吉林省东北师范大学附属中学2015届高三文科数学一轮复习：双曲线[2]

双曲线(教案）[2]
二、填空题(每小题5分，共15分）
8. 【2014北京】10。

设双曲线C 的两个焦点为()2,0
,)2,0
,一个顶点
式()1,0，则C 的方程为 .
[解析] 10．
221x y -=由题意设双曲线的方程为x 2－y
2
b 2
＝1(b 〉0)，又∵1
＋b 2＝（错误!)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1。

9。

（2012
湖北黄冈一模，15）若双曲线
k y x 2
216-=1的一条准线恰为圆
x 2+y 2+2x=0的一条切线，则k 等于_________________.
解析：因圆方程为(x+1）2+y 2=1，故—c a 2
=—2,即
k
+1616
=2，k=48。

10.双曲线n
x 2
-y 2=1(n>1)的两焦点为F 1、F 2，P 在双曲线上,且满足｜
PF 1|+|PF 2｜=22+n ，则△PF
1F 2
的面积为_______________。

解析：不妨设｜PF 1|>｜PF 2｜，则|PF 1｜-｜PF 2｜=2
n ，故|PF
1
｜
=
n n ++2，｜PF
2|=
n n -+2，又|F
1F 2|2=4(n+1）=|PF 1｜2+|PF 2
｜2，∴△PF 1F 2为
Rt △。

故21F PF S ∆=2
1
|PF 1|·|PF 2｜=1。

三、解答题（11—13题每小题10分,14题13分,共43分)
11.若双曲线
22
22b y a x -=1（a>0,b 〉0)的右支上存在与右焦点和左准线距
离相等的点,求离心率e 的取值范围.
解析:如右图,设点M （x 0,y 0）在双曲线右支上，依题意，点M 到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离|MN ｜,即
|MF 2|=|MN|。

∵|||
|1MN MF =e,∴||||21MF MF =e,a ex a ex -+00=e 。

∴x
=e e e a -+2)1(. ∵x 0≥a ，∴e e e a -+2)1(≥a 。

∵e e e
-+21≥1，e ＞1,∴e 2—e 〉0。

∴1+e ≥e 2-e.∴1-2≤e ≤1+2.但e 〉1，∴1<e ≤1+2。

12。

已知△P 1OP 2的面积为4
27
，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以
直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 而离心率为
213
的双曲线方程.
解析:以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如右图所示的直
角坐标系，设双曲线方程为22
2
2b
y a x -=1(a>0，b 〉0），由
e 2=2
2
a c =1+（a
b
）
2
=(
213
）2得23=a b .
∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y=2
3x 和
y=—2
3
x ，设点P 1（x 1,2
3
x 1）
，点P 2（x 2
,-2
3x 2）（x 1＞0，x 2＞0),则点P
分21P P 所成的比λ=2
1PP P
P =2。

得P
点坐标为（3
223,322
121x x x x -•+),即(
2
2,322
121x x x x -+）,又点P 在双曲线
22
2
24
9a y a
x -=1上.所以
2
2
2122219)2(9)2(a x x a x x --
+=1，即（x 1+2x 2）2-(x 1—2x 2）
2
=9a 2.8x 1x 2=9a 2。

①又｜OP 1｜=213
49212
1=+
x x x
1
,|OP 2|=
213
49222
2=+
x x x
2
，
sinP 1OP 2=
13124
9123
2tan 1tan 2121=+•
=
+OX
P OX P ，∴
2
1OP P S ∆=2
1
｜
OP 1｜·|OP 2|·sinP 1OP 2=21
·413x 1x 2·1312=4
27，即
x 1x 2=2
9。

②，由
①②得
a 2=4,∴
b 2
=9,故双曲线方程为9
42
2y x -=1。

13.（2012江苏扬州中学模拟,23)已知倾斜角为45°的直线l 过点A(1，—2)和点B ，其中B 在第一象限，且｜AB|=3
2。

（1）求点B 的坐标； （2）若直线l 与双曲线
C ：2
2
a x -y 2=1（a>0)相交于不同的两点E 、F ，
且线段EF 的中点坐标为(4，1）,求实数a 的值。

解：（1)直线AB 方程为y=x-3，设点B （x,y ）,
由⎩
⎨⎧=++--=,18)2()1(,
322y x x y 及x>0，y>0,得x=4，y=1，∴点B 的坐标为（4，
1）.
(2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.1,
32
2
2y a x x y 得（2
1a -1）x 2+6x —10=0。

设E （x 1，y 1）,F(x 2，y 2）,则
x 1+x 2=2
2
16a a -=4,得a=2,此时，Δ>0,∴a=2.
14。

如右图,F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,点A 的坐标
是（
2
2,—
2
2），点B 在双曲线上，且A F 1·AB =0。

（1）求点B 的坐标；(2)求证：∠F 1BA=∠F 2BA 。

（1）解析:依题意知F 1(-2，0）,F 2(2，0)，A(
22，—
2
2)。

设
B （x 0，y 0）,则A F 1=(223,-2
2
）,AB =（x 0—
2
2,y 0+
2
2)，
∵A F 1·AB =0，∴223（x 0—2
2
）—
2
2（y 0+
2
2)=0，
即3x 0-y 0=2
2。

又∵x 02—y 02=1，∴x 02—(3x 0-22)2=1,(22x 0—3)2=0.
∴x 0=4
3
2，代入
3x 0—y 0=22,得y 0=
4
2.∴点B
的坐标为（4
3
2，4
2).
（2）证明：1BF =（-2
47，—4
2)，BF 2=(
4
2，—
4
2),BA =(-4
2，-4
32）,
cosF 1BA=
5
5
4
204101620|
|||11=
•=BA BF ,cosF 2BA=
5
54
204216
4|
|||12=•=
BA BF ,
∴∠F 1BA=∠F 2BA.。