2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期末数学试
卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）复数z=的共轭复数是（）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）已知命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则（）
A．￢p：∀x∈C，x2+1≤0B．￢p：∀x∈C，x2+1＜0
C．￢p：∀x∈C，x2+1≥0D．￢p：∀x∈C，x2+1＞0
3．（5分）某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为（）
A．7B．15C．25D．35
4．（5分）已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为（）A．B．C．D．
5．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2
6．（5分）下列命题中，假命题是（）
A．已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假
B．互为逆否命题的两个命题真假相同
C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件
D．若f（x）=2x，则f′（x）=x•2x﹣1
7．（5分）阅读如图的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）
A．5 049B．5 050C．5 051D．5 052
8．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）
A．27B．86C．262D．789
9．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球
盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点
A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是（）
A．20B．18C．16D．以上均有可能
10．（5分）函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．[﹣2，2] 11．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（）
A．[e﹣1，+∞）B．[e，+∞）C．[e+1，+∞）D．[1，+∞）
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为
出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是．14．（5分）方程x2﹣2ax﹣b2+16=0（a，b∈R），若a∈[0，6]，b∈[0，4]，则方程没有实根的概率为．
15．（5分）A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是．
16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
③P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
④直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两
个不同的点；
其中正确命题的序号为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（10分）数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0，
（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测a n的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．
18．（12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生，根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），（Ⅰ）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50，60）中的学生人数；
（Ⅱ）从样本中成绩在[50，70）的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．
19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx，其中a、b是实数，
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的单调增函数”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，且b=﹣4，求f（x）的单调区间与极值．21．（12分）已知椭圆E与双曲线﹣y2=1焦点相同，且过点（2，），（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若A，B，C，D四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD面积S的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2﹣x （a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）﹣f（x2）＞3|x1﹣x2|，求a的取值范围．
2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期末
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）复数z=的共轭复数是（）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i
【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．
【解答】解：z===，
则复数z=的共轭复数是﹣1﹣i，
故选：A．
2．（5分）已知命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则（）
A．￢p：∀x∈C，x2+1≤0B．￢p：∀x∈C，x2+1＜0
C．￢p：∀x∈C，x2+1≥0D．￢p：∀x∈C，x2+1＞0
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则￢p：∀x∈C，x2+1≥0．
故选：C．
3．（5分）某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为（）
A．7B．15C．25D．35
【分析】根据分层抽样方法的特点，各层抽取样本的比例是相同的，从而求出答案．
【解答】解：根据分层抽样方法的特点，抽取样本的比例是=，
∴应从青年职工中抽取的人数为
35×=7．
故选：A．
4．（5分）已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为（）A．B．C．D．
【分析】用列举法求得所有的情况共计4种，而两个小孩都是女孩的情况只有一种，由此求得两个小孩都是女孩的概率．
【解答】解：两个小孩的性别情况共有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），总共4种情况，
而两个小孩都是女孩的情况只有一种，故两个小孩都是女孩的概率为，
故选：A．
5．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2
【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e
大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．
【解答】解：双曲线，说明m＞0，
∴a=1，b=，可得c=，
∵离心率e＞等价于⇔m＞1，
∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．
故选：C．
6．（5分）下列命题中，假命题是（）
A．已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假
B．互为逆否命题的两个命题真假相同
C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件
D．若f（x）=2x，则f′（x）=x•2x﹣1
【分析】A，利用真值表可判断A；
B，互为逆否命题的两个命题真假性相同可判断B；
C，利用：“互斥事件”与“对立事件”之间的关系可判断C；
D，求得函数f（x）=2x的导函数为f′（x）=x•2x﹣1，可判断D．
【解答】解：A：已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假，正确；
B：互为逆否命题的两个命题真假相同，正确；
C：“互斥事件”不一定是“对立事件”（充分性不成立），“对立事件”必是“互斥事件”
（必要性成立），
所以，“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件，正确；
D：若f（x）=2x，则f′（x）=2x ln2，故D错误．
故选：D．
7．（5分）阅读如图的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）
A．5 049B．5 050C．5 051D．5 052
