人教版数学高二A版选修4-5第二讲证明不等式的基本方法单元测试

《证明不等式的基本方法》测评
(时间90分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共10) 1.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1
a ＋1
C ．a －1b >b －1
a D.2a ＋
b a ＋2b >a b
2．已知x>y>z ，且x ＋y ＋z ＝1，则下列不等式中恒成立的是 A ．xy>yz B ．xz>yz C ．x|y|>z|y| D ．xy>xz
3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．c ≥b>a
B ．a>c ≥b
C ．c>b>a
D ．a>c>b
4．已知b>a>0，且a ＋b ＝1，那么
A ．2ab<a 4－b 4a －b <a ＋b 2<b
B ．2ab<a ＋b 2<a 4－b 4
a －
b <b
C.a 4－b 4a －b <2ab<a ＋b 2<b D ．2ab<a ＋b 2<b<a 4－b 4
a －b
5．使不等式3＋8>1＋a 成立的正整数a 的最大值为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
6．用反证法证明命题“如果a<b ，那么3a>3
b ”时，假设的内容应是 A.3a ＝3b B.3a<3b
C.3a ＝3b 且3a<3b
D.3a ＝3b 或3a<3b
7．若实数a ，b 满足0<a<b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 A.1
2
B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
8．设a ，b ，c ∈R ，且a ，b ，c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是
A ．a ，b ，c 全为正数
B ．a ，b ，c 全为非负实数
C ．a ＋b ＋c ≥0
D ．a ＋b ＋c>0
9．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则∠B 适合的条件是
A ．0<
B ≤π4 B ．0<B ≤π
3
C ．0<B ≤π2 D.π
2
<B<π
10．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2 答 题 栏
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
11．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________． 12．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d
a ＋
b ＋d ，则S 的范围是
________．
13．设0<m<n<a<b ，函数y ＝f(x)在R 上是减函数，下列四个数f(b a )，f(a
b )，f(b －m a －m )，
f(a ＋n
b ＋n
)的大小顺序依次是__________． 14．已知a ，b ∈R ＋，则x ＝a b b a ，y ＝a a b b ，z ＝(ab)a
＋b
的大小关系是__________．
15．若a>b>c>0，l 1＝(c ＋a)2＋b 2，l 2＝(b ＋c)2＋a 2，l 3＝(a ＋b)2＋c 2，则l 1l 2，l 2l 3，
l 22，l 23中最小的一个是________．
三、解答题(本大题共5个小题，每小题8分，共40分) 16．设a ，b ，c ∈R ＋，求证12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .
17．已知a ，b ，c 是非负实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．
18．设x>－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1
的最小值．
19．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π
6，求证：a ，
b ，
c 中至少有一个大于0.
20．已知Rt △ABC 周长为定值L ，求这个三角形面积的最大值．
参考答案
1．A 解析：a ＞b ＞0⇒1b ＞1
a ＞0，
∴a ＋1b ＞b ＋1a
.
2．D 解析：令x ＝2，y ＝0，z ＝－1，可排除A 、B 、C. 3．A 解析：方法一：c －b ＝(a －2)2≥0⇒c ≥b. 又b ＝a 2＋1，
∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34.
∴b ＞a ，即c ≥b ＞a.
方法二：令a ＝2，则b ＋c ＝10，c －b ＝0， 即b ＝c ＝5.排除B 、C 、D.
4．B 解析：令a ＝14，b ＝34，则2ab ＝38，a 4－b 4a －b ＝58，a ＋b 2＝1
2，故选B.
5．C 解析：用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立．
6．D 解析：3a 与3b 大小包括3a ＞3b ，3a ＝3b ，3a ＜3b 三方面的关系，所以3
a ＞3
b 的反设应为3a ＝3b 或3a ＜3b.
7．B 解析：∵a ＋b ＝1，a ＋b ＞2ab ， ∴2ab ＜1
2
.
a 2＋
b 2＞2(a ＋b 2)2＝2×14＝1
2.
