2020-2021学年甘肃省天水一中高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷
（文科）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
1.等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=()
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
2.设x∈R，则“x2−1>0”是“x>2”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.已知椭圆x2
9+y2
4
=1的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上的点，且|PF1|=2，则|PF2|=
()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.已知正实数a，b满足3a+2b=1，则6
a +1
b
的最小值为()
A. 32
B. 34
C. 36
D. 38
5.双曲线x2−y2
4
=1的渐近线方程为()
A. y=±1
2x B. y=±2x C. y=±√3
2
x D. y=±√5
2
x
6.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1的离心率e=5
4
，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方
程为()
A. x2
4−y2
3
=1 B. x2
9
−y2
16
=1 C. x2
16
−y2
9
=1 D. x2
3
−y2
4
=1
7.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3，则a10=()
A. 2045
B. 1021
C. 1027
D. 2051
8.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是C上一点，若|AF|=5
4
x0，则x0等于()
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
9.函数f(x)=e x sinx在区间[−π,π]的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
10. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线
在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H.若tan∠AFH =2，则|AF
BF |=( )
A. 5
4
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 已知函数f(x)=lnx +x 2，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______． 12. 已知实数x ，y 满足{x ≥2
y ≤5−x y ≥2x −5，则z =x −2y 的最大值为______ ．
13. 若命题“∀x ∈R ，x 2−2x +m 2−1>0”为真命题，则实数m 的取值范围为
______ ．
14. 数列{a n }满足a n+1=11−a n
，a 1=1
2，则a 15=______．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
15. 已知等比数列{a n }中，a 1=1，且2a 2是a 3和4a 1的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n =2n +a n 2(n ∈N ∗)，求{b n }的前n 项和S n ．
16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=3n2−7n．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{4
a n a n+1
}的前n项和T n．
17.已知函数f(x)=x+a
e x
，其中a∈R，e是自然对数的底数．
(1)当a=−1时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数；
(2)若f(x)<e x
2
对任意x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
18.已知点A(0,−2)，椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为√3
2
，F是椭圆E的右
焦点，直线AF的斜率为2√3
3
，O是坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：方法一：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，即a 1+7d =8． 再由a 4=1=a 1+3d ，可得a 1=−17
4，d =7
4． 故a 12=a 1+11d =−
174
+
774
=15，
方法二：∵数列{a n }是等差数列， ∴a p +a q =a m +a n ， 即p +q =m +n
∵a 7+a 9=a 4+a 12 ∴a 12=15
故选：A ．
由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，或根据等差中项的定义，a p +a q =a m +a n ，从而求得a 12的值．
本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d 的值，是解题的关键，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：x 2−1>0，解得x >1，或x <−1． ∴x 2−1>0”是“x >2”的必要不充分条件． 故选：B ．
