教学设计独立性检验的基本思想及初步应用

独立性检验的基本思想及其初步应用
教材：普通高中课程标准试验教科书《数学 选修2-3》3.2（人民教育出版社A版）
一、教学内容解析
1．本节课是高中数学（选修2-3）第三章统计案例的第二节独立性检验的基本思想及初步应用的第二课时，是在学习了相互独立事件概率、掌握了分类变量的概念，学会了用列联表和等高条形图直观判断两个分类变量是否有关系之后进行教学的．这节课的学习任务包括的知识类型主要有：
事实性知识：数据统计分析、2×2列联表、独立性检验基本原理；
程序性知识：独立性检验的操作步骤；
元认知知识：独立性检验的基本思想及其初步应用．
2．独立性检验的基本思想及初步应用是高中数学教材的新增内容，也是一种重要的假设检验方法．本节内容将反证法与独立性检验的思想有机融合，将假设检验的思想应用到实际生活中去．
3．独立性检验在选修2-3的第三章和选修1-2的第一章中都有设置，分别供理科选修和文科选修的学生学习，两部分的区别主要是在构造随机变量K2的过程中理科学生可以利用相互独立事件概率的乘法原理进行理解，而文科的学生没有学习相互独立事件概率这一内容．不过对于独立性检验思想的形成过程，教材的设计均还原了数学的本质，是对“观察发现、抽象概括、感性到理性”等数学认知规律的提炼与总结，能让学生充分体会数学的发生、发展．
二、教学目标设置
1．知识与技能
结合生活实例对分类变量进行简单的数据处理，运用2×2列联表、等高条形图直观判断两个分类变量是否有关系，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用．2．过程与方法
让学生通过数据统计、分析和计算过程，从具体实例中学会用样本来估计总体的统计思想．通过主动探究、自主学习、小组合作交流，从具体实例“学科选择与性别是否相关”中抽象、概括、总结出独立性检验的基本原理和基本步骤，同时让学生充分体会知识的发现过
程．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，初步培养学生从生活中发现数学问题、解决数学问题的能力及抽象概括、数学建模、数据分析等数学素养．通过学生分析问题、解决问题的学习过程，激发学习兴趣，培养学生勇于探索的科学精神，从而实现自我的价值．
三、学生学情分析
我校是湖南省著名的示范性中学，学生学习基础较好．从课前的自学反馈中，了解到学生具备以下3个学情：
1．学生已经学习了相互独立事件的概率乘法，也有了一定的数据分析能力和利用样本估计总体的统计学思想；
2．学生能够初步了解分类变量的概念，以及能将数据整理为2×2列联表的形式、能够利用Excel软件得出等高条形图；
3．独立性检验的统计思想对学生来说比较难理解，因此在教学过程中将采用自主探究、小组讨论等环节引导学生类比反正法体会假设检验的思想，加深理解．
四、教学策略分析
1．有效开发、合理利用教材资源．从学生关心的新高考选课的实例入手，引导学生统计数据、分析数据，通过合作探究和动手操作中得出独立性检验的基本原理及初步应用等新知识．
2．在学生已经学习了相互独立事件的概率、分类变量的概念、2×2列联表以及等高条形图，通过循序渐进的教学环节和环环相扣的问题探究，引导学生逐步发现新知，感悟新知，从而突破教学难点，使学生深刻领会独立性检验的含义．
3．适当整合媒体资源，利用多媒体呈现实例与独立性检验的原理和过程、学生参与利
K的观测值的过程．这样既用EXCEL软件进行数据统计和分析，得出等高条形图，计算2
充分展现了计算机的优势，也体现了学科知识间的融合．
五、教学过程设计
（一）课前准备完成预习
1．分组：4人分为一个小组，确定6个小组长．
2．准备：教师准备本校高一学生模拟选科（即从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门）的原始数据；准备6台笔记本电脑．
3．预习：课前预习教材第91页至96页，让学生初步了解独立性检验的原理以及Excel 的操作方法．
（二）复习回顾引出课题
为了迎接2018年的新高考改革，我校对新高一学生选修物理、化学、生物、政治、历史和地理6门课程情况进行调查，共调查了921个学生，教师展示原始数据表格．你觉得哪门学科的选择最可能与性别有关？
小组合作：完成物理课程选择与性别列联表，并绘制“物理课程选择与性别”等高条形图．
学生活动：先让学生小组之间合作完成下面表格中数据统计，教师巡视指导，并与学生交流统计数据的方法，用Excel软件演示等高条形图．
由学生展示统计结果．
女生男生总计
选修物理课程193 340 533
没有选修物理课程244 154 398
总计437 494 921
物理课程选择与性别列联表
等高条形图
问题1由物理课程选择与性别的列联表和等高条形图能否得出高中生选修物理课程与性别有关？
分析：从上面2×2列联表，可以计算男生中有340/494≈68．8%的人选修物理课程，女
生中，有193/437≈44．2%的人选修物理课程．由此可以看出，男生选修物理课程的比例与女生选修物理课程的比例有比较大的差异，故“高中生选修物理课程与性别有关”；由等高条形图也可以观察得出相同的结论．
【设计意图】课堂开始阶段，引导学生回顾上节课关于分类变量、列联表和等高条形图的知识，让学生掌握用定性的方法来初步判断两个分类变量是否有关系．
问题2上述判断是否可靠呢？你有多大的把握认为“高中生选修物理课程与性别有关”？
引导学生独立思考，然后再相互交流．这两种方法都仅能粗略地判断“高中生选修物理课程与性别有关”，却不能给出认为“高中生选修物理课程与性别有关”的可靠程度．【设计意图】通过复习回顾，使学生进一步掌握如何根据列联表、等高条形图来判断两个分类变量是否有关系，并了解两种方法的局限性．充分认识独立性检验的必要性，创设悬念，激发斗志，让学生跃跃欲试．
（三）问题驱动概念形成
为了找到一个精确又便于统一评判的检验方法，我们先把具体问题一般化．
把表格中的数字用字母代替，得到两个分类变量的2×2列联表：
女生男生总计
选修物理课程 a b a＋b
未选修物理课程c d c＋d
总计a＋c b＋d n
问题3 如何利用列联表中的数据定量地刻画“两个分类变量有关系”的可靠程度呢？
学生合作讨论从正面分析，很难得出“有关系”时数据应该满足的条件，此时教师及时引导学生回顾相互独立事件概率计算模型，类比反证法思想，提出假设：
H0：高中生选修物理课程与性别无关．
