最新-2018届高考数学一轮复习 直线平面垂直的判定及性

如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直， 这是一个真命题，故C对； 对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C. 2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线， 则下列命题中正确的是( A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n 答案 B )
3．平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 4．平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面．
教材回归
1．(2011· 衡水调研)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，下列 命题中真命题是( ) B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线 的直线垂直于另一平面． ② 两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平 面． 思考题 1 如图，已知矩形 ABCD ，过 A 作 SA⊥平面 AC ，再过 A 作
AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于G.
(2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD， ∵ABCD为矩形．∴AD＝BC，∴PA＝BC， 又∵M为AB的中点，∴AM＝BM， 而∠PAM＝∠CBM＝90°， ∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC， 由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD. 探究1 证线面垂直的方法有： (1)利用判定定理，它是最常用的思路． (2)利用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条线必斜交，也可以是平行；选项C中直线m 可在β内；选项D中的直线m，n可以是斜交、平行，还可以是异面； 选项B正确． 3．(2010· 浙江，理)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列 命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m 答案 B
直线、平面垂直的判定及性质
2011· 考纲下载
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 线面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简 单命题.
请注意!
纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系 在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转化，从而体现 了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容.
5.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别 为CD、DA和AC的中点． 求证：平面BEF⊥平面BGD.
证明
∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，
BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD. 又E，F分别为CD，DA的中点， ∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD. ∵EF⊂平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.
1 ∴AN＝ PC 2 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 又BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， 1 ∴BN＝ PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M 2 为底边的中点． ∴MN⊥AB，又AB∥CD，∴MN⊥CD.

题型一
授人以渔
线线、线面垂直
例1 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中 点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 【证明】 (1)连结AC，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，

课前自助餐
课本导读

1．直线与平面垂直的判定定理 垂直． 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线 也垂直于这个平面． 2．直线与平面垂直的性质定理 (1)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． (2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线 垂直． 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面
求证：AG⊥SD. 【证明】 (1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC. ∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC且SA∩AB＝A， ∴BC⊥平面SAB. 又∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE. 又SB⊥AE且SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC. 又∵SC⊂平面SBC，∴AE⊥SC. 又EF⊥SC且AE∩EF＝E，∴SC⊥平面AEF. 又∵AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析 根据定理：两条平行线中的一条垂直于另一个平面，另一条也 垂直于这个平面知B正确．
4．(2011· 合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为 直线，给出下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β. 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①②
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c
C．若c∥α，c⊥β，则α⊥β D．若c∥α，α⊥β，则c⊥β 答案 C 解析 如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平 行，只有部分平行，故A错； 若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直 线可能是该平面内的直线，故B错；