2023-2024学年上海市奉贤区高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市奉贤区高二下册期中数学模拟试题
一、填空题
1．已知等差数列{}n a ，243a a +=，55a =，则n a =__________【正确答案】715
44
n -
【分析】求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设公差为d ，由243a a +=，55a =，
得1124345a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12
74a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，
所以()7715
21444
n a n n =-+
-=-.故答案为.715
44
n -
2．已知函数()y f x =，其中()33x
f x x =-，则()f x '=________
【正确答案】233ln 3
x x -【分析】直接利用求导公式计算即可.
【详解】()33x
f x x =- ，
()233ln 3x f x x '∴=-.
故答案为.233ln 3
x x -3．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是
45，感冒发作的概率是6
7
，鼻炎发作且感冒发作的概率是3
5
，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
【正确答案】
3
4
/0.75【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．
【详解】记事件A ＝“某人在春季里鼻炎发作”，事件B ＝“某人在春季里感冒发作”，由题意可知463(),(),()575
P A P B P AB =
==，此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为3
()3
5()4()
45
P AB P B A P A =
==，
故
34
4．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字且为偶数，这样两位数的个数有_________个【正确答案】16
【分析】利用分类计数原理，对个位进行分类讨论即可得到结果.
【详解】当个位数字是8时，十位数字取1，2，3，4，5，6，7，只有7个．当个位数字是6时，十位数字可取1，2，3，4，5，共5个．当个位数字是4时，十位数字可取1，2，3，共3个．同理可知，当个位数字是2时，有1个，当个位数字是0时，共0个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＝16（个）.故16
5．已知函数()ln x
f x x
=，则函数()f x 的单调递增区间为__________.【正确答案】(0,e)
【分析】求出函数的导数，解不等式()0f x ¢>，即可求得答案.【详解】由函数()ln ,(0)x f x x x
=>可得()21ln x
f x x -'=，
令()2
1ln 0,0,0e x
f x x x -'>∴
>∴<<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，故(0,e)
6．若直线:20l x y m -+=与圆22:240C x y y +--=相切，则实数m =_________．【正确答案】3-或7
【分析】利用几何法列方程即可求解.
【详解】圆22:240C x y y +--=可化为()2
215x y +-=.
因为直线:20l x y m -+=与圆22:240C x y y +--=相切，
=解得：3m =-或7.故3-或7
7．在6
22x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，3x 项的系数是______．
【正确答案】160
-【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式求解即可．
【详解】6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式的通项公式为()
()62
1231662C C 2r
r
r r
r
r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭
，令1233r -=，得3r =，所以含3x 项的系数为()()3
36C 2208160-=⨯-=-，
故160-．
8．已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．【正确答案】9
【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，求出,n n a S ，再解不等式12513n +>即得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，
因为38a =，532a =，所以25
3
42a q q a =
=⇒=，所以3
32
2n n
n a a -=⋅=，所以()12122212
n n n S +-=
=--．
因为511n S >，即12513n +>，
当8n =时，1922512n +==；当9n =时，110221024n +==，所以正整数n 的最小值为9．故9
9．直线21y x =+关于直线23y x =+对称的直线方程为________【正确答案】25
y x =+【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为2y x b =+，由直线21y x =+与直线23y x =+间的距离，求得b 的值，得直线方程.
【详解】设所求直线方程为2y x b =+，且1b ≠，
直线21y x =+与直线23y x =+
=
，
则直线2y x b =+与直线23y x =+
=
1b ≠，得5b =，
所以所求直线方程为25y x =+，故答案为.25
y x =+10．2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_________【正确答案】24
【分析】先考虑两位教师的排法，再考虑甲的排法，最后考虑余下三位同学的排法，结合分步乘法计数原理求总排法数即可.
【详解】先考虑将两位老师排在中间，有2
2A 种排法，再考虑排甲同学，有1
2A 种排法，
最后考虑余下三位同学的排法，有3
3A 种排法，
由分步乘法计数原理可得共有213
223A A A 24=种排法.
故答案为.24
11．当1x ≥时，不等式()sin 1ln ax x x a --≥+恒成立，则a 的范围为______.【正确答案】2
a ≥【分析】构造()()sin 1ln ,1f x ax x x a x =----≥，求导判断单调性，分2a ≥和2a <两种情况讨论，可得所求a 的范围．
【详解】构造()()sin 1ln ,1f x ax x x a x =----≥，且()00f =()1
cos(1)f x a x x
'=---
，且()12f a '=-当2a ≥时，()112cos(1)1cos(1)10f x x x x x
'=---
=--+-≥()f x \在[)1,+∞上单调递增，()()10f x f ≥=成立；
当2a <时，()120f a -'=<，又()f x 在[)1,+∞上为连续函数，
∴存在0x ∈[)1,+∞，使()01,x x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()01,x 上单调递减，
此时()()10f x f <=，不成立，舍去；则a 的范围为2a ≥，故2a ≥．
12．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为
3
10
，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法.【正确答案】25200
【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【详解】设10名学生中，有女生x 人，男生()10x -人，则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率()()
1210310
109C C
32C
120
10
x x x x x P ---⨯
==
=
，整理得：()()10972x x x --=，即321990720x x x -+-=因式分解可得：()()()61120x x x ---=，解得：61x =>或1x =（舍去）或12x =（舍去）所以10名学生中，有女生6人，男生4人，
将6名女生排成一排有6
6A 种方法，再将4名男生插到7个空中有6
4
67A A 种方法，因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有4
4A 种方法，
所以一共有64
67
44
A A 654321765425200A 4321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故25200二、单选题
13．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，已(140)0.2P X >=，则
[100,140]X ∈的学生人数为（
）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
【正确答案】D
【分析】由正态分布的对称性求出(100140)0.6P X ≤≤=，即可求出[100,140]X ∈的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，所以期末考试数学成绩关于120μ=对
称，
则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.