解出不等式：x 2−1>0，即可判断出结论．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆x 29
+
y 24
=1，可知a =3，
椭圆
x 29
+
y 24
=1的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上的点，且|PF 1|=2，
由椭圆定义可得：|PF2|=2a−|PF1|=6−2=4．
故选：D．
利用椭圆方程求解a，通过椭圆的定义，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆定义的应用，是基本知识的考查．4.【答案】A
【解析】解：正实数a，b满足3a+2b=1，
则6
a +1
b
=(3a+2b)(6
a
+1
b
)=20+12b
a
+3a
b
≥20+2√12b
a
⋅3a
b
=32，
当且仅当12b
a =3a
b
且3a+2b=1，即b=1
8
，a=1
4
时取等号，
则6
a +1
b
的最小值为32．
故选：A．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题主要考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x，即可得到所求双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
【解答】解：由双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b
a
x，
可得双曲线x2−y2
4
=1的渐近线方程为y=±2x．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
【解答】
解：双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1的离心率e=5
4
，且其右焦点为F2(5,0)，
可得：c
a =5
4
，c=5，∴a=4，b=√52−42=3，
所求双曲线方程为：x2
16−y2
9
=1．
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3，变形可得(a n+1+3)= 2(a n+3)，
又由a1=1，则a1+3=4，则数列{a n+3}是以a1+3=4为首项，公比为2的等比数列，
则a10+3=4×29=2048，则a10=2045，
故选：A．
根据题意，分析可得(a n+1+3)=2(a n+3)，分析可得列{a n+3}是以a1+3=4为首项，公比为2的等比数列，由此求出a10+3的值，变形可得答案．
本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的定义，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：抛物线C：y2=x的焦点为F(1
4
,0)
∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=5
4
x0，
∴5
4x0=x0+1
4
，
解得x0=1．
故选：A．
利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9.【答案】D
【解析】解：当x∈(−π,0)时，sinx<0，e x>0，则f(x)<0，故排除AB，
∵f(x)=e x sinx，当x∈(0,π)时，
∴f′(x)=e x(sinx+cosx)=√2e x sin(x+π
4
)，
令f′(x)=0，解得x=3π
4
，
当0<x<3π
4
时，f′(x)>0，函数单调递增，
当3π
4
<x<π时，f′(x)<0，函数单调递减，
在x=3π
4
取最大值，
故选项D符合，
故选：D．
先根据函数值，排除AB，再根据函数的单调性排除C，得答案．
本题考查了函数的图象的识别，关键利用导数判断函数的单调性，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：由题意如图所示：设准线与x轴的交点为M，过点F作FC⊥AH交于C，由抛物线的定义可知|AF|=|AH|，
所以∠AHF=∠AFH=α，∠FAH=π−
2α=∠OFB，|BF|=|MF|
cos(π−2α)=p
cos(π−2α)
，
|AF|=|CF|
sin(π−2α)=|CH|⋅tanα
sin(π−2α)
=p⋅tanα
sin(π−2α)
，
所以|AF|
|BF|=tanα
tan(π−2α)
=−tanα
tan2α
=tan2α−1
2
=3
2
，
故选：C．
由题意如图：再由抛物线的性质可得|AF|=|AH|，在三角形中求出|AF|，|BF|的表达式，
可得|AF|
|BF|
的值．
本题考查抛物线的性质及平行线的性质，属于中档题．
11.【答案】3x−y−2=0
【解析】解：函数f(x)=lnx+x2，
可知f(1)=1，故切点为(1,1)，
f ′(x)=1
x +2x ， 故f′(1)=3，
所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=3(x −1)，即3x −y −2=0， 故答案为：3x −y −2=0．
根据题意，求出f(1)和f′(1)，即可得解． 本题考查了导数的几何意义，是基础题．
12.【答案】4
【解析】解：由约束条件{x ≥2
y ≤5−x y ≥2x −5
作出可行域如图，
联立{x =2y =2x −5
，解得A(2,−1)，
化目标函数z =x −2y 为y =1
2x −z
2，由图可知，当直线y =1
2x −z
2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故答案为：4．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
13.【答案】(−√2,√2)
【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−2x +m 2−1>0”是真命题，得△=4−4(m 2−1)<0，即−√2<m <√2．
即所求m 的取值范围是(−√2,√2).
故答案为：(−√2,√2).
