现代电力系统分析电力网络计算中的稀疏技术

原矩阵中每行第一个非零元素在列索 引数组中的位置
3
3
2
3
4
三角检索存储存储

任一方阵B均可分解成B=LDU的形式
• L——单位下三角矩阵 • D——对角线矩阵 • U——单位上三角矩阵
a11 a21 A 0 0
a12 a22 0 a42
0 a23 a33 a43
a14 0 0 a44
因此、稀疏计算亦可称作“排零”计算

所谓稀疏技术就是充分利用电力网络方程组的稀疏特性、 尽量减少不必要的计算以提高求解的效率。
电力网络的稀疏性

以求解节点电流-电压线性方程为例：I YV 非线性的潮流方程本质相同，且也需在迭代过程中求解线 性方程 系数矩阵为节点导纳矩阵
• 对角元：与相应节点相连的所有支路导纳之和，称自导纳 • 非对角元：与相应行列对应的节点间所有支路导纳之和的相反 数，称互导纳 • 节点导纳矩阵为对称矩阵 • 只有电力网络中存在支路，相应非对角元才不为0
Y13 Y11 Y Y23 Y21 13 Y11 Yn 3 Yn1 Y13 Y11
Y1n Y11 Y1n Y2 n Y21 Y11 Y1n Y Y nn n1 Y11
可表示为
Y1n1 1 Y2 n 1 Ynn
其中
1 Y11 1 1 1
Y1n Y2 n Ynn
Y12 Y11 1 0 Y22 Y21 Y12 Y11 Y12 0 Y Y n2 n1 Y11
1
2
3
4
4
3
4
1
2
2
4
3
4
4
一个数组存储D：
a11 a22 a33 a44
稀疏矩阵的因子表分解

矩阵化为上三角矩阵的初等变换过程
等价的矩阵计算 因子表为L、D、U的一个组合；当我们把一个矩阵进行 LDU 分解以后，变可以得到因子表；对于同一个系数矩阵因子 表是相同的。
矩阵化为上三角矩阵的初等变换过程 （假设在求解YV=I）


只对图中的节点和边进行操作，故为稀疏技术 对更大规模的网络道理相同
利用因子表求解线性方程组
A LDU Ax b LDUx b
Lz b Dy z Ux y
前代计算 规格化计算 回代计算
前代计算
1 z1 b1 l21 1 z 2 b2 l z b l 1 n 1 n , n 1 n n z1 z1 b1 0 z 2 z 2 b2 l21 0 z b l n n n1 ln ,n 1 0 z n
其中
1 D2
1 1 1 Y22
1 1
0 0 1 1 0 0 1 0 Y 1 1 L 0 2 32 0 Y 1 0 0 n2
0 0 0 1
z1 b1 z b l z 2 21 1 2 i 1 zi bi lij z j j 1 n 1 z n bn lnj z j j 1
1 a L 21 0 0
三个数组存储U（按行）：三个数组存储L（按列）：
a11 a21 A 0 0
a12 a22 0 a42
0 a23 a33 a43
a14 0 0 a44
a12 a14 a23
a21 a42 a43
最后
U D L D L D L D Y
故
1 1 n n 1 1 n 1 1 2 1 1 2 1 1 1
Y D1 L1 D2 L2 Dn 1 Ln 1 Dn U LU
L
•可证明L为下三角矩阵，此处略 •此过程称为因子表分解 •因子表分解的过程即为高斯消去的过程

1.333 3
规格化计算
a23 1 1.5 0.667
1.5 -0.667 2
2 -0.5
1
a24 0.5 1.5 0.333

-1.333
-0.333
-0.5
消去计算
a33 2 0.667 1.5 1.333
2
4
3.333
a44 3.5 0.333 1.5 3.333
2
a34 1 0.667 0.3331.5 1.333
节点3的计算

1.333 3
规格化计算
a34 1.333 1.333 1
1.5 -0.667 2 -1
2 -0.5
1

消去计算
a44 3.333 1 1.333 2
2
-0.333
1 1 1 Y12 Y13 2 1 Y23 0 0 2 0 Y 33 2 0 0 Y n3
1 1 1 1 Y12 Y13 Y14 2 2 1 Y23 Y24 3 1 Y 34 1
0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
同理第二列有：
1 0 0 0
1 Y12 1 1 Y13 2 Y23 2 Y33 2 Yn3

