3.2+函数与方程、不等式之间的关系+第1课时课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

则函数y = f x − 2x的零点是(
−2x + 1, x ≤ 0,
A.1
1
4
B.
[解析] 当x > 0时，由f x − 2x =
1
4
C.1，
1
0，得
x
A
)
D.1，−1
= x，即x 2 = 1，解得x = −1（舍去）
1
4
或x = 1；当x ≤ 0时，由f x − 2x = 0，得4x = 1，解得x = （舍去）.所以函
a = 5.故选B.
课堂评价
−∞, 1
4.若函数y = x 2 − 2x + a有2个零点，则a的取值范围是_________.
[解析] 由已知得 = 4 − 4a > 0，所以a < 1，故a的取值范围是 −∞, 1 .
课堂评价
5.函数f
x = x2 − x −
1
− ,0
a有4个零点，则a的取值范围为________.
根，即函数f x 有2个零点.
课中探究
∣ x + 1 ∣, x ≤ 3,
变式 已知函数f x = −x 2 + 6x − 5, x > 3, 若函数g x = f x − a有3个不同
的零点，则a的取值范围是( A )
A. 0,4
B. 0, +∞
C. 0,3
D. 3,4
[解析] 作出f x 的图象，并在同一坐标系内作出直线y = a,如图所示.由图知当
α 为函数y = f x 的零点.
课前预习
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解:不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y = f x 的图象与x轴交点的横
坐标.
（2）函数y = x 2 有零点吗？函数y = x 2 x ∈ [1,2] 呢？
解: 函数y = x 2 的零点是0，函数y = x 2 x ∈ [1,2] 没有零点.
课堂评价
1.函数f
A.0
x = x 2 + x + 3的零点的个数是(
B.1
A
C.2
)
D.3
[解析] 令x 2 + x + 3 = 0，∵ = 1 − 12 = −11 < 0，∴ 方程无实数根，故函数
f x = x 2 + x + 3无零点．
课堂评价
1
x + , x > 0,
x
2.函数f x =
0 < a < 4时，f x 的图象与直线y = a有3个交点，故选A.
课中探究
［素养小结］
确定函数零点个数的方法:
（1）分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.
（2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来解决.
（3）图象法:能够将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,
4
[解析] 在同一坐标系中作出函数y = x 2 − x 的图象与直线y = a（如图所示），
1
4
由图可知，若函数f x 有4个零点，则− < a < 0．
函数y = f x ________.
课中探究
探究点一 求函数的零点
例1（1）
A.f x = 0
（多选题）下列函数有零点的是(
B.f x = 2
ACD
C.f x = x 2 − 1
)
D.f x = x −
1
x
[解析] 函数f x = 0的零点有无数多个，故A符合题意;
函数f x = 2对任意x ∈ 不能满足方程f x = 0，因此函数f x = 2没有零点;
1
−2, −
2
3
上有且仅有1个零点，零点为− .
2
3
− ,所以函数y
2
= 2x 2 + x − 3在区间
课中探究
（3）若函数f x = ax − b b ≠ 0 有一个零点3，则函数g x = bx 2 + 3ax的
−1和0
零点是_______.
[解析] 因为f x = ax − b的零点是3，所以f 3 = 0，即3a − b = 0，即b = 3a，
∴ 关于x的方程 a − 1 x 2 + x + 2 = 0有两个相等的实数根，∴ = 1 − 8 a − 1 = 0，
解得a =
9
.综上所述，实数a的取值集合是{a|a
8
= 1或a =
9
}．
8
课中探究
2
（2）函数f x = x 2 + x − b2 的零点的个数是___.
[解析] 对于方程x 2 + x − b2 = 0，因为 = 12 + 4b2 > 0，所以方程有2个实数
B.函数g[f x ]有且仅有3个零点
C.函数f[f x ]有且仅有9个零点
D.函数g[g x ]有且仅有9个零点
课中探究
[解析] 对于选项A，函数y = f x 的图象与x轴有3个交点，则由f[g x ] = 0可
得g x 有3个可能的取值，又y = g x 在[−a, a]上单调递减，所以方程
所以g x = bx 2 + 3ax = bx 2 + bx = bx x + 1 ，所以方程g x = 0的两个根为
−1和0，即函数g x 的零点是−1和0.
