北京市宣武外国语实验学校2019-2020九年级上学期期中数学试卷(含答案)

密
封
线
内
不
要
答
题
北京市宣武外国语实验学校2019-2020学年
第一学期期中试卷初三数学
一、选择题（每题2分，共16分）
1．抛物线21
y x
=+的对称轴是
A．直线1
x=-B．直线1
x=C．直线0
x=D．直线1
y=
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB,AC相交于点D,E，若AD=4，
DB=2，则
DE
BC
=
A．
3
2
B．
2
1
C．
4
3
D．
5
3
3．下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是
A． B. C. D.
4．
如图，△ABC中，∠BAC=80°，AB=4，AC=6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三
角形与△ABC相似，其中画的错误
．．的是
丁
丙
乙
甲
A．甲B．乙 C．丙D．丁
5．将抛物线2
(1)2
y x
=+-向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为A．1
-B．1 C．2
-D．2
6．如图，小正方形的边长均为1
，则下列图中的三角形与ABC
∆相似的是
A
B C
80°
A
C
B
D
E
A B C D
7． 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为 A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°
8．已知一个二次函数图象经过11(3
)P y -，，22(1)P y -，，33(1)P y ，，44(3)P y ，四点，若324y y y <<，则1234y y y y ，，，的最值情况是
A ．3y 最小，1y 最大
B ．3y 最小，4y 最大
C ．1y 最小，4y 最大
D ．无法确定
二、填空题（每题2分，共16分）
9．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成边长为20cm 的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为 .
10．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质． 甲：函数图象的顶点在x 轴上； 乙：当x <1时，y 随x 的增大而减小； 丙：该函数的形状与函数y=x 2的图象相同
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 ．
11．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB =2米，BP =3米，PD =12米，那么该古城墙的高度CD 是 米．
E
B C D
A
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要
答
题12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、
轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2
y ax bx c
=++与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足0
y<的x的值．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,0)
A，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，90
ABC
∠=︒，点B在点A的右侧，点C在第一象限.将△ABC绕点A逆时针旋转75︒，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为 .
B 15．如图，抛物线1
C ：y =
31x 2经过平移得到抛物线2C ：y =3
1x 2
+ 2x ，抛物线2C 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 .
16．请阅读下面材料，并回答所提出的问题.
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这 个角的两边对应成比例.
已知：如图，△ABC 中， AD 是角平分线.
求证：
DC BD
AC AB =. 证明：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E.
∴∠1=∠E,∠2=∠3. ∵AD 是角平分线， ∴∠1=∠2. ∴E ∠=∠3.
AE AC =∴. 又∵CE ∥DA ，
DC BD
AE AB =
∴
. ……………………………①
∴DC BD
AC AB =
.
（1）上述证明过程中，步骤○1处的理由是
（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=7cm ，AC=4cm ，BC=6cm ，则BD 的长为 cm.
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答题
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23—26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17.如图，△ABC顶点的坐标分别为A(1，-1)，B(4，-1)，C(3，-4)．
(1) 将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，
并直接写出点B1的坐标：B1（______，______ ）；
(2) 以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2:1．18．已知抛物线245
y x x
=+-.
（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；
（2）用配方法将245
y x x
=+-化成2
()
y a x h k
=-+的形式;
（3）抛物线245
y x x
=+-是如何由抛物线21
y x
=+平移得到的.
19．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上的一点，
过C 点作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ． （1）求证：△CDE ∽△CBF ；
（2）若B 为AF 的中点，CB =3，DE =1，求CD 的长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点()20A -，
，()13B -
，． （1）求抛物线的解析式；
（2）由图象直接写出：x 取何值时，y 随x 的增大而减少； （3）根据图象回答：x 取何值时，y > 0．
D
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不
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答
题
21．已知二次函数的解析式是223
y x x
=--.
（1）与y 轴的交点坐标是_______________，顶点坐标是_______；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图像回答：当-2<x<2时，函数值y的取值范围是 .
22．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求x的取值范围．
停止线
信号灯
23.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m 时，水面宽AB 为12m ．当水面上升6m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m ？
下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，
此时点B 的坐标为（ ， ），抛物线的顶点坐标为（ ， ）， 可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ． 当y ＝6时，求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，
这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．
当y ＝ 时，求出此时自变量x 的取值为 ，即可解决这个问题．
24．如图，将非等腰ABC △绕点B 旋转得到DBE △，且A ，D ，C 三点在同一条直线上，BC 、DE 交与点O ，连结EC.补全图形后，在现有图形下找出一对相似比不是1：1的相似三角形并进行证明．
E
D
C
B
A
密
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不
要
答
题25．有这样一个问题：探究函数33
2
x x
y
-++
=的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数
33
2
x x
y
-++
=的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当3
x≥时，y=___________，当3
x<时y=____________；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数
33
2
x x
y
-++
=的图象；
备用图
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程
33
1
2
x x
ax
-++
+=只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：___________________________．
26．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ． ①分别用含a 的代数式表示p ，q ；
②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；
③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数
（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．
请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：
（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．
封
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答
题27．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°. D为射线BC上一动点.连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°至点E，连接AE、DE. 点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN.
