2022届湖南省双峰县第一中学高三上学期入学摸底考试数学试题 (word版)

2022届湖南省双峰县第一中学高三上学期入学摸底考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两局部。

总分值150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：高考范围。

一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.复数z 满足：23i z z -=+，那么z =〔〕
D.
3
2.集合{}
41,M x x n n Z ==+∈，{S x <<=，那么M S ⋂中的元素个数为〔〕 A.2 B.3 C.4 D.5 3.等差数列{}n a 的通项公式为92n a n =-，那么其前n 项和n S 的最大值为〔〕
A.15
B.16
C.17
D.18
4.p ：
1
1x
>；q ：x m >，假设p 是q 的充分条件，那么实数m 的取值范围是〔〕 A.[)0,+∞ B.[)1,+∞ C.(],0-∞ D.(],1-∞
5.()f x 是定义在R 上的偶函数，那么以下函数中图象一定关于点()1,0-成中心对称的是〔〕
A.()()11y x f x =--
B.()()11y x f x =++
C.()1y xf x =+
D.()1y xf x =-
6.文印室内有5份待打印的文件自，上而下摞在一起，秘书小王要在这5份文件中再插入甲乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，那么不同的打印方式的种数为〔〕 A.15
B.21
C.28
D.36
7.将函数sin cos y a x b x =+图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2
，然后将所得图象向左平移6π个单位，可得函数2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，那么a b +=〔〕
A.2
1D.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A D 中点，过11A C 且与1CD 平行的平面交平面1C CM 于直线l ，那么直线l 与AB 所成角的余弦值是〔〕
A.
2
B.
2
C.
4
D.
3
二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，那么〔〕 A.这组数据的众数为2B.这组数据的极差为3 C.这组数据的平均数为2D.这组数据的中位数为32
10.10a b c >>>>，那么〔〕 A.
11
a c
b c
>
-- B.()()log log c c a c b c ->-
C.()()
1
1
c c a c b c ---<-
D.()
()
11a c
b c
c c ---<-
11.0.02e a =，21.01b =，()ln 2.02c =，那么〔〕 A.a b >
B.a b <
C.b c >
D.c a >
12.抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点()2,0Q -，过焦点的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么〔〕 A.2p = B.8AB ≥
C.直线AQ 与BQ 的斜率之和为0
D.准线l 上存在点M ，假设MAB △为等边三角形，可得直线AB 的斜率为2
± 三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.
13.向量()1,2a =，25b =，25a b -=，向量a 与b 的夹角为θ，那么cos θ=______. 14.双曲线()2
2
0x my m m -=>的一条渐近线与2y x =垂直，右焦点为F ，那么以原点为
圆心，OF 为半径的圆的面积为______.
15.如图，在六面体ABC FEDG -中，BG ⊥平面ABC ，平面//ABC 平面FEDG ，
//AF BG ，//FE GD ，90FGD ∠=︒，2AB BC BG ===，四边形AEDC 是菱形，那么六面体ABC FEDG -的体积为______.
16.：sin cos 2cos 2sin αβαβ-=-，且() sin 1αβ+≠，那么()sin αβ-=______. 四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.〔本小题总分值10分〕
如图，ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a b =，且cos cos a b
B A
=
. 〔1〕求C ；
〔2〕在ABC △内有点M ，CMA CMB ∠=∠，且3BM AM =，直线CM 交AB 于点Q ，求tan CQA ∠.
18.〔本小题总分值12分〕
：数列{}n a 满足212n
n n a a +=，11a =.
〔1〕求2n a ；
〔2〕求满足1222022n a a a ++⋅⋅⋅+<的最大的正整数n 的值. 19.〔本小题总分值12分〕
在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2AB =，1BC CD ==，90ABC APD ∠=∠=︒，
PA PD =，
平面APD ⊥平面ABCD .
〔1〕证明：平面PAB ⊥平面PBD ； 〔2〕求二面角B PD C --的正弦值.
20.〔本小题总分值12分〕 函数()()
21e x f x x ax =-+. 〔1〕讨论()f x 的单调性；
〔2〕假设()()1g x f x =-在()1,+∞上有零点，求实数a 的取值范围. 21.〔本小题总分值12分〕
有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球.从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.
〔1〕一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
〔2〕二次交换后，记X 为“乙袋中红球的个数〞，求随机变量X 的分布列与数学期望. 22.〔本小题总分值12分〕
椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，直线AB 的斜率
为1
2
-，OAB △的面积为1.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕椭圆上有两点M ，N 〔异于椭圆顶点，且MN 与x 轴不垂直〕，证明：当OMN △的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值.