课中探究
变式（1） 函数f
−2，0，4
x = x 3 − 2x 2 − 8x的零点是__________.
[解析] 令f x = 0，则x x + 2 x − 4 = 0，解得x = 0或x = −2或x = 4.故函
为________________．
8
[解析] ①当a − 1 = 0，即a = 1时，函数为y = x + 2，显然该函数的图象与x轴
只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a − 1 ≠ 0，即a ≠ 1时，函数y = a − 1 x 2 + x + 2是二次函数．
∵ 函数y = a − 1 x 2 + x + 2只有一个零点，
f[g x ] = 0有且仅有3个根，故选项A正确；
对于选项B，由题图得函数y = g x 为减函数，则由方程g[f x ] = 0可得f x 有
1个可能的取值且0 < f x < a，则方程g[f x ] = 0有且仅有2个根,故选项B错误；
对于选项C，函数y = f x 的图象与x轴有3个交点，则方程f t = 0有3个根t1 ,t 2 ,t 3 ，
x 2 − 1 = 0有解，所以函数f x = x 2 − 1有零点;
1
x
x − = 0有解，所以函数f x = x −
1
有零点.故选ACD.
x
课中探究
（2）函数y = 2 + x − 3在区间
1
−2, −
2
2
3
−
上的零点是____.
2
[解析] 令2x + x − 3 = 0,解得x1 = 1,x2 =
数y = f x − 2x的零点是1.故选A.
课堂评价
3.已知f 2x + 1
( B )
A.2
= 3x − 2，若a是函数y = f x − 4的一个零点，则a的值为
B.5
14
C.
3
1
D.−
2
[解析] 由a是函数y = f x − 4的一个零点，得f a − 4 = 0，即
f a = 4. ∵ f 2x + 1 = 3x − 2，令3x − 2 = 4，解得x = 2，∴ f 5 = 4，故
课中探究
［素养小结］
（1）求函数f x 的零点就是求方程f x = 0的解，求解时注意函数的定义域;
（2）已知x0 是函数f x 的零点，则必有f x0 = 0.
课中探究
探究点二 判断函数零点的个数
例2（1） 若函数y =
9
a − 1 x 2 + x + 2只有一个零点，则实数a的取值集合
{a|a = 1或a = }
数f x 的零点是−2,0,4.
课中探究
6
（2）若函数f x = 2x − ax + 3有一个零点是1，则f −1 =___.
[解析] f x = 2x − ax + 3有一个零点为1，则2 × 1 − a × 1 + 3 = 0，即a = 5，
所以f x = 2x − 5x + 3 = −3x + 3，故f −1 = 6.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
【学习目标】
1.会结合函数的图象,判断方程实根的存在性及实根的个数；
2.能够从函数观点认识函数的零点与方程根的关系.
课前预习
知识点一 函数的零点
f α =0
零
一般地，如果函数y = f x 在实数α 处的函数值等于____，即_________，则称
−a < t1 < t 2 < 0 < t 3 = a，则方程f x = t1 ,f x = t 2 ,f x = a分别有3，3，1
个根，所以方程f[f x ] = 0有且仅有7个根，故选项C错误；
对于选项D，由题图得函数y = g x 为减函数，则由方程g[g x ] = 0可得g x 有
且仅有1个可能的取值，则方程g[g x ] = 0有且仅有1个根，故选项D错误.故选A.
课前预习
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与轴的交点
实数根
函数y = f x 的零点就是方程f x = 0的________，也就是函数y
= f x 的图象
交点的横坐标
与x轴的______________，即方程f
x = 0有实数根⇔ 函数y = f x 的图象与
x轴有交点
有零点
___________⇔
可用图象法解决.
（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,则零点只
有一个.
课中探究
拓展
[2023·重庆松树桥中学高一期中]定义域和值域均为[−a, a]（常数a > 0）
的函数y = f x 和y = g x 的图象如图所示，则下列说法正确的是(
A)
A.函数f[g x ]有且仅有3个零点