=-
⎪⎪+⎝⎭
，要想取到最大值，需考虑0k <，根据基本不等式，
12k
k
-+
≥=-
此时12k k
+
≤-（当且仅当k =“=”成立），所以1FA FB +≤，又可知
2
32=，
1=<+max ()1FA FB +=．。