圆中常用辅助线的添加方法

圆中常用辅助线的添加方法
圆中辅助线的添加口诀：
半径与弦长计算，弦心距来中间站.圆上若有一切线，切点圆心半径连. 切线长度的计算，勾股定理最方便.要想证明是切线，半径垂线仔细辨. 是直径，成半圆，想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全. 圆周角边两条弦，直径和弦端点连.弦切角边切线弦，同弧对角等找完. 要想作个外接圆，各边作出中垂线.还要作个内接圆，内角平分线梦圆. 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦.内外相切的两圆，经过切点公切线. 若是添上连心线，切点肯定在上面.要作等角添个圆，证明题目少困难. 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量.
例1 如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC BD =. 证明 过O 作OE AB ⊥于E
∵ O 为圆心，OE AB ⊥
∴ ,AE BE CE DE ==
∴ AC BD = 练习 如图2，AB 为⊙O 的弦，
P 是AB 上的一点，10AB cm =，4AP cm =.求⊙O 的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例2 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥,DN AB ⊥. 求证： AC BD =
证明：（一）连结OC 、OD
∵ M 、N 分别是AO 、BO 的中点,
∴ 12OM AO =、1
2
ON BO =. ∵ OA OB =, ∴ OM ON =.
∵ CM AB ⊥,DN AB ⊥、OC OD =, ∴Rt △COM ≌Rt △DON . ∴COA DOB ∠=∠.
∴ AC BD =.
3.有弦中点时常连弦心距
例3 如图4，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB CD =，求证：AMN CNM ∠=∠.
证明 连结OM 、ON .(其余证明过程略，请自己补充完整)
4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角
例4 如图5，已知D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：
CD CE =. 证明 连结OC
∵ C 为弧AB 的中点
∴ AB BC = ∴∠AOC =∠BOC
∵ D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO,
∴ 11
22
OD OE AO BO ===.
∴ △ODC ≌△OEC.
∴CD = CE.
5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．．
，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例5 如图6，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC PC =,PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：AC DC =.
证明 连结AD.
∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADP = 90o
. ∵AC = PC, ∴AC = CD =
12
AP . 例6 如图7，P 是⊙O 的弦CB 延长 线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C .
求证：P A 是⊙O 的切线.
证明 作⊙O 的直径AD ，连BD ，则
∠=∠∠=︒C D ABD ,90，即∠+∠=︒D BAD 90.所以∠+∠=︒C BAD 90.
因为∠=∠C PAB ，所以∠+∠=︒BAD PAB 90，即AP AD ⊥.
所以P A 为⊙O 的切线.
6.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角.
练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M .求证：∠AMD =∠FMC (提示：连结BM )
2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
7.有弦中点时，常构造三角形中位线. ⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC
例7 已知如图8，在2题图1题图
B A 图1
图2
B
A
图3
（二）连结AC 、
OC 、OD 、BD （如图3）. 请自己完成证明过程.
图4 C
图5
P
图6
图7
于E ，求证：OE =
1
2
AD. 证明 作直径CF ，连结DF 、BF .
∵ CF 为⊙O 的直径, ∴ CD ⊥FD.
又∵ CD ⊥AB , ∴ AB ∥DF . ∴AD BF =. ∴AD = BF
∵OE ⊥BC, O 为圆心, CO = FO. ∴ CE = BE. ∴OE =
12BF . ∴OE =1
2
AD. 8.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
例8 如图9，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于C 、D ，过B 的直线分别交⊙1O 、⊙2O 于E 、F .求证：//CE DF .
证明 连结AB, ∵四边形为圆内接四边形
∴ ∠ABF =∠C ,同理可证：∠ABE =∠D. ∵ ∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴ ∠C ＋∠D = 180o
∴ CE ∥DF .
9.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可;⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例9 如图10，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB . 求证：P A 、PB 为⊙O 的切线.
证明 连结OA . ∵ PO 为直径，∴ ∠P AO = 90o ∴ OA ⊥P A.
∵ OA 为⊙O 的半径，∴ P A 为⊙O 的切线. 同理：PB 也为⊙O 的切线.
例10 如图11，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ， 且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线. （提示：连结OE ,过O 点作OF ⊥CD .证明略，请自己完成证明）
练习：如图12，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ， PE AC ⊥于E ,求证：PE 是⊙O 的切线.
10． 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点.
作用：据切线长及其它性质，可得到： ①角、线段的等量关系；②垂直关系； ③全等、相似三角形.
11．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段.
作用：利用内心的性质，可得：① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；② 内心到三角形三条边的距离相等.在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形
内角平分线交点这一性质.
12．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等.
13．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线. 作用：①利用切线的性质；② 利用解直角三角形的有关知识.
14．遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦 常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等.
作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；④垂径定理.
15．遇到两圆相切时 两个相切圆不离公切线,常常作连心线、公切线. 作用：①利用连心线性质； ②弦切角性质； ③切线性质等.
例11 如图13，⊙1O 和⊙2O 外切于点P ，A 是⊙1O 上的一点，直线AC 切⊙2O 于C ，交⊙1O 于
B ，直线AP 交⊙2O 于D .求证:P
C 平分
.
分析：要证PC 平分，即证.而∠BPC 的 边分布在两个圆中，难以直接证明.若过P 作两圆的公切线PT ，与AC 交于T ,易知∠=∠+∠BPC TPB TPC .由弦切角定理，得∠=∠TPB A . 又∠DPC 是的一个外角, 所以∠=∠+∠DPC A ACP . 又∠=∠TPC ACP , 从而有,即PC 平分.
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。

组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。

蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。

“人”字形的角度是110度。

更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。

珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。

奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。

天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。

图8
图9 P
图
10 A 图
11
C
图12
图13。