故选：D.
14．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（）
A ．1a 2-<<
B ．3a <-或6a >
C ．36a -<<
D ．1a <-或2
a >【正确答案】B
【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求a 的取值范围即可.【详解】函数32()(6)1f x x ax a x =++++，2()326f x x ax a '∴=+++，
函数()f x 有极大值和极小值，
所以其导函数()0f x '=有两个不同的解，2443(6)0,
a a ∆=-⨯+>所以3a <-或6a >.故选：B
15．已知点()1,0A -，()2,0B 与直线():0l mx y m m -+=∈R ，若在直线l 上存在点P ，使得
2PA PB =，则实数m 的取值范围是（
）
A ．33⎡-⎢⎥⎣
⎦B ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
C ．⎡⎣
D ．()
,-∞⋃+∞
【正确答案】A
【分析】设出P 点坐标，由2PA PB =进行化简，结合二次函数的性质求得m 的取值范围.【详解】对于直线():0l mx y m m -+=∈R ，即()1y m x =+，所以()1,0A -在直线l 上，设()(),1P t m t +，其中1t ≠-，
由2PA PB =两边平方得2
2
4PA PB =，
即()()()()22222
211421t m t t m t ⎡⎤+++=-++⎣⎦
，整理得()2
221650t m t t ++-+=，
由于10t +≠，所以()
()()
222
2
2
218112
65
11t t t t t m t t ++-++-+=-
=-
++()
2
12
8
111t t =-
+
-++，其中101
t ≠+，根据二次函数的性质可知，当11,213
t t ==+时，()2
128111t t -+-++取得最大值，且最大值为13，则2
10,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，解得33m ⎡⎢⎣
⎦∈.故选：A
16．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{}n a 本身不是等差数列，但从{}n a 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n b （则称数列
{}n a 为一阶等差数列），或者{}n b 仍旧不是等差数列，但从{}n b 数列中的第二项开始，每一项与前
一项的差构成等差数列{}n c （则称数列{}n a 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（）A ．5
2B ．2
C ．21
2D ．28
2【正确答案】C
【分析】根据数列特征可知数列{}n b 为等比数列，进而得到n b ，利用累乘法可求得n a ，代入8n =即可.
【详解】记数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅为{}n a ，设1
n n n
a b a +=，则11b =，22b =，34b =，48b =，⋅⋅⋅，
∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，
()
()()
1212322
123112
2
n n n n n n n a b b b b a --+++⋅⋅⋅+----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，76212
8
2
2a ⨯∴==.
故选：C.三、解答题
17．已知函数()32
36g x ax x =-+在2x =处取得极值.
(1)求实数a 的值；
(2)若关于x 的方程()g x m =在区间[]1,1-只有两解，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1;a =(2)[)
4,6【分析】（1）对函数求导并()20g '=，由此解得1;
a =（2）研究函数()32
36g x x x =-+在区间[]1,1-单调性，结合端点值，确定实数m 的取值范围即可.
【详解】（1）()2
36g x ax x '=-由题意知：()102122g a '=-=，
解得：1;
a =（2）由（1）知，()32
36g x x x =-+，()()23632g x x x x x =='--，
当[]()1,0,0,x g x '∈->函数单调递增；当(]()0,1,0,x g x '∈<函数单调递减；()()()612,140,,
g g g ==-=所以当[
)4,6m Î时，()g x m =在区间[]1,1-只有两解，故实数m 的取值范围为[)4,6.
18．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负.并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；
③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和.(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；
(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ；【正确答案】(1)
3
7
(2)分布列见解析，()607
E ξ=
【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；
（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量ξ的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A ，
则()112
163
2
7C C C 93C 217
P A +===.（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，
()33
37C 16C 35P ξ===，()213337C C 97C 35
P ξ===，
()12
33
37C C 98C 35P ξ===，()11331337
C C C 49C 35P ξ+===，()111313
37C C C 910C 35P ξ===，()21
313
7
C C 311C 35P ξ===，所以ξ的分布列为：
P
67891011
ξ
1
35
935935435
935335
所以ξ的数学期望()19949360678910113535353535357
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19．已知数列{}n a 满足()
*
111,21N n n a a a n +==+∈(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)设n b n =，求{}n n a b 的前n 项和n T 【正确答案】(1)证明见解析；(2)()()112122
n n n n T n ++=-+-
【分析】（1）根据题干条件构造出()()1121n n a a n *
++=+∈N ，结合等比数列定义证明结论；
（2）先求出{}n n a b 的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.