2022届高三入学摸底考试·数学 参考答案、提示及评分细那么
1.C 设i z a b =+，那么()()22i i 3i 3i 3z z a b a b a b a -=+--=+=+⇒=，1
3
b =
，∴
3
z ==. 2.A 集合S 的元素中，满足除以4余1的整数有5，9两个. 3.B 当0n a ≥时，9
2
n ≤
，可得当14n ≤≤时，0n a >，n S 的最大值为443
4722812162
S ⨯=⨯-
⨯=-=.
4.C p ：
1
101x x
>⇔<<，p q ⇒，可知：0m ≤. 5.B ()xf x 是奇函数，关于点()0,0对称，函数()xf x 图象左移1个单位，可关于点()1,0-对称.
6.B 原来5份文件加上甲乙两份共7份文件，不同的打印方式有2
7C 21=种.
7.C 先将
2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭向右移
6
π
个单位得
2cos 22cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得
12cos 2sin sin 622y x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故
1
a =，
1b a b =⇒+=+8.D ∵11//A B CD ，故平面11A BC 即为过11A C 且与1CD 平行的平面，取11B C 中点为N ，BC 中点为S ，易证平面1//A NS 平面1MC C ，NS 交1BC ，那么1//AO l ，又11//AB A B ，故
11OA B ∠即为所求的异面直线所成角，111A B =，1OB =
，1OA =，故
11cos OA B ∠=
9.BC 众数为1，极差为413-=，平均数为()1
124312127
⨯++++++=，中位数为2，故答案为BC.
10.CDA ：0a c b c ->->，故11
a c
b c
<
--，A 错误；B ：log c y x =为减函数，故B 错误；C ：幂函数1
c y x -=在()0,+∞上为减函数，故C 正确；D ：函数()1x
y c =-为减函数，
故D 正确. 11.ACA ：()()2
2
0.02
0.01e
e 10.01a b ==>+=，A 正确，B 错误；C ：21.011b =>，()ln 2.021<，故C 正确；由前面讨论可知，D 错误.
12.BCD 对于A ，由
22
p
=，可得4p =，故A 选项错误； 对于B ，设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为2ty x =-.联
立方程28,2,
y x ty x ⎧=⎨=-⎩消去x 后整理为2
8160y ty --=，有128y y t +=，1216y y =-，
()2
1212484x x t y y t +=++=+，2212
12464
y y x x ==，2124888AB x x t =++=+≥，故B 选项正确； 对
于
C
，
()()()()()
1112121212121212243232022444444AQ BQ ty y y y y y y y t t
k k x x ty ty ty ty ty ty ++-++=
+=+===++++++++，故C 选项正确；
对于D ，如图，设AB 的中点为N ，连MN ，过N 作NH ⊥直线l ，H 为垂足，由
1
2
HN AB =
，MN AB =
，可
得MH ==，可
得2tan 12
AB MH
HNM HN AB ∠===，由对称性及MN AB ⊥可知直线AB
的斜率为
2
±
，故D 选项正确. 13.
1
422
25220
a b a
a b b -=⇔
-⋅+=，即
1522020cos 4
θθ-+=⇔=
. 14.5π
双曲线的渐近线方程为y x =±
142
m =⇒=
，故c =面积为5π.
15.8AC AE ==，可得2FE =，4GD =，取GD 中点为H ，那么4ABC FGH V -=，
4AEF CDH V -=，故六面体的体积为8.
16.
3
5
-
原式化
为
sin 2cos cos 2sin αα
ββ
-=-
，
即
ααββ=
，令cos ϕ=，sin ϕ=，故可得()()sin cos sin 2παϕβϕβϕ⎛⎫
-=+=++ ⎪⎝⎭，故()22k k παϕβϕπ-=+++∈Z ，①或
()22
k k π
αϕβϕππ-+
++=+∈Z ，②.对①：()222
k k π
αβϕπ-=+
+∈Z ，故
()23
sin cos 22cos 15
αβϕϕ-==-=-
.对②：()sin 1αβ+=，不合题意，故()3
sin 5αβ-=-.
17.解：〔1〕sin cos sin cos cos cos a b
A A
B B B A
=⇒=，
即sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22180A B +=︒， ∵2a b =，∴A B ≠，故90A B +=︒，∴90C ∠=︒.