如果“高中生选修物理课程与性别无关”，就可以认为“选修物理课程”与“性别”是两个独立的事件，下面我们就从独立事件的概率进行分析．
设A表示事件“女生”，B表示事件“选修物理课程”，AB表示“是女生选修物理课程”，问题4 若“选修物理课程与性别无关”，A、B事件的概率应该满足什么条件？
用样本频率估计概率，计算P(AB)与P(A)，P(B)，由于样本的随机性，提出当P(AB)与P(A)P(B)越接近，A与B独立的可能性就越大，即“选修物理课程与性别有关”的可能性就
越小．
【设计意图】通过对实例的分析和层层设问，为引入和理解独立性检验的基本思想做好铺垫．
在列联表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和事件B
发生的频数.因为频率近似于概率，所以在H0成立的条件下应该有a b a c a
n n n
++
⨯≈，其中
n＝a＋b＋c＋d，即(a+b+c+d)a≈(a+b)(a+c)，ad-bc≈0.
因此| ad-bc |越小，说明选修物理课程与性别的关系越弱，| ad-bc |越大，说明选修物理课程与性别的关系越强．
对绝对值我们通常类比方差的处理方法是将它平方，但是对于不同的样本，列联表中的每一个数值都可能不一样，为了使不同容量的样本有统一的评判标准，统计学家构造了一个
随机变量
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b a c b d c d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
由于不同样本中K2的观测值不同，我们统一将实际问题中K2的观测值用k表示．
同时得出，在H
成立的情况下，有如下结果：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 教师适当解释临界值表中相应数据的意义，并举例说明：以临界值k0为6.635为例，在
H0成立的情况下，统计学家研究发现，K2的观测值大于6.635的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件，在一次试验中，小概率事件发生了，有理由断定假设H0不成立下面让学生计算实例中的K2的观察值．
由表中数据计算得到K2的观察值k≈52.441．
问题5 能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为选择物理课程与性别有关系？
学生分析得出，犯错的概率0.010所对应的临界值k0为6.635，K2的观察值k≈52.441，大于6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“高中生选修物理课程与性别有关”．
以上利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验（test of independence）．
问题6请回顾独立性检验的过程，将反证法的原理和独立性检验的原理进行对比．完成下面表格．
学生合作讨论、归纳总结，然后小组间交换意见．
反证法原理在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立.
独立性检验原理
在假设H0下，若果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断
H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.
【设计意图】通过类比，引领学生在积极的思考、探究中，理解独立性检验的基本思想．整理独立性检验的做法：
（1）判断之前，确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，及相应临界值k0．
（2）由观测数据计算得到的K2的观测值k．
（3）如果k≥k0，就认为假设“两个分类变量之间无关系”不成立，推断“两个分类变量之间有关系”，推断错误的概率不超过α，否则就没有足够证据拒绝“两个分类变量无关”的原假设，即在犯错误的概率不超过α的前提下不能认为“两个分类变量有关系”．【设计意图】通过回顾和整理独立性检验的过程，进一步加深学生对独立性检验的理解，学会独立性检验的初步应用.
（四）运用新知，感悟提升
请小组各选择一个学科，统计该学科课程选择与性别的有关数据，得出列联表和等高条形图，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为该学科的课程选择与性别有关？完成统计分析报告．
统计分析报告
________年________月________日______组研究课题高中生选修____课程与性别的关系
数据整理(画出列联表)
女生男生合计选择____课程
没有选择___课程
合计
等高条形图计算K2的观测值
结论
小组合作完成
K2的观测值物理化学生物政治历史地理k 52.441 17.637 0.009 59.25 3.881 6.796
从我校高一学生921个来看，在犯错误概率不超过0.05的前提下可以认为，物理，化学，政治，历史和地理学科的选择与性别有关，在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为生物学科的选择与性别有关．
值得注意的是，尽管我们的结论已相对严谨，但是，这组数据调查来自我们学校，因此所得结论只适合我校或与我们学校情况类似的学校的学生．
【设计意图】完成调查分析报告不单纯是对独立性检验思想的应用，更是课堂内容的一个延伸，通过学生自己统计数据，分析数据，参与整个独立性检验的全过程，可以开阔学生的视野，对独立性检验思想有一个较全面科学的认识．
（五）回顾总结提炼要点
这节课我们学习了哪些知识和方法？
【设计意图】学生总结反思，进一步强调独立性检验的原理和操作步骤，培养学生提炼、总结、概括的能力．
六、课堂教学目标检测
1．阅读思考
阅读教科书第91页至96页，完成教科书第97页的两个思考题.
2．巩固提升
教科书第97页，第2题.
【设计意图】在作业的布置中，注意将双基训练与能力发展相结合．设计阅读思考问题，有意识地回归教材，加深对独立性检验原理和做法的理解；设计练习题，使学生能够学以致用，既巩固了基本知识，有效地检测课堂教学效果，同时又提升了学生运用知识分析问题和解决问题的能力．。