【初中教育】2019最新北师大版初中数学九年级3-2《用公式法求解一元二次方程》
数学北师大版九年级上册用公式法法求解一元二次方程
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? c 2 b 1.化1:把二次项系数化为1; 解 :x x 0 .
a a b c 2 x x . a a
2
b b c 2 b x x . a 2 a 2 a a
2 b b 4 ac . x 2 a 4 a 2 2
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
2 当 b 4 ac 0 时 ,它的根是 :
2 b b 4 ac 2 x .b 4 ac 0 . 2 a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式 . 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 (solving by formular). 提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
2.3 用公式法求解一元二次方程
学校：马合中学 授课人：罗鹏玲
回顾与复习
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a 、b、c 的值. 2、求出 b 4ac 的值，
2
b b 4 a c 3、代入求根公式 : x , 2 a
九年级数学北师大版上册 第2章《用公式法求解一元二次方程》教学设计 教案
教学设计用公式法求解一元二次方程一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下七个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：公式的运用；第四环节：巩固运用；第五环节：感悟与收获；第六环节：检测反馈；第七环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固1.一元二次方程的一般形式是_____________________________________2.一元二次方程 0962=-+x x 二次项系数a 为____，一次项系数b 为_______， 常数项c 为________，ac b 42-=____________3.方程01872=--x x 的解为_____________________第二环节 公式的推导活动内容：配方法推导一元二次方程的求根公式提出问题：解一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a ≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。
北师大版九年级数学课件-用公式法求解一元二次方程
心動 不如行動 公式法將從這裏誕生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 嗎?
解 : x2 9 x 4 0.
1.化1:把二次項係數化為1;
2 x2 9 x 4.
2.移項:把常數項移到方程的右邊;
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
x
2
9
2 4
17
.
4
4 16
3.配方:方程兩邊都加上一次項 係數絕對值一半的平方; 4.變形:方程左邊配方, 右邊合併同類項;
x 9 17 . 44
x 9 17 .
5.開方:根據平方根意義, 方程兩邊開平方;
6.求解:解一元一次方程;
44
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
7.定解:寫出原方程的解.
心動 不如行動 公式法是這樣產生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 嗎?
解 : x2 b x c 0.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒 ,解題大師——規範正確!
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3y2 1 2 3y.
參考答案:
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
.
我最棒 ,會用公式法解應用題!
一個直角三角形三邊的長為三個連續偶數,求這個三角 形的三邊長.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
2019-北师大版九年级数学上册第2章第3节用公式法解一元二次方程(共30张PPT)-文档资料
x1 b
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左边分解因式,右
x2 b
b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
7.定解:写出原方程的解.
边合并同类项;
2、用公式法解下列方程
（1） x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）2x2-9x+8=0 （4）9x2+6x+1=0
（5）16x2+8x=3 （6）x(x-3)+5=0 3、一个直角三角形三条边的长为三个连 续的偶数，求这个三角形的三条边长。
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
即
x
1
2
3
2 9
0，所以
x
1
2
3
2 9
因为- 2 0，所以原方程无解. 9
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0.
学习新知
aa
1.化1:把二次项系数化为1;
5.开方:根据平方根意义,
x2 b x c .
.
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
∵b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
解列方程 2x2+3=7x
解:2x2-7x+3=0
数学北师大版九年级上册用公式法解一元二次方程.3 用公式法求解一元二次方程演示文稿
作业
1、课本47页1,2题.
第二章
一元二次方程
用公式法求解一元二次方程(一)
回忆巩固
1、一元二次方程一般形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
2、用配方法解方程：
x2+4x-5=0
公式的推导
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 的 解为：
-b b -4ac x 2a
2
(b2-4ac≥0 )
2 b b -4ac 用公式 法解方程：x 2a 2
2
∵ b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0
7 72 49 3 x x () 0 2 4 16 2
2
∴
7 25 x 2 2 7 5 4
1 x2= 2
7 25 (x )2 0 4 16
即x1=3,
7 2 25 (x ) 4 16 7 5 x 4 4 1 7 5 x 3 x x 2 4 4
2
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况：
（1）x2-7x=18 （3）6x2+3x+1=0 （2）2x2=7x-3 （4）9x2+6x+1=0
比一比谁简洁
用两种方法（配方法和公式法）解列方程 ： 2x2+3=7x 7 3 解: x x 0 解: 这里 a=2, b=-7, c=3 2 2
练习：
（1）-9x2+8x+1=0
（2）4x2+1=4x
2 （3）3x +2x+1=0
对于ห้องสมุดไป่ตู้元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
北师大版九年级数学上册2.3.2用公式法求解一元二次方程课件
16m
16 x 12 x 16 12 .