〔2〕在CMA △中，设MCA θ∠=，那么sin sin MA b
CMA
θ∠=
，
在CMB △中，那么
()22sin 90sin sin sin MB a b MA
BMC BMC θ∠∠θ
===︒-，
而233sin 2cos tan 3
BM AM θθθ=⇒=⇒=
， ()22
tan tan 3tan tan 821tan tan 123BAC
CQA BAC BAC θ∠∠θ∠θ∠++=-+=-=-=-⋅-⨯.
18.解：〔1〕22122n n n a a +++=，212n n n a a +=，两式相除可得2
224n n
a a +==，
而22122224a a a =⇒==，故等比数列{}2n a 的通项公式为222n
n a =. 〔2〕422122n n n a a --=与222n n a =得22
212n n a --=，
222222122252n n n n n a a ---+=+=⋅，
故()()()()022212212342125222n n n n a a a a a a a a a --++
+=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+
()1456071541202241435
n n n -=⋅=-<⇒<-，
而56071410245=<，66071
440965
=>，
故n 的最大值为5.
19.〔1〕证明：取AB 中点为M ，
那么//BM CD 且190BM CD DM AM MB ADB =⇒===⇒∠=︒， 又平面APD ⊥平面ABCD ，故BD ⊥平面APD BD PA ⇒⊥，
又PA PD ⊥，PA ⊥平面PBD ，而PA ⊂平面PAB ，故平面PAB ⊥平面PBD .
〔2〕解：以D 为原点，DM ，DC 方向分别为x ，y 轴的正方向，垂直于平面ABCD 向上的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图， 那么()1,1,0B ，()0,1,0C
，11,,222P ⎛-
⎝⎭
，()1,1,0A -， ()0,1,0DC =
，11,,222DP ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
由〔1〕知平面PBD
的法向量为11
,22AP ⎛=- ⎝⎭
， 设平面的CPD 的法向量为(),,m x y z =，
那么0,
0,110,022y m DC x y m DP ⎧=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩
取1z =，0y =
，x =()
2,0,1m =-，
故cos ,1m AP m AP m AP
⋅=
=
=
⨯⋅.
故二面角B PD C --=. 20.解：〔1〕()()
()()212e 11e x x f x x ax x a x x a =-++-=+--⎡⎤⎣⎦'，
①当11a -<-，即0a <时，(),1x a ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,1x a ∈--时，()0f x '<，()f x 为减函数；()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. ②当0a =时，()()2
1e 0x f x x '=+≥，故()f x 在R 上为增函数.
③当0a >时，(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,1x a ∈--时，()0f x '<，
()f x 为减函数；()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.
〔2〕当()1,x ∈+∞时，()()()11e x g x x x a =+--⎡⎤⎣⎦'，可知：
①当
11a -≤，即2a ≤时，()0g x '≥，()g x 为增函数，
()()222421e 1e 10g a =-+-≥->，
故只须()()1111e 102e g a a =-+-<⇒>-
，∴1
22e
a -<≤. ②当2a >时，()1,1x a ∈-时，()0g x '<；()1,x a ∈-+∞时，()0g x '>. 故只须满足：()10g a -≤， 而()()1
12e
10a g a a --=--<，故()g x 在()1,+∞上有零点，
综上所述，a 的取值范围是12,e
⎛
⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
.
21.解：〔1〕一次交换，红球换红球，白球换白球，可得2袋中红白球个数不变的概率为
1111122222
⨯+⨯=. 〔2〕0X =，1，2，3，4，
()11111
0224464
P X ==⨯⨯⨯=
， ()111111113113117
12222222244442232P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()111111113113117
32222222244442232
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()11111
4224464
P X ==⨯⨯⨯=
， 故()177117
216432326432
P X ==----=
.
故X 的分布列为：
故()0123426432323264
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
22.解：〔1〕(),0A a ，()0,B b ，1
22
AB b k a b a =-=-⇒=，
故1
122
OAB S ab a ==⇒=△，1b =，
故椭圆方程为2
214
x y +=. 〔2〕设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得
()2
2
2
418440k x ktx t
+++-=，122841kt
x x k +=-+，21224
441t x x k -=+，
而且()()
2222Δ64441440k t k t =-+-≥，即22 140t k --≤，
12
MN x =-，由求根公式得
12
x x
-=
=
= 原点O 到MN 的距离为d =，
∴
22222114121414OMN
k t t S k k +-+==≤=++△. t =，即22142k t +=时取等号， 此时，()()()22
12121212121212
OM ON
kx t kx t k x x kt x x t
y y k k x x x x x x +++++⋅===
22
2
22222224484141414444441
t kt k kt t k t k k t t k -⎛
⎫⋅+-+ ⎪-+++⎝⎭===---+.故得证.。