利用判别式，即可求出实数m的取值范围．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，转化为判别式和0之间的关系是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：由题意得a1=12,a2=11−a
1=2,a3=1
1−a2
=−1,a4=1
1−a3
=1
2
，
∴数列{a n}的周期为3，
∴a15=a3=−1．
故答案为：−1．
求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是周期数列是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】解：(1)∵已知等比数列{a n}中，a1=1，设公比为q，2a2是a3和4a1的等差中项，
则4a2=a3+4a1，可得4q=q2+4．
解得q=2．
∴a n=a1q n−1=2n−1，
(2)b n=2n+a n2=2n+4n−1，
S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(2+40)+(4+41)+(6+42)+⋯+(2n+4n−1) =(2+4+6+⋯+2n)+(40+41+42+⋯+4n−1)
=n(2+2n)
2
+
1−4n
1−4
=n2+n+4n−1
3
．
【解析】(1)设公比为q，由2a2是a3和4a1的等差中项，解得q，从而求出通项公式．(2)利用分组求和法，求解数列的和即可．
本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，数列求和的方法的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵S n=3n2−7n，
∴当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n2−7n−3(n−1)2+7(n−1)=6n−10，又当n=1时，a1=S1=3−7=−4也适合上式，
∴a n=6n−10；
(2)由(1)可得：4
a n a n+1=4
(6n−10)(6n−4)
=1
(3n−2)(3n−5)
=1
3
(1
3n−5
−1
3n−2
)，
∴T n=1
3(1
−2
−1
1
+1
1
−1
4
+⋯+1
3n−5
−1
3n−2
)=1
3
(−1
2
−1
3n−2
)=n
2(2−3n)
．
【解析】(1)先由a n=S n−S n−1求得a n(n≥2)，再求得a1，即可求得a n；
(2)先由(1)求得4
a n a n+1
，再利用裂项相消法求得其前n项和T n即可．
本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)a=−1时，f(x)=x−1
e x ，f′(x)=1+1
e x
>0，
故f(x)在[0,+∞)递增，而f(0)=−1<0，f(1)=1−1
e
>0，故∃x0∈(0,1)，使得f(x0)=0，
故函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数是1个；
(2)若f(x)<e x
2
对任意x∈[−1,+∞)恒成立，
即a<e2x
2
−xe x恒成立，x∈[−1,+∞)，
令g(x)=e2x
2
−xe x，x∈[−1,+∞)，则g′(x)=e x(e x−x−1)，令ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1，
令ℎ′(x)>0，解得x>0，令ℎ′(x)<0，解得x<0，
故ℎ(x)在[−1,0)递减，在(0,+∞)递增，
故ℎ(0)=0，ℎ(x)≥0，故g′(x)≥0，g(x)在[−1,+∞)递增，
故g(x)min=g(−1)=1
2e2+1
e
，
故a<1
2e2+1
e
，即a的取值范围是(−∞,1
2e2
+1
e
).
【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性确定函数f(x)的零点个数即可；
(2)问题转化为a<e2x
2−xe x恒成立，令g(x)=e2x
2
−xe x，x∈[−1,+∞)，根据函数的
单调性求出a 的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)设F(c,0)，由条件知2c =2√33，得c =√3，又c a =√3
2
， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=1， 故E 的方程为：
x 24
+y 2=1；
(2)当l ⊥x 轴时，不合题意，
故设l ：y =kx −2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{y =kx −2
x 2
4
+y 2
=1
，得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0．
当Δ=16(4k 2−3)>0，即k 2>3
4时， x 1=
8k−2√4k 2−3
4k 2+1
，x 2=8k+2√4k 2
−3
4k 2+1
． 从而|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=4√k
2+1⋅√4k 2−34k 2+1
．
又点O 到直线PQ 的距离d =√k 2+1．
∴△OPQ 的面积为S △OPQ =12|PQ|⋅d =4√4k 2
−3
4k 2+1
， 设√4k 2−3=t(t >0)，
则S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t
≤2√4=1，当且仅当t =4
t ，即t =2时取“=”．
∴√4k 2−3=2，即k =±
√7
2
时等号成立，且满足Δ>0，
∴当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y =√7
2
x −2或y =−√7
2
x −2．
【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属拔高题． (1)设F(c,0)，由已知得2
c =
2√3
3
，求得c ，再由离心率求得a ，结合隐含条件求得b ，则
椭圆方程可求；
(2)由题意可知，当l ⊥x 轴时，不合题意，设l ：y =kx −2，联立直线方程与椭圆方程，求出P 、Q 的横坐标，代入弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O 到PQ 的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当△OPQ 的面
积最大时直线l的方程．。