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=1时，满足条件n＜2，退出循环，输出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049．【解答】解：执行程序框图，有
n=100
S=0
不不满足条件n＜2，S=100，n=99
不满足条件n＜2，S=100+99，n=98
不满足条件n＜2，S=100+99+98，n=97
…
不满足条件n＜2，S=100+99+98+97+…+3，n=2
不满足条件n＜2，S=100+99+98+97+…+3+2，n=1
满足条件n＜2，退出循环，输出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049
故选：A．
8．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）
A．27B．86C．262D．789
【分析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可
【解答】解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）
x+1）x
故v3=（（7x+6）x+5）x+4
当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262
故选：C．
9．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球
盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点
A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是（）
A．20B．18C．16D．以上均有可能
【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．
【解答】解：依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
故选：C．
10．（5分）函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．[﹣2，2]
【分析】由题意求导y′=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）；从而可得（1﹣3+k）（﹣1+3+k）＜0，从而求解．
【解答】解：∵y=x3﹣3x+k，
∴y′=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）；
故函数y=x3﹣3x+k在x=1与x=﹣1上有极值，
故若使函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，
则（1﹣3+k）（﹣1+3+k）＜0，
解得，﹣2＜k＜2；
故选：B．
11．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】根据f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函数．由题中的不等式可得F（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，结合奇函数性质得在区间（0，+∞）上F（x）也是增函数．最后分x＞0和x＜0加以讨论，并结合F（1）=F（﹣1）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．
【解答】解：令F（x）=f（x）g（x），可得
∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F（x）=f（x）g（x）是定义在R上的奇函数．
又∵当x＜0时F'（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，
∴F（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，可得它在区间（0，+∞）上也是增函数．
∵g（1）=0可得F（1）=0，∴结合F（x）是奇函数可得F（﹣1）=0，
当x＞0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（1），结合单调性得0＜x＜1；当x＜0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（﹣1），结合单调性得x＜﹣1．因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（）
A．[e﹣1，+∞）B．[e，+∞）C．[e+1，+∞）D．[1，+∞）
【分析】函数f（x）=e x+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k 恒成立，等价于f（x）=e x+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值与最小值的差小于等于k．
【解答】解：∵f（x）=e x+x2﹣x，
∴f′（x）=e x+2x﹣1，
由f′（x）=e x+2x﹣1=0，得x=0．又f′（x）单调递增，可知f′（x）=0有唯一零点0，
∵f（﹣1）=+2，f（1）=e，f（0）=1．
∴函数f（x）=e x+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值是e，最小值是1．
∴函数f（x）=e x+x2﹣x，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1．∵函数f（x）=e x+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，∴k≥e﹣1．
∴k的取值范围为[e﹣1，+∞）．
故选：A．
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为
出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是．
【分析】由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，又根据两个事件的概率，根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或2点的概率．
【解答】解：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，
∵P（A）=，P（B）=，
∴出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到P=P（A）+P（B）
=+=，
故答案为：
14．（5分）方程x2﹣2ax﹣b2+16=0（a，b∈R），若a∈[0，6]，b∈[0，4]，则
方程没有实根的概率为．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．
【解答】解：若关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣b2+16=0，
则△=4a2﹣4（16﹣b2）＜0，
即a2+b2＜16，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则阴影部分的面积S=
则由几何概型的概率公式可得方程x2﹣2ax﹣b2+16=0没有实根概率P= 15．（5分）A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概
率是．
【分析】先列出（a，b）的所有的情况，将a，b的值代入B，判断出符合A∩B=B的所有情况，再利用古典概型的概率公式即可求出概率．
【解答】解：由题意可知：（a，b）的所有的情况有
（1，1）（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，1），（3，2）（3，3）共有9种情况．
当（a，b）=（1，1）时，B={x∈R|x2﹣x+1=0}=∅满足A∩B=B；
当（a，b）=（1，2）时，B={x∈R|x2﹣x+2=0}=∅满足A∩B=B；
当（a，b）=（1，3）时，B={x∈R|x2﹣x+3=0}=∅满足A∩B=B；
当（a，b）=（2，1）时，B={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}满足A∩B=B；
当（a，b）=（2，2）时，B={x∈R|x2﹣2x+2=0}=∅满足A∩B=B；
当（a，b）=（2，3）时，B={x∈R|x2﹣2x+3=0}=∅满足A∩B=B；
当（a，b）=（3，1）时，B={x∈R|x2﹣3x+1=0}不满足A∩B=B；
当（a，b）=（3，2）时，B={x∈R|x2﹣3x+2=0}={1，2}满足A∩B=B；
当（a，b）=（3，3）时，B={x∈R|x2﹣3x+3=0}=∅满足A∩B=B；
综上可知：满足A∩B=B的情况共有8个．
故A∩B=B的概率是
故答案为：
16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
③P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
④直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两
个不同的点；
其中正确命题的序号为②③④．
【分析】由题意可得C1（2cosθ，2sinθ），C2（0，0），两圆的半径都是1，根据圆心距d=2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，从而得到①不正确、②③
正确．再根据直线l经过定点M（，）．而点M在圆C2：x2+y2=1的内部，可得④正确，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得C1（2cosθ，2sinθ），C2（0，0），两圆的半径都是1，由于圆心距d==2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，