（1）如图1，点D在线段BC上.
①猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；
②连接EB，猜想BE与BC的位置关系；
（2）在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想.
B
C
M
N
E
D
C B
A
密
28.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤ t≤1？
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题2019～2020学年度第一学期期中考试初三数学答题卡
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题
北京市徐悲鸿中学2019-2020学年度
九年级数学期中测试参考答案及评分标准2019年11月
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 上、小、-1； 10. 园外； 11．答案不唯一； 12．P,(-2,3);
13．4
m≥-；14．-1； 15．2； 16．(1) 0
x<或3
x>-
(2)3
x>或13
x
-<<（答对一空给1分）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）
17．解：∵抛物线顶点坐标为A（2，-1）且经过B（3，0）点，
∴设抛物线表达式为2
(2)1
y a x
=----------------2分
把点B（3，0）代入， a-1=0，
解得a=1--------------------------------------------------3分∴2
(2)1
y x
=--
243
y x x
=-+
∴----------------------5分
18．解：依题意，得{3044(3)10
-≠
--≥
k
k，----------------------2分
解得{34≠≤k k，----------------------2分
故k的取值范围为k≤4且k≠3．----------------------1分
19.解：（1）把（3，2）代入函数解析式得：2＝9+3b﹣1，
解得：b＝﹣2， ----------------------1分
则函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1 ----------------------2分
（2）y＝x
2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1-！﹣1=（x﹣1）2﹣2
----------------------3分
（3）顶点坐标为（1，﹣2）；----------------------4分
对称轴x=1----------------------5分
20．解：∵OC ⊥AB ，OC 过O ，
∴
AB
＝
2AD
，
∠
ODA
＝
90
°
，
----------------------1分
∵AB ＝8．
∴AD=4----------------------2分 ∵CD ＝2，
∴设OD=X 则OC=OA=2+X ----------------------3分 在Rt △ODA 中，由勾股定理得：222-=OA OD AD
即
22
(2)16+-=x x 解得：3=x ----------------------4分 ∴OD=3，OA=3+2=5
∴⊙O 的半径为5，----------------------5分
21. 解：如图：连接OC
∵DE 切⊙O 于点C ，
∴OC ⊥DE ----------------------1分 又∵AE ⊥DC
∴OC ∥AE ----------------------2分 ∴∠ACO ＝∠EAC ----------------------3分 ∵OA ＝OC
∴∠ACO ＝∠OAC ----------------------4分 ∴∠EAC ＝∠OAC
∴AC 平分∠BAE ----------------------5分 22.
解：如图，△A 'BC '为所作．（作对一步给一分）
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答
题
23.作图题：5分
在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
24. 直径所对的圆周角是直角----------------------2分
圆内接四边形的对角互补----------------------2分125°----------------------2分
25.
1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．--------------------1分
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC．--------------------2分
∴∠AEB＝∠ADC．--------------------3分
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．--------------------1分
∴∠AED＝60°，--------------------2分
又∵∠AEB＝∠ADC＝115°．
∴∠BED＝55°．--------------------3分
26.解：设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．--------------------1分
则y与x之间的函数关系式为：
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，----------------4分∵a＝﹣2，
∴当x＝15时，y有最大值1250，
即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元。

--------------------6分
27.（1）解：DH与⊙O相切．--------------------1分
理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，--------------------2分
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，--------------------3分
密
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要
答
题∴DH为⊙O的切线；--------------------4分
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，--------------------5分
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，--------------------6分
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；--------------------7分
28.解：（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，
∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
∴抛物线对称轴，
∴b＝4．--------------------2分
（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2+4x+1＝0．
∵△＝b2﹣4ac＝16﹣8＝8＞0，--------------------3分
∴方程有实根，
∴x ＝＝＝﹣1±；--------------------4分
（3）由题意将抛物线y＝2x2+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，
∴设为y＝2x2+4x+1+k，--------------------5分
∴方程2x2+4x+1+k＝0没根，
∴△＜0，
∴16﹣8（1+k）＜0，
∴k＞1，--------------------6分
∵k是正整数，
∴k的最小值为2．--------------------7分。