教学设计1：8.6.1 直线与直线垂直

8.6.1直线与直线垂直
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与直线垂直.
课本从空间两条直线的位置关系入手，引如异面直线所成的角的定义，进而在正方体中找互相垂直的异面直线及求异面直线的夹角，本节是证明两条异面直线垂直的一种方法.求异面直线的夹角为90度可以证明两异面直线垂直.直线与直线垂直是立体几何中证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的基础，是后续所学知识的基础.
教学目标与核心素养
教学重难点
1.教学重点：异面直线所成角的定义；
2.教学难点：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角.
课前准备
多媒体.
教学过程
一、复习回顾，温故知新 1.空间两直线的位置关系： 【答案】相交、平行、异面
2.在平面内，两直线所成的角是什么？
【答案】在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度 二、探索新知
观察：如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，直线A C ''与直线AB ，直线A D ''与直线AB 都是异面直线，直线A C ''与A D ''相对于直线AB 的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
【答案】不同
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？ 1.异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线a ，b ,经过空间任一点O 作直线a ′//a ，b ′//b ,则把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
思考 : 这个角的大小与O 点的位置有关吗 ? 即O 点位置不同时, 这一角的大小是否改变? 【答案】无关，不改变.
2.异面直线所成角的范围：(0,90]︒
︒
. 例1 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.
（1）哪些棱所在的直线与直线AA ′垂直？ （2）求直线BA ′与CC ′所成的角大小. （3）求直线BA ′与AC 所成的角大小.
例 2 如图8.6-5（1），在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 为底面
1111A B C D 的中心.求证：1AO BD ⊥.
三、达标检测
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()
A．异面B．平行
C．相交D．以上都有可能
【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．【答案】D
2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
【答案】B
3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是．
【解析】连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
【答案】60°
4．如图，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则P A与CD所成的角是．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠P AB是P A与CD所成的角．
又∵P A⊥AB，∴∠P AB＝90°.
【答案】90°
5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别
是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
解：因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC
是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是
弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于
是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
教学反思
求异面直线所成的角，应让学生明白怎样做异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解.。