又0＜a ＜b 且a ＋b ＝1， ∴a ＜1
2
，∴a 2＋b 2最大．
8．C 解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c)·(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc) ＝1
2
(a ＋b ＋c)[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]， 而a ，b ，c 不全相等⇔(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＞0， 则a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 9．B 解析：∵2b ＝a ＋c ， ∴cosB ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
＝
a 2＋c 2－(a ＋c)2
4
2ac
＝3(a 2＋c 2)－2ac 8ac
＝3(a 2＋c 2)8ac －14
≥6ac 8ac －14
＝12
. ∵余弦函数在(0，π
2)为减函数，
∴0＜B ≤π
3
.
10．D 解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
都小于2.
则(a ＋b ＋c)＋(1a ＋1b ＋1
c )＜6.
∵a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1
c
≥2，
即(a ＋b ＋c)＋(1a ＋1b ＋1
c )≥6，这样与假设矛盾．
∴三个数中至少有一个不小于2.
11．a ＞b ＞c 解析：用分析法比较，a ＞b ⇔3＋5＞2＋6⇔8＋215＞8＋212，同理可比较得b ＞c.
12．1＜S ＜2 解析：用放缩法，a a ＋b ＋c ＋d ＜a a ＋b ＋c ＜a
a ＋c ；
b a ＋b ＋
c ＋
d ＜b b ＋c ＋d ＜b
d ＋b ；
c a ＋b ＋c ＋
d ＜c c ＋d ＋a ＜c
c ＋a ；
d a ＋b ＋c ＋d ＜d d ＋a ＋b ＜d
d ＋b .
以上四个不等式相加，得1＜S ＜2. 13．f(a b )＞f(a ＋n b ＋n )＞f(b
a )＞f(
b －m a －m )
解析：∵a b ＜a ＋n b ＋n ＜1＜b a ＜b －m a －m ，
根据函数的单调性，知 f(a b )＞f(a ＋n b ＋n )＞f(b
a )＞f(
b －m a －m )． 14．y ≥z ≥x 解析：作商法比较．
15．l 22 解析：
利用赋值法比较，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，可得l 1＝20，l 2＝18，l 3＝26， 则l 1l 2＝360，l 2l 3＝468，l 22＝324，l 23＝676，可知l 22最小．
16．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b . 同理12(12b ＋12c )≥1b ＋c ；
12(12c ＋12a )≥1c ＋a . 三个不等式相加，得
12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . ∴原不等式成立．
17．证明：∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
∵a，b，c是非负实数，
∴2a2＋b2≥a＋b.
于是2b2＋c2≥b＋c，2c2＋a2≥c＋a.
三式相加，得2(a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．
18．解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，
y＝(x＋5)(x＋2)
x＋1
＝[(x＋1)＋4][(x＋1)＋1]
x＋1
＝(x＋1)＋5＋
4 x＋1
≥2·(x＋1)·4
x＋1
＋5 ＝9.
当且仅当x＋1＝4
x＋1
，即x＝1时，等号成立．∴y的最小值是9.
19．证明：假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，
则有a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c＝(x2－2y＋π
2)＋(y
2－2z＋
π
3)＋(z
2－2x＋
π
6)
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)，
所以a＋b＋c＞0.
与a＋b＋c≤0矛盾，故假设错误．
所以a，b，c中至少有一个大于0.
20．解：设Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边长为c，
∴L2－2(a＋b)L＋a2＋b2＋2ab＝c2.
∴L2－2(a＋b)L＋2ab＝0.
∵2(a＋b)≥4ab，①
∴L 2－4abL ＋2ab ≥0， 即2(ab)2－4abL ＋L 2≥0. ∴ab ≥2＋22L 或ab ≤2－2
2L.
其中ab ≥2＋2
2L(舍去)，
于是ab ≤2－2
2
L ，②
由于①、②等号成立的条件是当且仅当a ＝b ， ∴ab 的最大值为2－2
2
L.
∴这个三角形面积的最大值为3－224L 2
.。