【详解】（1）因为()121N n n a a n *
+=+∈，
所以()()1121N n n a a n *
++=+∈，又112a +=，
所以
()11
21
n n a n a *++=∈+N ，∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，1
122
2n n n a -+=⋅=，∴21n n a =-，
∵n b n =，∴()
21n
n n a b n ⋅=-，
∴112233n n n
T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅()()()()12312122132121n n =-+-+-+⋅⋅⋅-()1231222322(123)
n n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+令1231222322
n
n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅2341
21222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅两式相减1231
122222n n n S n +-=⋅+++⋅⋅⋅-⋅，
所以1
1
1222
2n n n S n ++---=-⋅所以()1
212n n S n +=-+，
又()1122
n n n +++⋅⋅⋅+=
，
∴()()112122
n n n n T n ++=-+-
20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12
，椭圆的上顶点为(，过点()4,0P 且不
垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；
(2)求OA OB ⋅
的取值范围；
(3)若点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．
【正确答案】(1)22
1
43
x y +=(2)134,4⎡⎫-⎪
⎢⎣
⎭
(3)证明见解析
【分析】（1）根据离心率为12，可得2243a b =
，由椭圆的上顶点为(可得b 的值，从而可得椭圆的方程；
（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的
数量积公式，即可确定OA OB ⋅ 的取值范围．
（3）由B 、E 两点关于x 轴对称，
可得22(,)E x y -，即可得到直线AE 的方程，再令0y =，求出1x =，即可得解.
【详解】（1）由题意知12c e a ==，22222214
c a b e a a -∴===，即2243a b =又
椭圆的上顶点为(
b ∴=24a ∴=，23
b =故椭圆的方程为22
143
x y +=.（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(4)y k x =-．将直线方程(4)y k x =-代入椭圆方程可得：2222(34)3264120
k x k x k +-+-=由0∆>得：42210244(34)(6412)0k k k -+->，解得21
4
k <设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2
1223234k x x k +=+，2122
641234k x x k -=+()()()21212121244416y y kx k kx k k x x x x -⎡⎤⎣⎦=--=++22222222264123236416434343k k k k k k k k k -=⋅
-⋅+=+++∴2121222223364123687254344k O k k A OB x x y y k k -⋅=+==+-+++ 21
04k ≤<，所以2041k ≤<，23443k ≤+<，21114433k <≤+，所以2878729443k <≤+，所以28713425434k -≤-<+∴134,4OA OB ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣
⎭ ∴OA OB ⋅ 的取值范围是134,4⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭.（3）∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴22(,)E x y -，0
k ≠因为()212121222
322444883434k k y y kx k kx k k x x k k k k k -+=-+-=+-=⋅-=++，2
1223643k y y k =+直线AE 的方程为：121112
()y y y y x x x x +-=--
令0y =得2212122212122121122112
223624(4)(4)4()4433412434y y k k y y y y y y x y x y k k k k k k x k y y y y y y k -+++⋅++⋅+⋅+++=====-++++∴直线AE 与x 轴交于定点()1,0．
21．已知函数()e x f x x =.
(1)求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)求证：当0x >时，()2f x x >.
(3)若0x >时，()20f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【正确答案】(1)2e e
y x =-(2)证明见详解
(3)e
a ≤【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出()1f 和()1f '，由点斜式可得解；
（2）当0x >时，()2f x x >恒成立，等价于e x x >恒成立，
构造函数()e x g x x =-，通过研究()g x 的单调性和最小值即可得证；
（3）利用参变分离将原不等式转化为e ,(0)x
a x x
≤>恒成立，再构造函数e ()0)x
h x x x
=>，通过研究()h x 的单调性和最小值即可得解【详解】（1）由题意，()1=e f ，又()e e ,x x f x x '=+由导数的几何意义，(1)e e 2e k f '==+=，所以()f x 在点()()1,1f 处的切线方程：e 2e(1)y x -=-，即2e e y x =-；
（2）当0x >时，()2f x x >恒成立，等价于e x x >恒成立，
设()()e ,0x g x x x =->，则()e 1x g x '=-，
当0x >时，e 1x >，所以()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上为增函数，所以()(0)10g x g >=>，即e 0x x ->恒成立，e x x >恒成立，所以当0x >时，2e x x x >，问题得证；
（3）若0x >时，()20f x ax -≥恒成立，等价于e ,(0)x
a x x
≤>恒成立，令e ()0)x h x x x =>，则2
(1)()x e x h x x '-=，令()0h x '=，得1x =，
当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则min ()(1)h x h e ==，
故当e a ≤时，原不等式恒成立.
利用导函数解不等式常见思路：
（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解
（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．。