人教版高中数学选择性必修第二册 重难强化训练1(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册重难强化训练1(原卷版)
数列和等差数列(60分钟100分)练易错
易错点1|忽视数列是特殊的函数
[防范要诀]
数列的通项a n及前n项和S n都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．
[对点集训]
1．(5分)设a n＝－n2＋5n－6，则数列{a n}中的最大项的值是()
A．16
3B．13
3
C．3
4
D．0
2．(5分)已知数列{a n}的通项公式a n＝n2＋kn＋2，若对于任意n∈N*，都有a n＋1>a n成立，则实数k的取值范围是()
A．k>0B．k>－1
C．k>－2D．k>－3
3.(5分)已知数列{a n}的通项公式a n＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
[对点集训]
4．(5分)已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋S n＋1＝a n＋1(n∈N*)，则此数列是()
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
5.(5分)已知数列{a n}满足S n＝n2＋1，则通项公式a n＝________.
易错点3|对等差数列的定义理解不透致误
[防范要诀]
使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差．
[对点集训]
6.(5分)已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n＋1＝2a n＋3(n≥2，n∈N*)，判断{a n}是否是等差数列．
7.(10分)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝1
4
(a n＋1)2，且a n>0.求{a n}的通项公式．练疑难
8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是()
A ．
12B ．
23
C ．
34
D ．1
9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于()
A ．0
B ．log 25
C ．32
D ．0或32
10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是()
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第13项
11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为1
25
，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是()
A ．d >
875
B ．d <
325C ．
875<d <325
D ．875<d ≤
325
12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是()
A ．S 30是S n 的最大值
B ．S 30是S n 的最小值
C ．S 30＝0
D ．S 60＝0
13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数
m 的值为________．
14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)n 项和T n .
15.(10分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)证明：数列{a n}是递减数列．
16.(10分)数列{a n}的通项公式为a n＝n2＋kn＋2.
(1)若a2＝a7，求数列{a n}的最小项；
(2)若不等式a n≥a4恒成立，求实数k的取值范围．
人教版高中数学选择性必修第二册重难强化训练1(解析版)
数列和等差数列(60分钟100分)练易错
易错点1|忽视数列是特殊的函数
[防范要诀]
数列的通项a n及前n项和S n都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．
[对点集训]
1．(5分)设a n＝－n2＋5n－6，则数列{a n}中的最大项的值是()
A．16
3B．13
3
C．3
4
D．0
D解析：此二次函数图象对称轴n＝5
2∉N
*.
∴当n＝2或3时，a n取最大值，a2＝a3＝0.
2．(5分)已知数列{a n}的通项公式a n＝n2＋kn＋2，若对于任意n∈N*，都有a n＋1>a n成立，则实数k的取值范围是()
A．k>0B．k>－1
C．k>－2D．k>－3
D解析：∵a n＋1>a n，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，
即k>－(2n＋1)对于任意n∈N*都成立，
当n＝1时，－(2n＋1)取最大值－3，
∴k>－3.
3.(5分)已知数列{a n}的通项公式a n＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
10或11解析：令a n≥0得－n2＋10n＋11≥0，
即n2－10n－11≤0，∴－1≤n≤11.
∵n∈N*，∴该数列前10项为正，第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大．
易错点2|不能正确进行a n与S n互化
[防范要诀]
凡是已知S n的表达式或S n与a n的关系式，都需要用到当n≥2时，a n＝S n－S n－1；另外，也不要忽视检验n＝1是否也适合a n.
[对点集训]
4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是()
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
C
解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，
∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，
两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0.∴{a n }是常数列，各项均为0.
5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.
，n ＝1，
n －1，n ≥2
解析：∵S n ＝n 2＋1，
∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．
∴a n ，n ＝1，n －1，n ≥2.
易错点3|对等差数列的定义理解不透致误[防范要诀]
使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差．[对点集训]
6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是
否是等差数列．
解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠3
2，故数列{a n }不是等差数
列.
7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1
4
(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．
解：∵S n ＝1
4(a n ＋1)2.
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)2－1
4
(a n －1＋1)2.∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.
∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.
∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)．∴{a n }为等差数列，公差为2.
当n ＝1时，S 1＝a 1＝1
4(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0.
∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1.练疑难
8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是()
A ．
12B ．
23
C ．34
D ．1
A
解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，
∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2，a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝1
2
.
9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于()
A ．0
B ．log 25
C ．32
D ．0或32
B
解析：依题意得2lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)，
∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0，∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)，∴x ＝log 25.
10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是()
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第13项
C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2
－414
.
令n ＝72，则n ＝49
4＝12.25.∵n ∈N *，
∴当n ＝12时，a n 最小．
11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为1
25
，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是()
A ．d >
875
B ．d <
325C ．
875<d <325
D ．875<d ≤
325D
解析：由题可得a 1＝1
25
，且
10>1，9≤1，
9d >1，8d ≤1，从而解得
875<d ≤325
.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是()
A ．S 30是S n 的最大值
B ．S 30是S n 的最小值
C ．S 30＝0
D ．S 60＝0D
解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线
n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20
＝S 40可知S 60＝0，故选D ．
13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数
m 的值为________．－12
解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23，
a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m
3
3成等差数列，∴2·
23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m 3
3，∴m ＝－12.经检验m ＝－1
2
满足题设.
14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)
n 项和T n .
解：(1)
a1＋3×2
2
d＝6，
a1＋8×7
2
d＝－4.
a1＋3d＝6，
a1＋28d＝－4，
1＝3，
＝－1.
所以S n＝3n＋
n(n－1)
2
×(－1)＝－
1
2
n2＋7
2
n.
(2)由(1)，得S n
n＝－
1
2
n＋7
2，
所以
S n＋1
n＋1
－
S n
n＝－
1
2
(n＋1)＋7
2－
－
1
2
n
＝－1
2，即数列
是首项为S1
1＝3，公差为－
1
2的等差数列，
故T n＝3n ＋
n(n－1)
2
×＝－
1
4
n2＋13
4
n.
15.(10分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)证明：数列{a n}是递减数列．
(1)解：∵f(x)＝2x－2－x，f(log2a n)＝－2n，
∴2log2a n－2－log2a n＝－2n，
即a n－
1
a n＝－2n(看成关于a n
的方程)．
∴a2n＋2na n－1＝0，
解得a n＝－n±n2＋1.
∵a n＞0，
∴a n＝n2＋1－n.
(2)证明：作商比较，∵a n＋1
a n＝
(n＋1)2＋1－(n＋1)
n2＋1－n
＝
n2＋1＋n
(n＋1)2＋1＋(n＋1)
＜1.
又a n＞0，∴a n＋1＜a n，故数列{a n}是递减数列.
16.(10分)数列{a n}的通项公式为a n＝n2＋kn＋2.
(1)若a2＝a7，求数列{a n}的最小项；
(2)若不等式a n≥a4恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)
由a2＝a7得k＝－9
，即a n＝n2－9n＋2－73
4
.
因为n∈N
＋
，所以当n＝4或5时，{a n}的最小项为a4＝a5＝－18.
(2)a n＝n2＋kn＋2＋2－k2
4，
因为不等式a n≥a4恒成立，所以3.5≤－k
2≤4.5，解得－9≤k≤－7.
所以实数k的取值范围为{k|－9≤k≤－7}．。