2
即
解得
x2 - 28x + 96 = 0.
x1 = 4
12m
解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得
, x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意，舍去.
答：小路的宽为4 m.
xm
xm
典例精析
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），
当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是：
b b 2 4ac
x
2a
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
1 用公式法解一元二次方程
—
问题：如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形土
地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条
与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78
m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意
D
(30-2x)(20-x)=6×78 A
列的方程为_____________________.
B
C
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造
一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出
设计方案吗？
花园
方案1
花园
方案2
花园
方案3
花园
方案4
小明设计：
如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,
得到小路的宽为2 m或12 m.
(2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2 吗？若可能，分别
数学北师大版九年级上册用公式法解一元二次方程.3.1用公式法求解一元二次方程
4、写出方程的解： x 1、 x 2
只要比别人更努力，相信自己一定会成功。
2
解方程： 1、x2-7x-18=0
2、4x2+1=4x
3、 x2-2x+3=0
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 根的判式是:
b 4 ac
2
根的情况 两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解)
2 ax bx c 0 a 0
一元二次方程
判别式的情况
2 ax bx c 0 a 0
解 : a 2 , b 9 , c 8 .
b 4 ac 9 4 2 8 17 0 .
2 2
∴x=----------------
9 17 9 17 x ;x . 1 2 4 4
学习是件很愉快的事
b b 4ac x 2a
b b b c x x . a 2 a 2 a a 2 2 b b 4 ac . x 2 a 4 a 2 2 当 b 4 ac 0 时 ,
2
b c x x . a a 2
2
2
2 b b 4 ac 2 2 x .b 4 ac 0 . b b 4 ac x . 2 a 2 a 2 a
第二章 一元二次方程
2.3.1用公式法解一元二次方程
复习导入
练习:用配方法解方程
（1）x2-2x-8=配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗 ？
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方 程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时公式法的实际应用
第2课时 公式法的实际应用知识点 公式法在实际生活中的应用1．在一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm 3，则原正方形铁皮的边长为( )A ．10 cmB ．13 cmC ．14 cmD ．16 cm2．如图2－3－2所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m )，另外三边利用学校现有总长38 m 的铁栏围成．(1)若围成的自行车车棚的面积为180 m 2，试求出自行车车棚的长和宽．(2)能围成面积为200 m 2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．图2－3－23．当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x<4x －4，13（x －6）>12（x －6）时，方程x 2－2x －5＝0的根是( ) A ．1± 6 B .6－1 C ．1－ 6 D ．1＋ 64．一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案如图2－3－3所示，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm .(1)求图案中三条彩条所占的面积；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图2－3－35．在一块长16 m 、宽12 m 的矩形荒地上建造一座花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．图2－3－4(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的知识说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图2－3－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．图2－3－51．D2．解：(1)设AB ＝x m ，则BC ＝(38－2x )m ， 根据题意列方程，得x (38－2x )＝180，解得x 1＝10，x 2＝9. 当x ＝10时，38－2x ＝18；当x ＝9时，38－2x ＝20，而可利用的墙长为19 m ，不合题意，舍去．答：若围成的自行车车棚的面积为180 m 2，则自行车车棚的长和宽分别为18 m ，10 m. (2)不能．理由：根据题意列方程，得x (38－2x )＝200， 整理，得x 2－19x ＋100＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－19)2－4×100＝－39＜0，故此方程没有实数根．因此不能围成面积为200 m 2的自行车车棚． 3．D4．解：(1)根据题意，可知横彩条的宽度为32x cm.∴图案中三条彩条所占的面积为20×32x ＋2×12×x －2×32x ×x ＝(－3x 2＋54x )cm 2.(2)根据题意，得－3x 2＋54x ＝25×20×12.整理，得x 2－18x ＋32＝0，解得x 1＝2，x 2＝16(不合题意，舍去)． ∴32x ＝3. 答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm. 5．解：(1)不符合．理由：设符合条件的小路的宽度均为x m ， 根据题意，得(16－2x )(12－2x )＝12×16×12，解得x 1＝2，x 2＝12(不合题意，舍去)，∴x ＝2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m. (2)答案不唯一，如图：左图中取上边的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m 时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．。
(名师整理)最新北师大版数学9年级上册第2章第3节《用公式法求解一元二次方程》精品课件
探究新知
阅读课本P44页至P45页内容，并完成下列问题.
