【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习真题演练：7-5直线、平面垂直的判定及其性质(含答案解析)

高考真题演练
空间中的垂直关系
1．(2013·浙江卷)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则() A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
解析：设P1＝fα(P)，
P2＝fβ(P)．
由条件中的新定义知：
PP1⊥α，P1Q1⊥β，PP2⊥β，P2Q2⊥α，
故PP1∥P2Q2，PP2∥P1Q1，PP1⊥P1Q2，PP2⊥P2Q1，可知点P，P1，P2，Q1，Q2五点共面，记为平面γ，可得α⊥γ，β⊥γ.
当α⊥β时，PP2⊥PP1，此时四边形PP1Q2P2为矩形，PP2⊥P2Q2，故Q1与Q2重合，满足题意，故选A.
答案：A
2．(2011·大纲全国卷)已知直二面角α—l—β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由题意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝2，故选C.
答案：C
3．(2012·安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD ＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
解析：把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；因为四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；当四面体ABCD 为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；因为每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；而命题⑤显然成立．
答案：②④⑤
4．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
5．(2015·天津卷) 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
解：(1)证明：如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE.
又因为BC∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1.
又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.
(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE. 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，
所以NE ∥B 1B ，NE ＝12
B 1B. 故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE ， 又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．
在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.
因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1，
所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ，
又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.
在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4.
在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12
，因此∠A 1B 1N ＝30°. 所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.。