0 0
1 Y1 n 2 Y2 n 1 1 1 2 L D2 L1 D11Y Y3n 2 2 Ynn
4 3
4 4
原矩阵中有τ个非零元素，则需3τ个存储空间 本例中τ=10，需30个存储空间，原矩阵只需16个存储空间
按行（列）存储
a11 a21 A 0 0
a12 a22 0 a42
0 a23 a33 a43
a14 0 0 a44
a11 a12 a14 a21 a22 a23 a33 a42 a43 a44 1 1 4 2 7 4 8 1 2
-0.5

节点4为最后一个节点，不 需计算
4
2
因子表的分解结果
1.333 3
1.5 -0.667 2
2 -0.5 1
-1
-0.333
-0.5
4
A U DU
T
2
0.5 1 2 1 0.5 0 . 5 1 1 . 5 1 0 . 667 0 . 333 0.667 1 1.333 1 1 0.5 0.333 1 1 2 1
Y1n1 2 Y2 n Y3n2 2 Ynn
Y1n1 2 Y2 n Y3n3 U 1
变换过程等效于左乘初等变换
Y12 Y11 Y Y22 21 Y Yn 2 Yn1

可用同样阶数方阵同时存储三个矩阵的信息，如上面矩阵A 可表示
0 1 0 a42 0 0 1 a43 0 0 0 1
a11 0 D 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44
1 a12 0 1 U 0 0 0 0 0 a23 1 0 a14 0 0 1

电力网络的稀疏性

设有1000条母线的电力系统，母线出线度平均为10，其稀 疏度为

1000 1000 *10 1.1% 1000 *1000

实际电网仅有非常少量的枢纽变电站存在出线度为 10左右 的母线 大量母线出线度仅为1~2
• • • • 发电机机端母线 终端负荷母线 联络母线 „„
Y12 Y11 Y Y22 21 Yn 2 Yn1 Y1n Y2 n Ynn
1 1 Y12 1 0 Y 22 1 0 Y n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y12 Y11 1 0 Y22 Y21 Y12 Y11 Y12 0 Y Y n2 n1 Y11

因子表的分解：对节点进行规格化运算，对节点消去运算
规格化：对角元素化为1 消去运算：使对角线下的元素为0
在这个过程中可能会新增非零元素
2 3
-1 -1
2
2 -1
2
1
-1
2
-1 -1
-1
2 -1 -1 2 -1
-1
4 -1 4 4
节点1的计算

2 3
-1 -1
1.5
2 -0.5
规格化计算
z1 b1 0 0 z1 b1 0 z 2 b2 l21 z 2 b2 l21 0 z1 z n 1 0 z b l l n n n1 ln ,n 1 0 z n bn ln1 n ,n 1

散居存储
a11 a21 A 0 0
a12 a22 0 a42
0 a23 a33 a43
a14 0 0 a44
a11 a12 a14 a21 a22 a23 a33 a42 a43 a44 1 1

1 2
1 4
2 1
2 2
2 3
3 3
4 2
电力网络计算中的稀疏技术
车如宇
01
02
电力网络的稀疏性
稀疏存储技术
03
04
稀疏矩阵的因子表分解
稀疏线性方程组的求解
05
稀疏向量法
稀疏矩阵

稀疏矩阵：在一个矩阵中，零元素比非零元素多
稀疏度：对m*n阶矩阵A，其中有τ个非零元素，则可定义
/(m * n)

线性方程组的求解主要涉及大量的四则运算，而零元素的 增加大大加速了计算的速度、因此稀疏度越小越好

算法是否采用排零操作可影响计算速度几十上百倍
稀疏存储技术

核心：不存储零元素仅保留非零元素在原矩阵中的数值 及位置信息应在必要时轻易恢复成满阵存储格式
当前计算机硬件速度和容量已发生了翻天覆地的变化，还 要考虑稀疏存储吗？
• • • • 需要分析的电力系统规模也显著扩大 要求计算的速度也更快（如在线分析） 节省计算机内存占有量 尽量减少检索矩阵元素所耗时间
Y13 Y11 Y Y23 Y21 13 Y11 Yn 3 Yn1 Y13 Y11
Y1n Y11 Y1n Y2 n Y21 Y11 L1 D 1Y 1 1 Y1n Ynn Yn1 Y11
D11
1 Y21 1 L1 Y31 Y n1
a12 1 2 0.5 a14 1 2 0.5
a22 2 0.5 2 1.5
2
2
-0.5
1
-0.5
4
3.5
a44 4 0.5 2 3.5
2
a24 0 0.5 0.5 2 0.5
新增非零元
节点2的计算