故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有三条公切线，圆C1与圆C2始终相切，
若P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4，故①不正确、②
③正确．
由于直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R），即（6x+6y﹣5）+m （2x+3y﹣2）=0，
由，求得，故直线l经过定点M（，）．
而点M在圆C2：x2+y2=1的内部，故直线l与圆C2一定相交于两个不同的点，故
④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．（10分）数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0，
（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测a n的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．
【分析】本题先根据题目中递推关系式，由a1=0，求出a2、a3、a4，并推测a n 的表达式，然后用数学归纳法加以证明，得到本题结论．
【解答】解：（I）a2=；a3=；a4==，
由此猜想a n=（n∈N*）；
（II）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，a1=0，结论成立，
②假设n=k（k≥1，且k∈N*）时结论成立，
即a k=，
=，
当n=k+1时，a k
+1
∴当n=k+1时结论成立，
由①②知：对于任意的n∈N*，a恒成立．
18．（12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生，根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），（Ⅰ）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50，60）中的学生人数；
（Ⅱ）从样本中成绩在[50，70）的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．
【分析】（I）根据频率和为1，求出a的值，再根据频率、频数与样本容量的关系求出对应的频数；
（Ⅱ）求出成绩在[50，60）与[60，70）范围内人数，计算从5人选2人的基本事件数，求出对应的概率即可．
【解答】解：（I）由题知组距为10，频率和为1，
∴（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，
解得a=0.005；…（3分）
该校总人数为20÷5%=400，
由图知，落在[50，60）的频率为2a×10=0.1，
由此估计该范围内的人数为400×0.1=40；（6分）
（Ⅱ）记[50，60）范围内的有2人，[60，70）范围内的有3人，
从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，
其中2人成绩都在[60，70）范围内的有3种情况，
∴所求概率为P=．（12分）
19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出p，即可求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，②如果直线l的斜率为0，分别判断是否满足题意，③直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线与抛物线方程，利用△=0求出k，即可得到直线方程．
【解答】解：（I）由题抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），16=4p，解得p=4，
抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=﹣2；…（4分）
（Ⅱ）由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x=0；
②如果直线l的斜率为0，y=2符合题意；
③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y=kx+2，
由得ky2﹣8y+16=0，
由△=64﹣64k=0得k=1，故直线l的方程为y=x+2，即x﹣y+2=0，
因此，直线l的方程为x=0或y=2或x﹣y+2=0．（用其他方法解答的请酌情给分）…（12分）
20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx，其中a、b是实数，
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的单调增函数”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，且b=﹣4，求f（x）的单调区间与极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，推出基本事件的总数，事件A：“f（x）是R上的单调增函数”的个数，然后求解概率；（Ⅱ）利用（Ⅰ），求出f（x）的表达式，求出函数的导数，通过列表，判断函数的单调性，然后求f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（I）当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个，
事件A即f′（x）=x2﹣2ax+b≥0恒成立，即a2≤b，包含5个基本事件，即事件A 发生的概率为；…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x3﹣4x，f′（x）=x2﹣4，由f′（x）=0可知x=±2，列表如下：
所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2），
f（x）在x=﹣2处取得极大值；f（x）在x=2处取得极小值．…（12分）
21．（12分）已知椭圆E与双曲线﹣y2=1焦点相同，且过点（2，），（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若A，B，C，D四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD面积S的取值范围．
【分析】（I）设椭圆方程为，由椭圆与双曲线﹣y2=1有相同的焦点可得c值，由函数图象过点（2，）可解得a，b的值，从而得椭圆E的方程；
（II）分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，易求S，②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：y=kx（k≠0），则直线CD：
y=﹣，由得（5+9k2）x2=45，可求|AB|，|CD|，由S=|AB||CD|
即可求得面积S的取值范围．
【解答】解：（I）由题可设椭圆E：（a＞b＞0），其中a2﹣b2=4，
，解得a2=9，b2=5，
即椭圆E的方程为；…（4分）
（II）由题意，分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，则S=6，…
（6分）
②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：y=kx（k≠0），
则直线CD：y=﹣，
由得（5+9k2）x2=45，故有|AB|=2，同理，|CD|=2，
S=|AB||CD|=6=6=6
．
∵45k2+≥90，S∈[，6），
由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是[，6）（用其他方法解答的请酌情给分）…（12分）
22．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2﹣x （a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）﹣f（x2）＞3|x1﹣x2|，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）将不等式进行转化，即可得到结论．
【解答】解：（I）由题，a=1时，f（1）=0，f′（1）=3，故所求切线方程为3x﹣y ﹣3=0；…（4分）
（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=，△=1﹣8（a+1）=﹣8a﹣7，
①a时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
②﹣1时，f（x）增区间为（0，），（，+∞），
减区间为（，）；
③a≤﹣1时，f（x）增区间为），（，+∞），减区间为（0，）；（8分）
（III）由（II）a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不妨设x 1＞x2，
则有f（x 1）﹣f（x2）＞3（x1﹣x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣3x2恒成立，
故y=f（x）﹣3x在（0，+∞）上为增函数，y′=，
即2，
解得a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()
y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
y
x
o
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max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。