递推
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的数 学 家． 递 推关 系 ， 可 以生 成一 些常 见 的递推 关 系．
正所谓 “ 宝剑锋 从 磨砺 出， 梅花 香 自苦 寒 宝剑 ， 只有经过 苦 难 的考 验 ， 我 们才 有 自信 微 笑 直面人 生 的各 种 挑 战． 这 都说 明万 事 万 物 都有 着 因果 关 系 ， 而 数 学 的 内容 更 是 由各 种
（ 二 ）常见 递推 关 系 的处 理
我 们 了解 了递 推 关 系 的 生成 ， 但 是通 常 呈 现 给我 们 的递 推 关 系 并 不 是 以 上 的那 些 标 准形 式 ， 它们 都 经 过 了诸 如 去 分 母 、 取 倒
即 蚤 一
（ ７ ｚ ≥ ３， ∈Ｎ ） ．
， 所 以 ｓ 一
对 几种 常见 的递 推关 系寻 找它 们 的解 法 ．
ｋ ｎ＋ ｌ
—ｑ 一 ， — — 一１ 一ｑ这 一 哒 些 类 型 削迓 哭 的递 ａ — ａｎ … 一
推关 系 ， 呈现 给我 们 的通 常 是 去 了 分母 的形 式， 来看下面更一般化 的形式 ： ①ａ ＋ 一ｑ ａ ．
著名数学家 陈景润 ， 语 言表达能 力差 ，
它们 的递推关系是从 定义生成 的： 相 教 书吃力 ， 不 合 格． 正 因 为 如此 ， 他致 力 于 自 数列 ， 而 由这 两 个基 本 的 己的强项 —— 数 学研 究 ， 后来 终 于成 为 著 名 邻 两项 的差 或 比为 常 数．
一
１ ．将 ｑ换成 关 于 的 函数 ｆ（ ） ， 例如 ：
ａ
Ｈ ／ ， ／ ， ｎ ｎ ＝ ＝ ＝ ； 南 － ｔ － Ｚ 等 ；
一
２ ．将 ａ 换 成其 他 与 ａ 有 关 的形 式 ， 例
项 的关 系 ， 便 可 以给 出 数 列 的所 有 项 了．
数列 的） 的
群
一
关 系就 叫数 列 的 递 推 关 系． 通过递 推关 系， ｑ等 观察 、 探求数 列的规律 ， 进 而 可 求 出 数 列 的 ３ ．替 换 分 子 分 母 ， 例如： ａ — ｎ ＋ ｌ — －ａ ｎ— 通项 公 式． 下 面 我们 来 认 识 递 推 关 系 并 学会 从递 推 关系探 求 通项 公式 ． ｑ等．
来” ． 从来 就没 有 不 经磨 砺 就能 够披 荆 斩棘 的 ｄ作 以下 的变换 ：
： ＝：
理结 论 的证 明需 要 推 理 、 函 数 的定 义 域 对 函
数性 质 的影 响、 一 元 二 次方 程 的 系数 与 根 的 现最 明显 的莫过于各 种递推关 系了． 而递 推关 系 的 一个 重 要 载 体 就 是 数 列 ， 所 以我们 来聊 一聊 数列 的递 推关 系．
的表达 式 ， 然后 用数学归纳法证 明， 这 里 我 利用 函数 不动 点等 等． 们 不探讨 这类 递 推 关 系． 不 管 哪一 类 递 推 关
系 都要 求 同学 们 有 一 定 的观 察 能 力 以及 足
— —
对 于糟
ａ ． ＋ ｌ － －
＝ 口 ， 等 一 口 ，
够 的审 题 经 验 ， 才 能 顺 利 完 成． 下 面 我 们 针 —— 一 － ａ 十 ｎ
ｌ 舸 ｆ 高 数 学
江 苏 省 口岸 中学 栾 芳
事物 是普 遍 联 系的 ， 原 因 和结 果 是 揭 示 客观 世界 中 普 遍 联 系 着 的 事 物 具 有 先 后 相
继、 彼 此制 约 的一对 范 畴．
★ （ 一） 常见递推关系的生成
同学 们 熟 悉 的 数 列 是 等 差 数 列 和 等 比
（ ＥＮ＊ ） ．
经 验证 ， 一１ ， ２也适 合上 式 ．
