第二章回旋加速器20页

三、发展趋势
1.采用等时性原理 2.小型化、商品化 3.高能、超导
第二节 带电粒子在恒定磁 场中的运动
一、运动方程
1.普通运动方程
d(m v)qE eq(evB ) dt
2.柱坐标运动方程
轴向 d d(m td d)z tq ed dB r tqe r(rB d d )tqe z E
径向 辐向
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
关心的是Δz与Δr
Δz = zz0 = z0 = z Δr = rr0 = rrc= x
2.轴向运动稳定条件
Br(z)B zrczB rzcz
泰勒展开
保守力场
∴
d dt
(m
dz dt
)
qeB
rr
d dt
qe B z zr d r c dt
m 2 rc B z z Bc r c
m 2 nz
此处
n
rc Bc
←Brz 磁c 场降落指数
于是
d(mdz)m2nz
dt dt
当n > 0，为简谐振动方程，稳定
（短时间内dm/dt≈0）
当n < 0，解为双曲函数，发散
故稳定条件为n
>
0，即
B z r
0
3.zB v
其中
mv2 r
Er EEZ0
2）运动方程
（忽略加速效应）
轴向 径向 辐向
d (mdz) 0 dt dt
d d(m t d d)r tm(d d r )t2qe zrd B d t
dd(tm2rdd)tqezrBd drt
3）闭轨
若粒子初速度沿辐向，则形成闭轨
此时
dz dr 0 dt dt
c
qeBz m
d
dt
rc
mv qeBz
均与q/A有关
负号的意义：
4.常梯度磁场中的运动方程
1）常梯度磁场
• z轴旋转对称
B 0, B r , B z 与 无关 • 中心平面对称
Br(z0)0
Bz(z)Bz(z)
Br(z)Br(z)
• Bz随r增大而降低
Bz
C rn
n r B B r
2）运动方程
轴向 径向 辐向
d(md)zq dt dt
errBddt
d d(m t d d)r tm(d d r )t2qe zrd B d t
1d(m2d r)q
rdt dt
e rd dB z tq
e zd dBr t
3）理想粒子与非理想粒子
• 理想粒子：z0 = 0, r0 = rc, v0 沿辐向（无z，
r分量）；在中心平面上 Br = 0, 故闭轨与 均匀磁场同
yAcosK(t) A、α取决于初条件
自由振荡频率
z n
z
z
n
r 1n
或
r
r
1n
2.长时间——自由振荡的衰减
此时m不可提出括号，展开得
dd22ytm 1ddm tddytK2y0
Az (m)1 1/2n1/4B1/2n1/4
阻尼项
A x (m)1/21 (1n)1/4 B 1/2(1n) 1/4
d d(m td d) r tm (d dr )2 t qz( e rd d B ) tqe d d B q z t reE
1 rd d(m t 2d d r)tqr ed dB z tqz ed dB r tq eE
3.均匀磁场中的运动方程
1）理想条件
Bz cons,t Br B 0 （磁极无限延伸）
当0 < n < 1时，轴向与径向均有磁聚
焦，运动稳定，围绕闭轨做自由振荡
三、自由振荡方程的解
d(mdz)m2nz
dt dt
d(md)xm2(1n)x
dt dt
d(mdy)m2Ky
dt dt
1.短时间——准稳态解
m、ω、K为常数，m可提出括号
d2y K2y 0
dt2
当0 < n < 1, K > 0, 有
mrcv2 (1x/rc)
B z(r)B c B rz cxB c(1nrx c)
代入方程，忽略高阶小量
d(md)xm2(1n)x
dt dt
稳定条件为(1 n) > 0 或 n < 1
物理图象：
磁场力 向心力
FFc L1rqeBv r1n
当r < rc, FL< Fc, r↑
r > rc, FL> Fc, r↓
W
K
q
2
A A
其中 K48(Br)2
3.轨道间隙
dW 2 dr Wr
rq V ac osr1
W
r
4. (D盒间隙的) 渡越效应
VeffVacoscsin
其中 c 为过电隙中心的相位
d 2r
二、主要问题
1.横向聚焦力 2.滑相问题 3.运动的稳定性（非理想粒子的丢失问
题） 4.中心区、注入、引出 5.磁铁、高频
• 非理想粒子： z0, r0, v0中至少一项存在微
扰，即z0, r0, (dz/dt)0 , (dr/dt)0中至少有一个 不为0
问题：
非理想粒子的运动是否稳定？ 即：离闭轨跑远了，能否跑回来？
粒子动力学（与普通物理的区别）
意义：光线是点源，束流是面源（有发射 度）
二、粒子横向运动的稳定性
1.横向运动的描述
第一节 概述
一、基本原理
1.结构
• 主导磁铁 • 射频D盒 • 离子源、注入与引
出系统
2.基本关系
• 能量增益/圈 • 谐振加速条件
ΔW2qeaVcoφs(J) 2qVacoφs (eV)
Tc2vr2 qm e BhrTf(h1,3,5,...)
• 实用公式
fc(MH)z15.2qAB(T)
r(m)0.1444AW(Me)V B(T)q