【中小学资料】2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.6 分段函数学案 湘教版必修1

1.2.6 分段函数
[学习目标] 1.能说出分段函数的定义.2.能根据题意用分段函数表示函数关系.3.会画出分段函数的图象.4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值．
[知识链接]
作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引]
1．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．
2．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．
3．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
4．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
要点一 分段函数求值
例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤－2，x 2
＋2x ，－2＜x ＜2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－5
2)]的值；
(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －5
2
∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－3
4
. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a ＜2时，a 2
＋2a ＝3，即a 2
＋2a －3＝0.所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1x ＋1，x <1，x －1，x ≥1，则f (2)等于( )
A ．0 B.1
3 C ．1 D ．2
答案 C
解析 f (2)＝2－1＝1. 要点二 分段函数的图象及应用
例2 已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
， －1≤x ≤1，
1， x ＞1或x ＜－1，
(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．
解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2
的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．
规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”． 跟踪演练2 作出y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，
7，x ∈(5，＋∞)的图象，并求y 的值域．
解 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，
7，x ∈(5，＋∞).
值域为y ∈[－7,7]．图象如下图．
要点三 分段函数的解析式
例3 国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税． (1)试根据上述规定建立某人所得稿费x 元与纳税额y 元的函数关系式； (2)某人出版了一本书，得稿费5200元，那么他应纳税多少元？ (3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 解 (1)依题意有：当0＜x ≤800时，y ＝0； 当800＜x ≤4000时，y ＝(x －800)×14%； 当x ＞4000时，y ＝x ×11%. 故y 与x 之间的函数关系式是
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0，0＜x ≤800；(x －800)×14%，800＜x ≤4000；x ×11%，x ＞4000.
(2)某人得稿费x ＝5200，显然x ＞4000， ∴y ＝5200×11%＝572(元)． 即他应纳税572元．
(3)令(x －800)×14%＝420，解得x ＝3800∈(800，4000]，而令x ×11%＝420，解得x ＝3818
211∉(4000，＋∞)，故x ＝38182
11(舍去)．
∴这个人的稿费为3800元．
规律方法 1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围．
2．在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x ≤800,800＜x ≤4000和x ＞4000，但不能写成0＜x ≤800,800≤x ＜4000和x ＞4000.
跟踪演练3 某人驱车以52千米/时的速度从A 地驶往260千米远处的B 地，到达B 地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A 地．试将此人驱车走过的路程s (千米)表示为时间t 的函数．
解 该人从A 到B 地所用时间为26052＝5时，从B 地返回A 地所需时间为260
65＝4时．
因此当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5＜t ≤9时，s ＝260＋65t .
于是此人驱车走过的路程s 与时间t 的函数关系式如下：s ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
52t ，0≤t ≤5；
260＋65t ，5＜t ≤9.
1．函数y ＝|x |的图象是( )
答案 B
解析 ∵y ＝|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ， x ≥0，
－x ， x ＜0，∴B 选项正确．
2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋1，x ≤1，2
x
，x >1，则f (f (3))等于( )
A.15 B ．3 C.23 D.13
9 答案 D
解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＋1＝139.
3．设函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x －1， x ≥1，
－x ， x ＜1，
则f (f (1))等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 A
解析 f (1)＝0，∴f (f (1))＝0.
4．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ，x ≤0，
x 2
，x ＞0. 若f (a )＝4，则实数a 等于( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2 答案 B
解析 当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，∴a ＝－4； 当a ＞0时，f (a )＝a 2
＝4，∴a ＝2或－2(舍去)．
5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________________．
答案 y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
0.5x ，0≤x ≤100
10＋0.4x ，x >100
解析 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当
x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .
理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
一、基础达标
1．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值 答案 C
解析 y ＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－4， x ≥3，－2x ＋2， －1≤x ＜3，4， x ＜－1，
作出图象可求．
2．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧ 10，x <0，10x ，x ≥0，
则f [f (－7)]的值为( )
A ．100
B ．10
C ．－10
D ．－100 答案 A
解析 ∵f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
10，x <0，
10x ，x ≥0， ∴f (－7)＝10.
f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.
3．函数f (x )＝x ＋|x |
x
的图象是( )
答案 C 解析 f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋1，x >0，x －1，x <0，
画出f (x )的图象可知选C.
4．如图所示的图象所表示的函数的解析式为________．
答案 y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，0≤x ≤2
－x ＋4，2＜x ≤4
解析 由图象知图形是由两条线段构成． 第一段经过点(0,0)，(2,2)， 设y ＝kx ，则2＝k ×2，即k ＝1， 于是y ＝x (0≤x ≤2)． 第二段经过点(2,2)，(4,0)，
设y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
2a ＋b ＝2，4a ＋b ＝0，
解得：a ＝－1，b ＝4，于是y ＝－x ＋4(2＜x ≤4)，
故函数解析式为y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，0≤x ≤2，
－x ＋4，2＜x ≤4.
5．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0.则不等式(x ＋1)sgn x ＞2的解集是
________________． 答案 {x |x ＜－3，或x ＞1}
解析 由题意知，当x ＞0时，x ＋1＞2，解得x ＞1； 当x ＝0时，无解；
当x ＜0时，－(x ＋1)＞2，解得x ＜－3， 故不等式的解集为{x |x ＜－3，或x ＞1}．
6．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
2－x ，－2≤x ＜0
的值域是________．
答案 [1，＋∞)
解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4， ∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4， 即f (x )的值域为[1，＋∞)．
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4，0≤x ≤2，
2x ，x ＞2.
(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2
－4， ∴f (2)＝22
－4＝0，
f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x 0≤2时， 由x 2
0－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；
当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升
8．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －5，x ≥6，
f (x ＋2)，x ＜6，则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 A
解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，
f (5)＝f (5＋2)＝f (7)，
∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.
9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13]等于( )
A ．－13
B.1
3 C ．－23
D.23
答案 B
解析 由题图可知，函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1
3
－1＝－23，
∴f [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.
10．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，
x 2
＋x －2，x ＞1，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1f (2)的值是________．
答案
1516
解析 f (2)＝22
＋2－2＝4，∴1f (2)＝14
， ∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝1516.
11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分： (－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)． 所以已知函数可写为分段函数形式：
y ＝|x －1|＋|x ＋2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x －1， x ≤－2，3， －2<x ≤1，2x ＋1， x >1.
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新
12．据气象中心观察和预测：发生在M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．
(1)当t ＝4时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来． 解 (1)由图象可知： 当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝1
2
×4×12＝24.
(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2
；
当10＜t ≤20时，s ＝1
2×10×30＋30(t －10)
＝30t －150；
当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－1
2×(t －20)×2(t －20)
＝－t 2
＋70t －550.
综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
32t 2，t ∈[0，10]，
30t －150，t ∈(10，20]，
－t 2
＋70t －550，t ∈(20，35].
13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点
A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△AP
B 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式．
解 当0≤x ≤4时，S △APB ＝1
2·4x ＝2x ；
当4＜x ≤8时，S △APB ＝1
2×4×4＝8；
当8＜x ≤12时，
S △APB ＝12
×4·(12－x )＝24－2x .
∴y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ， 0≤x ≤4，8， 4＜x ≤8，
24－2x ， 8＜x ≤12.。