所以， ｓ 一
数、 合并 化 简 等 等 的运 算 ， 我 们 要 从 中发 现 ２ ．构 造 法 本质 ： 将 已知 递 推关 系 ， 转化 为 基 本 数 列 （ 等 大 多数 递 推 关 系 需 要 构 造 新 的 等 差 数 差 或等 比） 求 通 项．当 然 ， 对 大 多 数 递 推 关 列 和等 比数列 来 处 理 ， 常 见 有 以 下 的构 造 途 系， 目前 还解 不 出通 项 公 式 来 ．这一 类 递 推 观察 法 ， 待 定系数法 ， 构 造递推式 相减 ， 关 系可 以根 据 前 几 项 的 特 点 归 纳 猜 想 出 。 径：
各样 的 因果 关 系—— 逻 辑 所 联 系 着 ： 各 种 定
首先 对 等差数 列 的递推 关系 ａ ＋ －ａ 一 １ ．将 ｄ换 成关 于 ７ ２ 的 函数 ｆ（ ， ｚ ） ， 例如 ：
口 ＋ 一 ｎ ＝ ２ ， ｚ 一 １， ａ ＋，一 口 一 ， ｎ ＋ 一
～
音 等 ．
一 ＝ｄ （ ａ ＞０ ） ，
—
２ ．将 ａ 换成其他与 ａ 有 关 的形 式 ， 例
口 ： ＋ 一口 ： 一ｄ ， 关 系等所 有 的 内容 都 充 斥着 因果 关 系 ， 而 体 如 ：
—
＿ 一一 ｌ １一ｄ
ａｎ
，
２ 。
一 ２ ｎ 一 ｄ，ｌ 。 ｇ２ 口 ＋１一
ａ ＋ １
ｌ ｏ ｇ ２ ａ 一ｄ等．
数列 是定 义 在 正 自然 数 集 上 的 函数 ， 它
其次 对等 比数 列 的递推 关 系 们 可 以作 以下 的变 换 ：
一ｑ ， 我
的性 质可 以从 函 数 的 角度 进 行 研 究 ； 但正 由 于数 列 的定义 域 是 正 自然 数 集 ， 那 么我 们 给 出数 列 的方法 除 了与 函数 一 致 外 ， 它还 有 自 身 的办法 ， 那 就是 通 过 给 出数 列 的第 一 项 或 第 二项 ， 再加 上 它 的前 一 项 （ 或前几项） 与后
正所谓 “ 宝剑锋 从 磨砺 出， 梅花 香 自苦 寒 宝剑 ， 只有经过 苦 难 的考 验 ， 我 们才 有 自信 微 笑 直面人 生 的各 种 挑 战． 这 都说 明万 事 万 物 都有 着 因果 关 系 ， 而 数 学 的 内容 更 是 由各 种
（ 二 ）常见 递推 关 系 的处 理
我 们 了解 了递 推 关 系 的 生成 ， 但 是通 常 呈 现 给我 们 的递 推 关 系 并 不 是 以 上 的那 些 标 准形 式 ， 它们 都 经 过 了诸 如 去 分 母 、 取 倒
即 蚤 一
（ ７ ｚ ≥ ３， ∈Ｎ ） ．
， 所 以 ｓ 一
对 几种 常见 的递 推关 系寻 找它 们 的解 法 ．
ｋ ｎ＋ ｌ
—ｑ 一 ， — — 一１ 一ｑ这 一 哒 些 类 型 削迓 哭 的递 ａ — ａｎ … 一
推关 系 ， 呈现 给我 们 的通 常 是 去 了 分母 的形 式， 来看下面更一般化 的形式 ： ①ａ ＋ 一ｑ ａ ．
著名数学家 陈景润 ， 语 言表达能 力差 ，
它们 的递推关系是从 定义生成 的： 相 教 书吃力 ， 不 合 格． 正 因 为 如此 ， 他致 力 于 自 数列 ， 而 由这 两 个基 本 的 己的强项 —— 数 学研 究 ， 后来 终 于成 为 著 名 邻 两项 的差 或 比为 常 数．
一
１ ．将 ｑ换成 关 于 的 函数 ｆ（ ） ， 例如 ：
ａ
Ｈ ／ ， ／ ， ｎ ｎ ＝ ＝ ＝ ； 南 － ｔ － Ｚ 等 ；
一
２ ．将 ａ 换 成其 他 与 ａ 有 关 的形 式 ， 例
项 的关 系 ， 便 可 以给 出 数 列 的所 有 项 了．
数列 的） 的
群
一