知识点:列一元二次方程解决实际面积问题 1、根据小明的设计方案，在下面试列出一元二次方程，并解答 这个方程。
你认为小明的答案正确吗? 说明理由。
探究新知
2.根据小亮的设计方案，在下面空白处试列出一元二次方程， 并解答这个方程.
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容,要求交流解题思路或存
在的疑难。
【内容一】
用公式法解下列各方程： (1) x2 +6x+9=7
(2) x(x 3) 5 0
【内容二】
已知关于x的方程 x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．
作业
1.思考课本P45第4题 2.完成课本p44《习题2.6》第1、2、3题。
温故知新 用配方法解下列方程： ⑴、x2－2x－18＝0 ；
⑵、4 x 2+4=8x
探究新知
请你先阅读课本P41页至P43页，然后完成以下问题：
知识点一: 理解求根公式的推导过程
尝试用配方法解方程 a x2＋bx＋c＝0(a≠0)。
用公式法求解一元二次方程
1.会用公式法解一元二次方程; 2.体验用配方法推导一元二次方程的求根公式的过程，明确运用
公式求根的前提条件是b2－4ac≥0;
3.在公式的推导过程中培养符号感. 4. 能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题;能根据具体 问题的实际意义检验结果的合理性.
温故知新 用公式法解一元二次方程：
(1)当b2 －4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 (1)当b2 －4ac < 0时，方程没有实数根
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——教学资料参考参考范本——【初中教育】2019最新北师大版初中数学九年级3-
2《用公式法求解一元二次方程》
______年______月______日
____________________部门
姓名：班级：日期：§2.3用公式法求解一元二次方程（2）
【学习内容】用公式法求解一元二次方程（P44-P45页）
【学习目标】1、通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；
2、通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。
导学流程自研自探环节总结归纳自学指导
（内容 • 学法）
随堂笔记
（成果记录.•知识生
知识回顾1、你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？
2、怎样用配方法解一元二次方程？
3、怎样用公式法解一元二次方程？
1、利用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-35=0
2、用公式法解方程：
16x2+8x=3
情境引入
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一
个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。
你觉得这个方
案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽都相等
花园
分析：在小明的做法中，设
（16-2x） m，花园的宽
m，所以花园的面积是(16-2
2
m,根据等量关系花园面积等
16
2
1
)
2
12
)(
2
16
(⨯
=
-
-x
x
解：设小路的宽为为x m，根
16
2
1
)
2
12
)(
2
16
(⨯
=
-
-x
x
整理，得0
24
14
2=
+
-x
x
这些根都满足所列的一元
12，即花园的宽为负数，因
，而x=2符合这个实际问题，
【自研课】定向导学 （15分钟） 对子间等级评定： ★（五星评定）
对子间提出的问题： 【正课】互动展示•当堂反馈（45分钟）
正课流程
合作探究环节
展示提升环节 质疑评价环节
互动策略
（内容•学法•时间） 展示方案
（内容•学法•时间）
1、两人小队子
对子之间相互检查随堂笔记，向对子提一个问题。
2、互助
（1）交流自研过程中的疑问。
（2）交流小对子互相提出的疑问。
3、共同体：
组内就展示内容达成一致，商讨展示方案，做好展示的组员分工，组内进行展示的预演。
展示方案一：
展示教材P44页随堂练习
展示方案二：
在一幅长90cm 、宽60cm 的风景画的四边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积的宽应该是多少
（要求画出图形，写出解答过程）
【训练课】（时段：晚自习，时间20分钟）
1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽?
解决问题 在上面的问题中，小亮的设计方案如图教材44页2-6所示，其中花园每个角上的扇形都相同。
（1） 你认为小明的结果对吗？为什么？ （2） 你能帮小亮求出图2-6中的x 吗？
（3） 你还有其他设计方案吗？如果有，请你画出设计方案图
，并作出解答。
提示：在小亮的设计方案中，4个相同的扇形的面积之和恰好为一个圆的面积。
解：（1） （2）4个相同的扇形的面积相同的扇形的面积之和要等 ±≈x ，所以图中的x 约为（3）设计方案图：
写出
2、学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
3、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子滑动x m，那么梯子底端距墙
m．根据题意，可得
程。
解：
今天我知道了：
我发现了：
我学会了：
【教师寄语】《新课堂，我展示，我快乐，我成功》-------。