关 系就 叫数 列 的 递 推 关 系． 通过递 推关 系， ｑ等 观察 、 探求数 列的规律 ， 进 而 可 求 出 数 列 的 ３ ．替 换 分 子 分 母 ， 例如： ａ — ｎ ＋ ｌ — －ａ ｎ— 通项 公 式． 下 面 我们 来 认 识 递 推 关 系 并 学会 从递 推 关系探 求 通项 公式 ． ｑ等．
来” ． 从来 就没 有 不 经磨 砺 就能 够披 荆 斩棘 的 ｄ作 以下 的变换 ：
： ＝：
理结 论 的证 明需 要 推 理 、 函 数 的定 义 域 对 函
数性 质 的影 响、 一 元 二 次方 程 的 系数 与 根 的 现最 明显 的莫过于各 种递推关 系了． 而递 推关 系 的 一个 重 要 载 体 就 是 数 列 ， 所 以我们 来聊 一聊 数列 的递 推关 系．
的表达 式 ， 然后 用数学归纳法证 明， 这 里 我 利用 函数 不动 点等 等． 们 不探讨 这类 递 推 关 系． 不 管 哪一 类 递 推 关
系 都要 求 同学 们 有 一 定 的观 察 能 力 以及 足
— —
对 于糟
ａ ． ＋ ｌ － －
＝ 口 ， 等 一 口 ，
够 的审 题 经 验 ， 才 能 顺 利 完 成． 下 面 我 们 针 —— 一 － ａ 十 ｎ
ｌ 舸 ｆ 高 数 学
江 苏 省 口岸 中学 栾 芳
事物 是普 遍 联 系的 ， 原 因 和结 果 是 揭 示 客观 世界 中 普 遍 联 系 着 的 事 物 具 有 先 后 相
继、 彼 此制 约 的一对 范 畴．
★ （ 一） 常见递推关系的生成
同学 们 熟 悉 的 数 列 是 等 差 数 列 和 等 比
（ ＥＮ＊ ） ．
经 验证 ， 一１ ， ２也适 合上 式 ．
所以， ｓ 一
数、 合并 化 简 等 等 的运 算 ， 我 们 要 从 中发 现 ２ ．构 造 法 本质 ： 将 已知 递 推关 系 ， 转化 为 基 本 数 列 （ 等 大 多数 递 推 关 系 需 要 构 造 新 的 等 差 数 差 或等 比） 求 通 项．当 然 ， 对 大 多 数 递 推 关 列 和等 比数列 来 处 理 ， 常 见 有 以 下 的构 造 途 系， 目前 还解 不 出通 项 公 式 来 ．这一 类 递 推 观察 法 ， 待 定系数法 ， 构 造递推式 相减 ， 关 系可 以根 据 前 几 项 的 特 点 归 纳 猜 想 出 。 径：
各样 的 因果 关 系—— 逻 辑 所 联 系 着 ： 各 种 定
首先 对 等差数 列 的递推 关系 ａ ＋ －ａ 一 １ ．将 ｄ换 成关 于 ７ ２ 的 函数 ｆ（ ， ｚ ） ， 例如 ：
口 ＋ 一 ｎ ＝ ２ ， ｚ 一 １， ａ ＋，一 口 一 ， ｎ ＋ 一
～
音 等 ．
一 ＝ｄ （ ａ ＞０ ） ，
—
２ ．将 ａ 换成其他与 ａ 有 关 的形 式 ， 例
口 ： ＋ 一口 ： 一ｄ ， 关 系等所 有 的 内容 都 充 斥着 因果 关 系 ， 而 体 如 ：
—
＿ 一一 ｌ １一ｄ
ａｎ
，
２ 。
一 ２ ｎ 一 ｄ，ｌ 。 ｇ２ 口 ＋１一
ａ ＋ １
ｌ ｏ ｇ ２ ａ 一ｄ等．
数列 是定 义 在 正 自然 数 集 上 的 函数 ， 它
其次 对等 比数 列 的递推 关 系 们 可 以作 以下 的变 换 ：
一ｑ ， 我
的性 质可 以从 函 数 的 角度 进 行 研 究 ； 但正 由 于数 列 的定义 域 是 正 自然 数 集 ， 那 么我 们 给 出数 列 的方法 除 了与 函数 一 致 外 ， 它还 有 自 身 的办法 ， 那 就是 通 过 给 出数 列 的第 一 项 或 第 二项 ， 再加 上 它 的前 一 项 （ 或前几项） 与后